Chuyên đề Bài tập Giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình - Toán 9

 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 
I – PHẦN BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
Bài 1 
Hai ôtô cùng  khởi hành 1 lúc từ 2 tỉnh A và B cách nhau 400 km đi ngược chiều và gặp nhau  
sau 5h .nếu vận tốc của  mỗi xe  vẫn không thay    đổi nhưng xe đi chậm xuất phát trước xe kia 
40 phút thì 2xe gặp nhau sau 5h 22phút  kể từ lúc xe chậm khởi hành Tính vận tốc của mỗi xe 
 Hướng dẫn giải 
Gọi vận tốc của xe nhanh là x km/h 
goị vận tốc  của xe chậm là y km/h , đ/k  x,y>0 
Hai xe cùng khởi hành 1 lúc  và đi ngược chiều sau 5h gặp nhau  nên ta có phương trình  
5(x+y)=400   (1) 
Thời gian xe đi chậm hết5h22 phút  =161/30 
Thời gian xe đi nhanh hết  
161/30‐ 2/3= 141/3 giờ 
Vì xe đi chậm  xuất phát  trước 40’=40/60=2/3h 
Quãng đư ờng xe đi chậm là 161/30y 
Quãng đường xe đi nhanh là 141/30x 
Cả 2 xe đi được 141/30x+161/30y =400 (2) 
Kết hợp (1) và(2) ta có hệ phương trình  
 5(x y ) 400
 141x 161y  
 400
 30 30
Từ  (2)       141x+161y=1200 (3)  
Từ (1)       x+y=400/5=80 (4) 
X=80_y thay vào (3) 
141(80‐y)+161y=1200 
11280‐141y+161y=12000  
20y=12000‐11280 
20y=720         y=720/20=36km/h 
Thay  y=36 vào 
X=80‐36=44km/h 
Vậy vận tốc của xe nhanh là 44km/h           1 
..chậm là 36km/h 
 Bài 2:  
 1  
 x y 1006
 Ta có hệ phương trình    
 x 2y 124
 Giải ra ta được số lớn là 712 số bé là 294 
 Bài 6. 
 Một  thửa  ruộng  hình  chữ  nhật  có  chiều  rộng  ngắn  hơn  chiều  dài  là  45m  Tính  diện  tích thửa 
 ruộng.biết rằng nếu giảm chiều dài đi 2lần và chiều rộng tăng lên 3lần thì chu vi thửa ruộng 
 không thay đổi. 
 Hướng dẫn giải 
 Gọi chiều dài thửa ruộng là x đ/k x >45  x>y>0 
 Chiều rộng là y m theo bài ra ta có hệ phương trình  x y 45  và x/2 3y =x+y giải ra ta được 
x=60 y=15 diện tích thửa ruộng là 60.15=900m 2  
 Bài 7. 
 Hai máy ủi trong 12h thì xan lấp được 1/10 khu đất ,Nếu máy ủi thứ 1làm 1 mình trong 42h rồi 
 nghỉ sau đoa máy ủi thứ 2 làm 1 mình trong 22h thì cả 2 máy ủi xan lấp được 25%khu đất đó 
 Hỏi nếu làm 1 mình thì mỗi máy ủi xan lấp xong khu đất trong bao nhiêu lâu? 
 Hướng dẫn giải 
một giờ cả 2 máy xan  được 1/120 khu đất  Hai máy làm trong 22h thì được 22/120 =11/60  
Vậy máy thứ 1 làm trong 20 h thì được 1/4‐11/60 =1/15 khu đất  
Do đó nếu làm 1 mình và lấp xong khu đất thì máy thứ 1 làm hết 15 .20 =300h  suy ra mỗi máy 2 
làm được 1/120 ‐ 1/300=1/200 do đó máy 2 làm 1 mình và xan lấp xong khu đất hết 200h 
 Bài 8 
 Tính ba cạnh của một tam giác vuông ABC vuông tại A biết chu vi tam giác là 12 m  và tổng 
 bình phương của ba cạnh bằng 50 m. 
 Hướng dẫn giải 
gọi cạnh AB là x m cạnh AC là y m cạnh BC là z m   
 x y z 50
Theo đầu bài ta có hệ PT  :   2 2 2  
 x y z 50
  Theo định lý pi ta go trong tam giác vuôngABC  x 2 y 2 z 2  
 Giải ra ta được AB = 4 AC =3 BC =5 
 Bài 9 
 Vườn trường hình chữ nhật có diện tích 600m 2 , tính kích thước của hình chữ nhật. Biết rằng 
 nếu giảm bớt mỗi cạnh 4m thì diện tích còn 416m 2                            
 Hướng dẫn giải 
  Gọi chiều rộng là x m chiều dài là y m đ/k x,y >0 
 Theo bài ra ta có HPT 
x.y =600 
(x‐4)(y‐4)=416 
Giải ra ta có chiều rộng là 20m chiều dài là 30m 
 Bài 10 . Tìm một số có hai chữ số nếu chia số đó cho tổng hai chữ số  
 được thương là 6 nếu cộng tích hai chữ số với 25 thì được số nghịch đảo  
 Hướng dẫn giải 
 Gọi chữ số hàng chục là x chữ số hàng đơn vị là y 
 3  
  Hai người cùng làm chung 1 công việc hết 6h Nếu là riêng mỗi người làm nửa công việc thì 
tổng số giờ làm là 12 h 30 phút. Hỏi nếu mỗi người làm 1 mình xong cả công việc thì mất bao 
nhiêu giờ? 
