Chuyên đề Bài tập Tiếp tuyến - Toán 11

 Đạo hàm – ĐS> 11
 TIẾP TUYẾN
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1. Tiếp tuyến tại điểm M x0 ; y0 thuộc đồ thị hàm số:
Cho hàm số C : y f x và điểm M x0 ; y0 C . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M.
 - Tính đạo hàm f ' x . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là f ' x0 
 - phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y f ' x x x0 y0
2. Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
 - Gọi là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k. 
 - Giả sử M x0 ; y0 là tiếp điểm. Khi đó x0 thỏa mãn: f ' x0 k (*) .
 - Giải (*) tìm x0 . Suy ra y0 f x0 .
 - Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y k x x0 y0
3. Tiếp tuyến đi qua điểm 
Cho hàm số C : y f x và điểm A a;b . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua 
A.
 - Gọi là đường thẳng qua A và có hệ số góc k. Khi đó : y k x a b (*)
 f x k x a b 1 
 - Để là tiếp tuyến của (C) có nghiệm.
 f ' x k 2 
 - Thay (2) vào (1) ta có phương trình ẩn x. Tìm x thay vào (2) tìm k thay vào (*) ta có phương 
trình tiếp tuyến cần tìm.
Chú ý:
1. Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm M x0 ; y0 thuộc (C) là: k f ' x0 
2. Cho đường thẳng d : y kd x b
 1
 +) / / d k kd +)  d k .kd 1 k 
 kd
 k kd
 +) ,d tan +) ,Ox k tan 
 1 k .kd
3. Cho hàm số bậc 3: y ax3 bx2 cx d, a 0 
 +) Khi a 0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
 +) Khi a 0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất.
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ:
Câu 1. Cho hàm số y f (x) , có đồ thị C và điểm M 0 x0 ; f (x0 ) (C) . Phương trình tiếp tuyến của 
 C tại M 0 là:
 A. y f (x) x x0 y0 . B. y f (x0 ) x x0 .
 Trang 1 Đạo hàm – ĐS> 11
 A. y 7x 2 . B. y 7x 2 . C. y 7x 2 . D. y 7x 2 . 
Hướng dẫn giải:
Chọn A. 
Ta có : y x2 6x 7
Hệ số góc tiếp tuyến y 0 7
Phương trình tiếp tuyến tại A 0;2 :
y 7 x 0 2 7x 2 .
Câu 7. Gọi P là đồ thị của hàm số y 2x2 x 3 . Phương trình tiếp tuyến với P tại điểm mà P 
cắt trục tung là:
 A. y x 3 . B. y x 3 . C. y 4x 1. D. y 11x 3 . 
Hướng dẫn giải:
Chọn A. 
Ta có : P cắt trục tung tại điểm M 0;3 .
y 4x 1 
Hệ số góc tiếp tuyến : y 0 1 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị P tại M 0;3 là y 1 x 0 3 x 3.
 3x 1
Câu 8. Đồ thị C của hàm số y cắt trục tung tại điểm A . Tiếp tuyến của C tại điểm A có 
 x 1
phương trình là:
 A. y 4x 1. B. y 4x 1. C. y 5x 1. D. y 5x 1. 
Hướng dẫn giải:
Chọn A. 
Ta có : điểm A 0; 1 
 4
y hệ số góc tiếp tuyến y 0 4
 x 1 2
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm A 0; 1 là :
y 4 x 0 1 4x 1.
 2x 4
Câu 9. Cho hàm số y có đồ thị là (H) . Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục 
 x 3
hoành là:
 A. y 2x 4 . B. y 3x 1. C. y 2x 4 . D. y 2x .
Hướng dẫn giải:
Chọn C. 
 2
Giao điểm của (H) với trục hoành là A(2;0) . Ta có: y ' y '(2) 2
 (x 3)2
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 2(x 2) hay y 2x 4 . 
 3 2
Câu 10. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x x 2x 3x tại điểm có hoành độ x0 1 là:
 A. y 10x 4. B. y 10x 5. C. y 2x 4. D. y 2x 5.
 Trang 3 Đạo hàm – ĐS> 11
Đạo hàm: y 2x 1 hệ số góc của tiếp tuyến tại x 0 là 1. 
Phương trình tiếp tuyến tại M 0;3 là y x 3 .
 4
Câu 14. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại điểm có hoành độ x 1có phương trình là:
 x 1 0
 A. y x 2. B. y x 2 . C. y x 1. D. y x 3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D. 
Tập xác định: D ¡ \ 1.
 4
Đạo hàm: y . 
 x 1 2
Tiếp tuyến tại M 1; 2 có hệ số góc là k 1.
Phương trình của tiếp tuyến là y x 3
Câu 15. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x4 2x2 1 tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng 2 
là:
 A. y 8x 6, y 8x 6. B. y 8x 6, y 8x 6.
 C. y 8x 8, y 8x 8. D. y 40x 57.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A. 
Tập xác định: D ¡ .
