Chuyên đề Bài tập Quy tắc đếm - Toán 11

 Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
 PHẦN I – ĐỀ BÀI
 QUY TẮC ĐẾM
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1. Qui tắc cộng:
a) Định nghĩa: Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. 
Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì 
cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
b) Công thức quy tắc cộng
Nếu các tập A1, A2 ,..., An đôi một rời nhau. Khi đó:
 A1  A2 ... An A1 A2 ... An
2. Qui tắc nhân:
a) Định nghĩa:
 Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách thực 
hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện.
b) Công thức quy tắc nhân
Nếu các tập A1, A2 ,..., An đôi một rời nhau. Khi đó:
 A1  A2 ... An A1 . A2 ..... An .
3. Các bài toán đếm cơ bản
Bài toán 1: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên
Khi lập một số tự nhiên x a1...an ta cần lưu ý:
* ai 0,1,2,...,9 và a1 0.
* x là số chẵn an là số chẵn
* x là số lẻ an là số lẻ
* x chia hết cho 3 a1 a2 ... an chia hết cho 3
* x chia hết cho 4 an 1an chia hết cho 4
* x chia hết cho 5 an 0,5
* x chia hết cho 6 x là số chẵn và chia hết cho 3
* x chia hết cho 8 an 2an 1an chia hết cho 8
* x chia hết cho 9 a1 a2 ... an chia hết cho 9.
* x chia hết cho 11 tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết 
cho 11.
* x chia hết cho 25 hai chữ số tận cùng là 00,25,50,75 .
Bài toán 2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế
Bài toán 3: Đếm số phương án liên quan đến hình học
Chú ý: 1. Ta thường gặp bài toán đếm số phương án thực hiện hành động H thỏa mãn tính chất 
T . Để giải bài toán này ta thường giải theo hai cách sau
Cách 1: Đếm trực tiếp
 Nhận xét đề bài để phân chia các trường hợp xảy ra đối với bài toán cần đếm.
 Đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp đó
 Kết quả của bài toán là tổng số phương án đếm trong cách trường hợp trên
Phương án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù)
 Trang 1 Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
Câu 15: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số lớn hơn 4 và đôi một khác nhau:
 A. 240 . B. 120. C. 360 . D. 24 .
Câu 16: Cho tập. Từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác 
nhau
 A. 720 B. 261 C. 235 D. 679
Câu 17: Từ các số 1,2,3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau và mỗi số có các chữ số 
khác nhau: 
 A. 15. B. 20 . C. 72 . D. 36 
Câu 18: Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao chữ số đầu chẵn 
chữ số đứng cuối lẻ. 
 A. 11523 B. 11520 C. 11346 D. 22311
Câu 19: Tính tổng các chữ số gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 2, 3, 4, 5?
 A. 3999960 B. 33778933 C. 4859473 D. 3847294
Câu 20: Có 100000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi số vé gồm 5 chữ số khác nhau.
 A. 30240 B. 32212 C. 23460 D. 32571
Câu 21: Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 100 chia hết cho 2 và 3.
 A. 12. B. 16. C. 17 . D. 20 .
Câu 22: Cho tập A 1,2,3,4,5,6,7,8 . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một 
khác nhau sao các số này lẻ không chia hết cho 5.
 A. 15120 B. 23523 C. 16862 D. 23145
Câu 23: Từ các số 1,2,3,4,5,6,7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là số chia 
hết cho 5
 A. 360 B. 120 C. 480 D. 347
Câu 24: Cho tập A 0,1,2,3,4,5,6. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số và 
chia hết cho 5.
 A. 660 B. 432 C. 679 D. 523
Câu 25: Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 10 là:
 A. 3260 . B. 3168 . C. 9000 . D. 12070.
Câu 26: Cho tập hợp số : A 0,1,2,3,4,5,6.Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau 
và chia hết cho 3.
 A. 114 B. 144 C. 146 D. 148
Câu 27: Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số 2011 chữ số và trong đó có ít 
nhất hai chữ số 9.
 92011 2019.92010 8 92011 2.92010 8
 A. B. 
 9 9
 92011 92010 8 92011 19.92010 8
 C. D. 
 9 9
Câu 28: Từ thành phố A đến thành phố B có 6 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 7 con 
đường. Có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C, biết phải đi qua thành phố B. 
 A. 42 B. 46 C. 48 D. 44
Câu 29: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2 con 
đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 3 con 
đường, không có con đường nào nối từ thành phố C đến thành phố B. Hỏi có bao nhiêu con đường đi 
từ thành phố A đến thành phố D. 
 A. 6. B. 12. C. 18. D. 36 .
Câu 30: Từ thành phố A có 10 con đường đi đến thành phố B, từ thành phố A có 9 con đường đi đến 
thành phố C, từ B đến D có 6 con đường, từ C đến D có 11 con đường và không có con đường nào nối 
B với C. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D. 
