Chuyên đề Bài tập Hoán vị, Chỉnh hợp, Quy tắc đếm - Đại số 11

 HOÁN VỊ - TỔ HỢP – CHỈNH HỢP – QUY TẮC ĐẾM 
I: LÝ THUYẾT 
I. Hoán vị 
1. Giai thừa: 
 nn!  1.2.3 Qui ước: 0! 1 
 n! n –1 ! n 
 n!
 pp 1 . 2 n (với np ) 
 p!
 n!
 n– p 1 . n – p 2 n (với ) 
 (np )!
2. Hoán vị (không lặp): 
 Một tập hợp gồm n phần tử (n 1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó 
được gọi là một hoán vị của n phần tử. 
 Số các hoán vị của n phần tử là: Pnn ! 
3. Hoán vị lặp: 
 Cho k phần tử khác nhau: a12, a ,  , ak . Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n1 phần tử 
an12, phần tử an2 ,  , k phần tử ak n1 n2  nk n theo một thứ tự nào đó được gọi là một 
hoán vị lặp cấp và kiểu n12, n ,  , nk của k phần tử. 
 Số các hoán vị lặp cấp kiểu của phần tử là: 
 n!
 Pnnk nn1, 2 ,  , 
 nn12! !...nk !
4. Hoán vị vòng quanh: 
 Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là 
một hoán vị vòng quanh của n phần tử. 
 Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là: Qnn – 1 ! 
II. Chỉnh hợp 
1. Chỉnh hợp (không lặp): 
 Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 k n) theo một thứ tự nào 
đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A. 
 Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: 
 n!
 Ak n( n 1)( n 2)...( n k 1) 
 n (nk )!
 Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n. 
 n
 Khi k = n thì An Pnn ! 
2. Chỉnh hợp lặp: 
 Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp 
lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần 
tử của tập A. 
 kk
 Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: Ann 
III. Tổ hợp 
1. Tổ hợp (không lặp): 
 Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1 k n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp 
chập k của n phần tử. 
 I: PHẦN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM QUY TẮC ĐẾM CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT 
Câu 1: Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 
2 đứng cạnh chữ số 3? 
 A. 192 B. 202 C. 211 D. 180 
Câu 2: Có 3 học sinh nữ và 2 hs nam.Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu 
cách sắp xếp để 3 học sinh nữ ngồi kề nhau 
 A. 34 B. 46 C. 36 D. 26 
Câu 3: Có 3 học sinh nữ và 2 hs nam.Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu 
cách sắp xếp để 2 học sinh nam ngồi kề nhau. 
 A. 48 B. 42 C. 58 D. 28 
Câu 4: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho A và F ngồi ở 
hai đầu ghế 
 A. 48 B. 42 C. 46 D. 50 
Câu 5: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho: 
 A và F ngồi cạnh nhau 
 A. 242 B. 240 C. 244 D. 248 
Câu 6: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho: 
 A và F không ngồi cạnh nhau 
 A. 480 B. 460 C. 246 D. 260 
Câu 7: Trong tủ sách có tất cả 10 cuốn sách. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho quyển thứ nhất ở 
kề quyển thứ hai: 
 A. 10!. B. 725760 . C. 9!. D. 9! 2!. 
Câu 8: Có bao nhiêu cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài 
nếu các sách Văn phải xếp kề nhau? 
 A. 5!.7!. B. 2.5!.7!. C. 5!.8!. D. 12!. 
Câu 9: Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên,mỗi số có 6 chữ số đồng thời thỏa 
điều kiện :sáu số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 
số sau một đơn vị. 
 A. 104 B. 106 C. 108 D. 112 
Câu 10: Từ các số 1,2,3 lập được bao nhiều số tự nhiên gôm 6 chữ số thỏa mãn đồng thời hai điều 
kiện sau: Trong mỗi số, hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau. 
 A. 76 B. 42 C. 80 D. 68 
Câu 11: Có bao nhiêu cách xếp cuốn sách Toán, cuốn sách Lý và 8 cuốn sách Hóa lên một kệ sách 
sao cho các cuốn sách cùng một môn học thì xếp cạnh nhau, biết các cuốn sách đôi một khác nhau. 
 A. 7.5!.6!.8! B. 6.5!.6!.8! C. 6.4!.6!.8! D. 6.5!.6!.7! 
Câu 12: Có bao nhiêu cách xếp n người ngồi vào một bàn tròn. 
 A. n! B. (n 1)! C. 2(n 1)! D. (n 2)! 
Câu 13: Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có phần tử là: 
 7!
 A. C3 . B. A3 . C. . D. . 
 7 7 3!