Đạo hàm: y 4x3 4x . 
 4 2 x 1
Tung độ tiếp điểm bằng 2 nên 2 x 2x 1 .
 x 1
Tại M 1;2 . Phương trình tiếp tuyến là y 8x 6 .
Tại N 1;2 . Phương trình tiếp tuyến là y 8x 6 .
 x 2
Câu 16. Cho đồ thị (H ) : y và điểm A (H ) có tung độ y 4 . Hãy lập phương trình tiếp tuyến 
 x 1
của (H ) tại điểm A .
 A. y x 2 . B. y 3x 11. C. y 3x 11. D. y 3x 10 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D. 
Tập xác định: D ¡ \ 1.
 3
Đạo hàm: y . 
 x 1 2
 x 2
Tung độ của tiếp tuyến là y 4 nên 4 x 2 .
 x 1
Tại M 2;4 .
Phương trình tiếp tuyến là y 3x 10 .
 Trang 5 Đạo hàm – ĐS> 11
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k f ' 2 20 .
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y k x x0 y0 y 20x 22 . 
 3
Câu 21. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) : y 3x 4x tại điểm có hoành độ x0 0 là:
 A. y 3x . B. y 0. C. y 3x 2 . D. y 12x .
Hướng dẫn giải:
Chọn A. 
 2
Ta có: y ' 3 12x . Tại điểm A (C) có hoành độ: x0 0 y0 0 
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k y ' 0 3 .
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y k x x0 y0 y 3x . 
 1
Câu 22. Cho hàm số y x3 x2 2 có đồ thị hàm số C . Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có 
 3
hoành độ là nghiệm của phương trình y" 0 là
 7 7 7 7
 A. y x B. y x C. y x D. y x
 3 3 3 3
Hướng dẫn giải:
Chọn A. 
Ta có y x2 2x và y 2x 2
Theo giả thiết x0 là nghiệm của phương trình y (x0 ) 0 2x 2 0 x0 1
 4 7
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A 1; là: y x 
 3 3
 2x 1
Câu 23. Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số y với trục tung. Phương trình tiếp tuyến với đồ 
 x 2
thị hàm số trên tại điểm M là:
 3 1 3 1 3 1 3 1
 A. y x B. y x C. y x D. y x 
 2 2 4 2 4 2 2 2
Hướng dẫn giải:
Chọn B. 
 1 
Vì M là giao điểm của đồ thị với trục Oy M 0; 
 2 
 3 3
y k y (0) 
 (x 2)2 4
 3 1
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M là: y x 
 4 2
Câu 24. Cho hàm số y x3 3x2 3x 1 có đồ thị C . Phương trình tiếp tuyến của C tại giao điểm 
của C với trục tung là:
 Trang 7 Đạo hàm – ĐS> 11
 1 1 1 1
A. y (x 2) 7 . B. y (x 2) 7 . C. y (x 2) 6 . D. y (x 2) 6 .
 2 2 2 2
Hướng dẫn giải:
Đáp án C
Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M x0 ; y0 có phương trình là: y y0 f x0 x x0 
 x 1
 f (x) f ( 2) ; y 6
 4 2 0
 1
Vậy phương trình tiếp tuyến có dạng y x 2 6
 2
 x2 x 1
Câu 30. Phương trình tiếp tuyến của đường cong f (x) tại điểm có hoành độ x 1 là:
 x 1 0
 3 5 3 5 4 5 4 5
 A. y x . B. y x . C. y x . D. y x .
 4 4 4 4 3 4 3 4
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M x0 ; y0 có phương trình là: y y0 f x0 x x0 
 x2 x 1 x2 2x 3 1
 f (x) 2 , f 1 ; y 1 
 x 1 x 1 4 2
 3 5
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại x 1 có dạng y x .
 0 4 4
Câu 31. Cho hàm số y f (x) x2 5x 4 , có đồ thị C . Tại các giao điểm của C với trục Ox , tiếp 
tuyến của C có phương trình:
 A. y 3x 3 và y 3x 12. B. y 3x 3 và y 3x 12 .
 C. y 3x 3 và y 3x 12. D. y 2x 3 và y 2x 12 .
Hướng dẫn giải:.
Đáp án A. 
Xét phương trình hoành độ giao điểm.
 2 x 1
x 5x 4 0 
 x 4
 f x 2x 5
TH1: x0 1; y0 0;f 1 3 PTTT có dạng : y 3x 3
TH2: x0 4; y0 0;f 4 3 PTTT có dạng : y 3x 12
Câu 32. Phương trình tiếp tuyến của đường cong y f x tan 3x tại điểm có hoành độ x0 
 4 6
là:
 A. y x 6 . B. y x 6 . C. y 6x 1. D. y x 6 .
 6 6 6
Hướng dẫn giải:
Chọn C
 Trang 9