Chuyên đề Bài toán thực tế nón trụ cầu - Hình học 12

 Hỡnh học khụng gian Lớp 12 | 
HèNH HỌC 12. CHƯƠNG II. 
NểN TRỤ CẦU 
PHẦN IV: Bài toỏn thực tế. 
 I Lí THUYẾT 
 Với hỡnh nún N ta cú 
S là đỉnh và SO là trục của hỡnh nún. 
2 : Gúc ở đỉnh của hỡnh nún. 
SO h: Chiều cao của hỡnh nún. 
OA OB r : Bỏn kớnh hỡnh nún. 
SA SB SM l : Đường sinh của hỡnh nún. 
Mối liờn hệ: l2 r 2 h 2 
Diện tớch xung quanh hỡnh nún Sxq rl 
 2
Diện tớch toàn phần hỡnh nún Stp rl r 
 1
Thể tớch khối nún V r2 h 
 ()N 3
 Với hỡnh trụ ta cú 
Hỡnh trụ cú bỏn kớnh đỏy là r, chiều cao h, đường sinh là l ( hl ) 
Diện tớch xung quanh hỡnh trụ Sxq 2 rl 
 2
Diện tớch toàn phần hỡnh trụ Stp 22 rl r 
 2
Thể tớch khối trụ Vtru r h 
Với mặt cầu 
Diện tớch mặt cầu Sr 4 2 
 4
Thể tớch mặt cầu Vr 3 
 3
 II VÍ DỤ. 
 = 
 Vớ dụ 1 
 (THPT Lý Tự Trọng – Bỡnh Định) Một tấm nhụm hỡnh chữ nhật cú hai kớch thước là và 
 ( là độ dài cú sẵn). Người ta cuốn tấm nhụm đú thành một hỡnh trụ. Nếu hỡnh trụ được tạo 
 thành cú chiều dài đường sinh bằng thỡ bỏn kớnh đỏy bằng bao nhiờu? 
 Lời giải 
 1 | Hỡnh học khụng gian Lớp 12 | 
 Ta cú Vhoọp abc V . 
 Diện tớch toàn phần của khối hộp là: Stp 2 ab bc ca . 
 Áp dụng BĐT Cauchy ta cú ab bc ca 33 abbc . . ca 33 V 2 . 
 3 2 3 2
 SVtp 6 min SVtp 6 . 
 Phương ỏn 2: Hộp sữa cú dạng khối trụ cú bỏn kớn đỏy là r và chiều cao là h . 
 V
 Ta cú V r2 h V h . 
 truù r 2
 Diện tớch toàn phần của khối trụ là
 VVVVVV2
 S 222.. rh r2 r 2 r 2 2 r 2 23..232 r 23 r 2 3 V 2
 tp r2 r r r r r
 3 2
 min SVtp 32 . 
 Vỡ 333 2 VV22 6 nờn diện tớch toàn phần của hộp sữa bộ nhất trong hai phương ỏn trờn 
 là 323 V 2 . 
 Vớ dụ 4 
(THPT Thanh Chương 1 – Nghệ An – Lần 1) Một khối gỗ hỡnh trụ cú chiều cao , người ta 
xẻ bớt phần vỏ của khối gỗ đú theo bốn mặt phẳng song song với trục để tạo thành một khối gỗ 
hỡnh hộp chữ nhật cú thể tớch lớn nhất bằng . Tớnh đường kớnh của khối gỗ hỡnh trụ đó cho. 
 Lời giải 
 Gọi bỏn kớnh hỡnh trụ là rm , chiều dài và chiều rộng khối hộp chữ nhật là a, b m . 
 2 2 2
 Ta cú a b4 r và Vhoọp 2 ab. 
 2 2 2 2 2
 Vỡ a b 22 ab ab r Vrhoọp 4 maxVhoọp 4 r . 
 1
 Mà theo giả thiết maxV 1 nờn 41rr2 . 
 hoọp 2
 Vậy đường kớnh của khối trụ đó cho là 1 m . 
 Vớ dụ 5 
(Chuyờn Biờn Hũa – Hà Nam – Lần 2) Một cốc nước cú dạng hỡnh trụ chiều cao là , đường 
kớnh đỏy là , lượng nước ban đầu trong cốc cao . Thả vào cốc nước viờn bi thủy tinh 
hỡnh cầu cú cựng đường kớnh là . Hỏi sau khi thả viờn bi, mực nước trong cốc cỏch miệng 
cốc bao nhiờu ? (Kết quả làm trũn sau dấu phẩy 2 chữ số). 
 Lời giải 
 Thể tớch nước ban đầu là V r2 h .3 2 .10 90 cm 3 . 
