Chuyên đề Bài tập phương trình đẳng cấp với Sin và Cosin - Đại số 11

 PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SIN VÀ COSIN 
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 
+ Là phương trình có dạng f(sin x ,cos x ) 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc 
cùng lẻ. 
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cosk x 0 (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình 
ẩn là tan x . 
Phương trình đẳng cấp bậc hai: a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1) 
Cách 1: 
 Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không? 
 Lưu ý: cosx = 0 x k sin2 x 1 sin x 1. 
 2
 Khi cosx 0 , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x 0 ta được: 
 a.tan22 x b .tan x c d (1 tan x ) 
 Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t: 
 (a d ) t2 b . t c d 0 
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc 
 1 cos2x sin2 x 1 cos2 x
(1) a . b . c . d 
 2 2 2
 b.sin2 x ( c a ).cos2 x 2 d a c (đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x) 
B– BÀI TẬP 
Câu 1: Phương trình 6sin22x 7 3sin 2 x 8cos x 6 có các nghiệm là: 
 xk xk 
 2 4
 A. , k . B. , . 
 xk xk 
 6 3
 3 
 xk xk 
 8 4
 C. , . D. , . 
 2 
 xk xk 
 12 3
Câu 2: Phương trình 3 1 sin22x 2 3sin x cos x 3 1 cos x 0 có các nghiệm là: 
 xk xk 
 A. 4 vôùi tan 23 , . B. 4 vôùi tan 2 3 , . 
 xk xk 
 xk xk 
 C. 8 vôùi tan 1 3 , . D. 8 vôùi tan 1 3 , . 
 xk xk 
Câu 3: Giải phương trình 3sin22 2x 2sin 2 x cos2 x 4cos 2 x 2. 
 1 
 22
Câu 12: Trong khoảng 0 ; , phương trình sin 4x 3.sin4 x .cos4 x 4.cos 4 x 0có: 
 2
 A. Ba nghiệm. B. Một nghiệm. C. Hai nghiệm. D. Bốn nghiệm. 
Câu 13: Phương trình 2cos22x 3 3sin 2 x 4sin x 4 có họ nghiệm là 
 xk 
 2 
 A. , . B. xk 2 , . 
 2
 xk 
 6
 C. xk , . D. xk , . 
 6 2
 22
Câu 14: Phương trình 2sinx sin x cos x cos x 0 (với k ) có nghiệm là: 
 1 
 A. kk2 ,arctan( ) 2 . B. k . 
 42 4
 1 1
 C. kk ,arctan( ) . D. kk ,arctan( ) . 
 42 42
Câu 15: Giải phương trình cos3x sin 3 x 2 cos 5 x sin 5 x 
 1 1 
 A. xk 2 B. xk C. xk D. xk 
 4 42 43 4
Câu 16: Giải phương trình sin2 x 3tan x cos x 4sin x cos x 
 11
 A. x k2 , x arctan 1 2 k 2 B. x k , x arctan 1 2 k 
 4 4 2 2
 22 
 C. x k , x arctan 1 2 k D. x k , x arctan 1 2 k 
 4 3 3 4 
Câu 17: Giải phương trình sin2 x tan x 1 3sin x cos x sin x 3 
 1 2 
 xk 2 xk xk xk 
 4 k 42 43 4
 A. B. C. D. 
 1 2 
 xk 2 xk xk xk 
 3 32 33 3
Câu 18: Giải phương trình 4sin3x 3cos 3 x 3sin x sin 2 x cos x 0 
 11
 A. x k2 , x k 2 B. x k , x k 
 43 4 2 3 2
 11 
 C. x k , x k D. x k , x k 
 4 3 3 3 43
Câu 19: Giải phương trình 2cos3 xx sin3 
 1
 xk arctan( 2) 2 xk arctan( 2) 
 2
 A. B. 
 xk 2 1
 4 xk 
 42
 3 
 PHẦN 2 HƯỚNG DẪN GIẢI: PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SIN VÀ COSIN 
Câu 1: Phương trình có các nghiệm là: 
 A. , . B. , . 
 C. , . D. , . 
Hướng dẫn giải: 
Chọn A. 
TH1: cosxx 0 sin2 1 thỏa phương trình phương trình có nghiệm xk 
 2
TH2: cosx 0, chia cả hai vế cho cos2 x ta được 
 26 2 2
6tanx 14 3 tan x 8 2 6tan x 14 3 tan x 8 6 1 tan x 
 cos x
 1 
 14 3 tanx 14 tan x x k 
 3 6
Vậy, phương trình có nghiệm x k ,. x k 
 26
Câu 2: Phương trình có các nghiệm là: 
 6sin22x 7 3sin 2 x 8cos x 6
 A. , . B. , . 
 xk xk 
 2 4
 k 
 C. xk , . D. xk , . 
 6 3
 3 
Hướngxk d ẫn giả i: xk 
 8 4
Chọn B. 
 2 
TH1: xk không thỏa phương trình. xk 
 12 3
TH2: chia cả hai vế của phương trình cho ta được: 
 3 1 sin22x 2 3sin x cos x 3 1 cos x 0
 tanx 1 xk 
 2 4
 3 1 xk tan xx 2 3 tan 3 1 0 xk 
 4 vôùi tan 23 tanx 2 3 4 vôùi tan 2 3
 xk arctan 2 3 
 xk xk 
Câu 3: Gi ải phương trình 
 xk 11 kk xk 
 A. x arctan38 vôùi ,tan x arctan( 1 3 2) , k . 8 vôùi tan 1 3 
 2 2 2 2 
 xk xk 
 3sin22 2x 2sin 2 x cos2 x 4cos 2 x 2.
 5 
Câu 6: Một họ nghiệm của phương trình 2 3 cos2 x 6sin x cos x 3 3 là 
 3 
 A. k2 , v . B. k , . C. k , . D. k2 , . 
 4 4 4 4
Hướng dẫn giải: 
Chọn B. 
2 3 cos2 x 6sin x cos x 3 3 3 1 cos2 x 3sin 2 x 3 3 
 133
 3 cos 2x 3sin 2 x 3 cos 2 x sin 2 x 
 2 2 2
 22xk xk 
 3 36 4
 cos 2x 
 32 
 22x k x k
 3 6 12
Câu 7: Một họ nghiệm của phương trình 3sinx cos x sin2 x 2 là 
 1 
 A. arctan 2 k , . B. arctan 2 k , . 
 22
 1 
 C. arctan 2 k , . D. arctan 2 k , . 
 22
Hướng dẫn giải: 
Chọn A. 
xk không là nghiệm của phương trình 
 2
Chia 2 vế phương trình cho cos2 x ta được 3tanx tan22 x 2 1 tan x 
 tanx 1 xk 
 2 
 tanxx 3tan 2 0 4 
 tanx 2 
 xk arctan 2 
Câu 8: Một họ nghiệm của phương trình 2sin22x sin x cos x 3cos x 0 là 
 3 k 3
 A. arctan k , . B. arctan k , . 
 2 2
 3 3
 C. arctan k , . D. arctan k , . 
 2 2
Hướng dẫn giải: 
Chọn A. 
 không là nghiệm của phương trình 
Chia 2 vế phương trình cho ta được 
 tanx 1 xk 
 2 4
2 tanxx tan 3 0 3 
 tan x 3
 2 xk arctan 
 2
Câu 9: Một họ nghiệm của phương trình 3sin22x 4sin x cos x 5cos x 2 là 
 7