 Trang 3 Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
 PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI
 QUY TẮC ĐẾM
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1. Qui tắc cộng:
a) Định nghĩa: Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. 
Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì 
cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
b) Công thức quy tắc cộng
Nếu các tập A1, A2 ,..., An đôi một rời nhau. Khi đó:
 A1  A2 ... An A1 A2 ... An
2. Qui tắc nhân:
a) Định nghĩa:
 Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách thực 
hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện.
b) Công thức quy tắc nhân
Nếu các tập A1, A2 ,..., An đôi một rời nhau. Khi đó:
 A1  A2 ... An A1 . A2 ..... An .
3. Các bài toán đếm cơ bản
Bài toán 1: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên
Khi lập một số tự nhiên x a1...an ta cần lưu ý:
* ai 0,1,2,...,9 và a1 0.
* x là số chẵn an là số chẵn
* x là số lẻ an là số lẻ
* x chia hết cho 3 a1 a2 ... an chia hết cho 3
* x chia hết cho 4 an 1an chia hết cho 4
* x chia hết cho 5 an 0,5
* x chia hết cho 6 x là số chẵn và chia hết cho 3
* x chia hết cho 8 an 2an 1an chia hết cho 8
* x chia hết cho 9 a1 a2 ... an chia hết cho 9.
* x chia hết cho 11 tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết 
cho 11.
* x chia hết cho 25 hai chữ số tận cùng là 00,25,50,75 .
Bài toán 2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế
Bài toán 3: Đếm số phương án liên quan đến hình học
Chú ý: 1. Ta thường gặp bài toán đếm số phương án thực hiện hành động H thỏa mãn tính chất 
T . Để giải bài toán này ta thường giải theo hai cách sau
Cách 1: Đếm trực tiếp
 Nhận xét đề bài để phân chia các trường hợp xảy ra đối với bài toán cần đếm.
 Đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp đó
 Kết quả của bài toán là tổng số phương án đếm trong cách trường hợp trên
Phương án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù)
Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài toán như sau:
 Đếm số phương án thực hiện hành động H (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay 
không) ta được a phương án.
 Trang 5 Tổ hợp- xác suất – ĐS và GT 11
c có 4 cách chọn
d có 4 cách chọn
Vậy có: 4.4.4.4 256 số 
Nên chọn A .
Câu 4: Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số 
0,1,2,4,5,6,8 .
 A. 252 B. 520 C. 480 D. 368
Hướng dẫn giải:
Chọn B. 
Gọi x abcd; a,b,c,d 0,1,2,4,5,6,8 .
Cách 1: Tính trực tiếp
Vì x là số chẵn nên d 0,2,4,6,8 .
TH 1: d 0 có 1 cách chọn d . 
Với mỗi cách chọn d ta có 6 cách chọn a 1,2,4,5,6,8
Với mỗi cách chọn a,d ta có 5 cách chọn b 1,2,4,5,6,8 \ a
Với mỗi cách chọn a,b,d ta có 4 cách chọn c 1,2,4,5,6,8 \ a,b
Suy ra trong trường hợp này có 1.6.5.4 120 số.
TH 2: d 0 d 2,4,6,8 có 4 cách chọn d
Với mỗi cách chọn d , do a 0 nên ta có 5 cách chọn 
a 1,2,4,5,6,8 \ d.
Với mỗi cách chọn a,d ta có 5 cách chọn b 1,2,4,5,6,8 \ a
Với mỗi cách chọn a,b,d ta có 4 cách chọn c 1,2,4,5,6,8 \ a,b
Suy ra trong trường hợp này có 4.5.5.4 400 số.
Vậy có tất cả 120 400 520 số cần lập.
Cách 2: Tính gián tiếp ( đếm phần bù)
Gọi A { số các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số 0,1,2,4,5,6,8 }
B { số các số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số 0,1,2,4,5,6,8 }
C { số các số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số 0,1,2,4,5,6,8 }
Ta có: C A B .
Dễ dàng tính được: A 6.6.5.4 720 .
Ta đi tính B ?
x abcd là số lẻ d 1,5 d có 2 cách chọn.
Với mỗi cách chọn d ta có 5 cách chọn a (vì a 0,a d )
Với mỗi cách chọn a,d ta có 5 cách chọn b
Với mỗi cách chọn a,b,d ta có 4 cách chọn c
Suy ra B 2.5.5.4 200
Vậy C 520 .
Câu 5: Cho 6 chữ số 2,3,4,5,6,7 số các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số lập thành từ 6 chữ số đó:
 A. 36 . B. 18. C. 256 . D. 108.
Hướng dẫn giải:
Chọn D. 
Gọi số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là: abc, a 0 , khi đó:
c có 3 cách chọn
 Trang 7