 3 | Hỡnh học khụng gian Lớp 12 | 
 3 2 3 2000
 Theo giả thiết Vtruù 2000 dm r h 2000 dm h 2 
 r
 2000 4000
 Nờn S 2 r . 2 r22 2 r r 0 
 tp rr2
 Coi Stp là một hàm số theo biến r với r 0. 
 4000 4000 4 r3
 Ta cú Sr 4 . 
 tp rr22
 1000 10
 S 0 4000 4 r3 0 r 3 . 
 tp 3 
 Bảng biến thiờn 
 10
 Từ bảng biến thiờn ta thấy, diện tớch toàn phần của thựng nhỏ nhất khi r dm . 
 3 
 10
 Vậy r 6,83 dm . 
 3 
 Vớ dụ 8 
(THPT Quang Trung – Bỡnh Định) Trong cỏc hỡnh chữ nhật cú cựng chu vi và cú chiều rộng là 
 , chiều dài ( thay đổi), người ta gấp lại để tạo thành một hỡnh trụ cú chiều cao bằng . 
Khối trụ được tạo thành cú thể tớch lớn nhất là bao nhiờu? 
 Lời giải 
 C
 Gọi chu vi của hỡnh chữ nhật là C 2, a b a b ( C là hằng số). 
 2
 CC
 Điều kiện b . 
 42
 Ta cú chiều cao của hỡnh trụ ha . 
 b
 Chu vi đường trũn đỏy bằng b (vỡ bằng chiều dài hỡnh chữ nhật) nờn 2 r b r . 
 2 
 22 32
 2 b b C b Cb
 Ta cú Vtruù r h . . a . b b 0 
 2 2 2 4 8 
 b 0( )
 3b2 Cb
 V 0 C 
 truù 44 bn ()
 3
 5 | Hỡnh học khụng gian Lớp 12 | 
 2
 2 1,4 2401
 Thể tớch Vtru r h . .9,8 6 lớt nước. 
 125
 Vậy sẽ làm thựng đựng nước theo phương ỏn 1 và đựng được tối đa 22 lớt nước. 
 Vớ dụ 10 
(Chuyờn Biờn Hũa – Hà Nam – Lần 1) Một nhà mỏy cần thiết kế một chiếc bể đựng nước hỡnh 
trụ (khụng nắp) cú dung tớch . Tỡm bỏn kớnh đỏy của hỡnh trụ sao cho hỡnh trụ làm ra ớt 
tốn nhiờn liệu nhất. 
 Lời giải 
 Gọi h là chiều cao của bể nước hỡnh trụ thỡ thể tớch của khối trụ đú là 
 64
 r2 h 64 h . 
 r 2
 22 128
 Diện tớch của phần hỡnh trụ làm bể là S Sxq S d 2 rh r r . 
 r
 Cỏch 1 (Lập bảng biến thiờn) 
 128 128 2r3 128
 Xột hàm số f r r 2 (với r 0) cú f r 2 r . 
 r rr22
 Khi đú f r 04 r . 
 Bảng biến thiờn của hàm fr trờn khoảng 0; . 
 Để hỡnh trụ làm ra ớt tốn nhiờn liệu nhất thỡ fr nhỏ nhất r 4 . 
 Cỏch 2 (Bất đẳng thức Cauchy) 
 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM (Cauchy) ta cú 
 128 64 64 64 64
 r2 r 2 33 . . r 2 48 . 
 r r r r r
 64
 Dấu "" xảy ra khi rr2 4 . 
 r
 Để hỡnh trụ làm ra ớt tốn nhiờn liệu nhất thỡ nhỏ nhất . 
 7 | Hỡnh học khụng gian Lớp 12 | 
 Vớ dụ 12 
(Lương Thế Vinh) Một cỏi phễu cú dạng hỡnh nún. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao 
cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng chiều cao của phễu. Hỏi nếu bịt kớn miệng 
phễu rồi lộn ngược phễu lờn thỡ chiều cao của nước bằng bao nhiờu? Biết rằng chiều cao của 
phễu là . 
 Lời giải 
 Gọi r,, r12 r lần lượt là bỏn kớnh đỏy của phễu, của khối nún phần cú nước khi ngửa phễu 
 và của khối nún phần khụng cú nước khi ỳp phễu. 
 Chiều cao của cỏc hỡnh nún tương ứng với cỏc bỏn kớnh trờn là 15, 5 và h2 . 
 r 1 hr
 Ta cú: 1 , 22 . 
 r 3 15 r
 Vỡ thể tớch phần khụng chứa nước như nhau nờn ta cú 
 1 1 1
 r2.15 r 2 .5 r 2 . h 
 3 31 3 2 2
 22 2 2
 51 rr12 5 1 1 h2
 5 . .h2 5 . . .h2 
 33 rr 3 3 3 15
 3 3
 h2 3250 h2 5 26 . 
 3
 Vậy chiều cao của nước khi ỳp phễu là h 15 h2 15 5 26 0,188 cm . 
 9 |