Câu 14: Cho các số 1,2,4,5,7 có bao nhiêu cách tạo ra một số chẵn gồm chữ số khác nhau từ chữ 
số đã cho: 
 A. 120. B. 256 . C. 24 . D. 36 . 
Câu 15: Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác nhau lấy từ các số 0,1,2 ,3,4,5 . 
 A. 60 . B. 80 . C. 240 . D. 600 . 
Câu 16: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên 
1. Gồm 4 chữ số 
 A. 1296 B. 2019 C. 2110 D. 1297 
2. Gồm 3 chữ số đôi một khác nhau 
 A. 110 B. 121 C. 120 D. 125 
3. Gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và là chữ số tự nhiên chẵn 
2. 4 chữ số đôi một khác nhau 
 A. 418 B. 720 C. 723 D. 731 
3. 4 chữ số đôi một khác nhau và là số lẻ 
 A. 300 B. 324 C. 354 D. 341 
4. 5 chữ số đôi một khác nhau và là số chẵn. 
 A. 1260 B. 1234 C. 1250 D. 1235 
Câu 29: Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có, mỗi số có 6 chữ số khác 
nhau và tổng các chữ số ở hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8. 
 A. 1300 B. 1400 C. 1500 D. 1600 
Câu 30: Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó, chữ số hàng 
ngàn lớn hơn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hơn hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn hàng đơn 
vị. 
 A. 221 B. 209 C. 210 D. 215 
Sắp 8 quyển sách còn lại vào vị trí, có 8! cách. 
Vậy có 9.2.8! 725760 cách. 
Câu 8: Có bao nhiêu cách xếp sách Văn khác nhau và sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu 
các sách Văn phải xếp kề nhau? 
 A. . B. . C. . D. . 
Hướng dẫn giải: 
Chọn C. 
Sắp quyển văn có 5! cách sắp xếp. 
Sắp quyển toán và bộ quyển văn có cách sắp xếp. 
Vậy có cách sắp xếp. 
Câu 9: Từ các số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên,mỗi số có 6 chữ số đồng thời thỏa điều 
kiện :sáu số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 số sau 
một đơn vị. 
 A. 104 B. 106 C. 108 D. 112 
Hướng dẫn giải: 
Chọn C. 
Cách 1: Gọi x a1 a 2... a 6 , ai 1,2,3,4,5,6 là số cần lập 
Theo bài ra ta có: a1 a 2 a 3 1 a 4 a 5 a 6 (1) 
Mà a1, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 1,2,3,4,5,6 và đôi một khác nhau nên 
a1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 1 2 3 4 5 6 21 (2) 
Từ (1), (2) suy ra: a1 a 2 a 3 10 
Phương trình này có các bộ nghi5ệm là: (a1 , a 2 , a 3 ) (1,3,6);7 (1,4,5); (2,3,5) 
Với mỗi bộ ta có 3!.3! 36 số. 
Vậy có5!.7! cả thảy 3.36 108 số cần2.5!.7! lập. 5!.8! 12!
Cách 2: Gọi x abcdef1,2,3,4,5,6 là số cần lập 
 a b c d e f 1 2 3 4 5 6 21
Ta có: 
 a b c d e f 1
 abc 11. Do1,2,3 abc, , 1,2,3,4,5,6 6
Suy ra ta có các cặp sau: (abc , , ) (1,4,6); (2,3,6); (2,4,5) 
Với mỗi bộ như vậy ta có 3! cách chọn abc,, và cách chọn d,, e f 
Do đó có: 3.3!.3! 108 số thỏa yêu cầu bài toán. 
Câu 10: Từ các số lập được bao nhiều số tự nhiên gôm chữ số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 
sau: Trong mỗi số, hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau. 
 A. 76 B. 42 C. 80 D. 68 
Hướng dẫn giải: 
Chọn A. 
Đặt A {1,2,3}. Gọi S là tập các số thỏa yêu cầu thứ nhất của bài toán 
 6!
Ta có số các số thỏa điều kiện thứ nhất của bài toán là 90 (vì các số có dạng aabbcc và khi hoán vị hai 
 23
số aa, ta được số không đổi) 
Gọi SSS1,, 2 3 là tập các số thuộc mà có cặp chữ số giống nhau đứng cạnh nhau. 
 Số phần tử của S3 chính bằng số hoán vị của 3 cặp 11,22,33 nên S3 6 
 Số phần tử của S2 chính bằng số hoán vị của 4 phần tử là có dạng a,,, a bb cc nhưng không đứng 
 4!
cạnh nhau. Nên S 66 phần tử. 
 2 2
 Số phần tử của S1 chính bằng số hoán vị của các phần tử có dạng a,,,, a b b cc nhưng và bb, không