 Hướng dẫn giải 
Gọi số giờ người 1 làm 1 mình xong công việc là x h  
Gọi số giờ người 2 làm 1 mình xong công việc là y h đ/k x,y >0 
 Trong 1 giờ cả 2 người làm được là 1/x +1/y =1/6                 
Khi mỗi người làm 1 nửa công việc ta có x/2 +y/2 =12,5  
 1 1 1
 x y 6
Theo bài ra ta có HPT :     
 x y
 12,5
 2 2
 giải HPT ta có ngưòi 1 làm hết 10h người 2 làm hết 15h 
 Bài 15 : 
  Trong một buổi lao động trồng cây ,một tổ học sinh được trao nhiệm vụ trồng 56 cây .Vì có 1 
bạn trong tổ được phân công làm việc khác nên để trồng đủ số cây được giao ,mỗi bạn còn lại 
trong tổ đều trồng tăng thêm 1 cây với dự định lúc đầu. Hỏi tổ học có bao nhiêu bạn biết số cây 
được phân cho mỗi bạn đều bằng nhau. 
 Hướng dẫn giải 
Gọi số cây mỗi người trồng theo dự định là x cây  
 Gọi số người trong tổ là y  đ/k x,y thuộc N* 
 xy 56
Theo bài ra ta có HPT   :   .Giải ra ta có số cây mỗi bạn trồng là 7  số người 
 (x 1)(y 1) 56
 trong tổ là 8. 
 Bài 16 : 
 Ở một nông trường ,có 2 máy cày cùng cày chung 1 thửa ruộng sau 2h thì xong .Nếu mỗi máy 
 cày riêng thửa ruộng đó thì máy thứ 1 cày xong trước máy 2 là 3h Tính thời gian mỗi máy cày 
 riêng để xong thửa ruộng đó ? 
 Hướng dẫn giải 
 Gọi thời gian máy 1 cày 1 mình xong thửa ruộng là xh 
 Gọi thời gian máy 2 cày 1 mình xong thửa ruộng là y h 
 Trong 1h cả 2 máy cày được là 1/x+1/y  
 1 1 1
 Máy1 cày xong trước máy 2 là 3h ta có y=x+3 theo bài ra ta HPT  x y 2                              
 y x 3
 Giải ra ta có máy 1 cày hết 3h máy 2 cày hết 6h 
Bài  17 : 
Hai tổ SX cùng may một loại áo .Nếu tổ thứ 1 may trong 3 ngàytổ thứ 2 may trong 5 ngày thì 2 
 tổ may được 1310 chiếc áo .Biết rằng trong một ngày tổ may được nhiều hơn tổ thứ 2 là 10 chiếc 
áo .Hỏi mỗi tổ trong 1 ngày may được bao nhiêu chiếc áo ? 
 Hướng dẫn giải 
Gọi lần lượt số áo tổ 1,2 may trong 1 ngày là x,y đ/k x,y thuộc N* 
 5  
 Gọi số dãy ghế là y  đ/k x,y thuộc N* 
 Số chỗ ngồi ban đầu la x.y =300 (1) 
 Số mỗi dãy ghế thêm 3 chỗ và  bớt đi 3 dãy là (x+2)(y‐3)=300‐11=289(2) 
 Kết hợp ta có hệ PT  và giải ra ta được x=16  y=20  
 Bài 23 :  
  Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước sau 12h thì đầy bể . Sau khi 2 vòi chảy 8h thì người ta 
 khoá vòi 1 lại còn vòi 2 tiếp tục chảy  do tăng công suất lên gấp đôi nên vòi 2 chảy đầy phần còn 
 lại của bể sau 3,5 h . Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao nhiêu lâu thì đầy bể ? 
 Hướng dẫn giải 
 gọi thòi gian hai vòi chảy một mình đầy bê lần lượt là x,y h đ/k x,y>0 
 Trong 1h 2vòi chảy được là 1/x+ 1/y =1/12 (1)  
 Mở2vòi trong 8h và khoá vòi 1 lại ta có PT 8/x +15/y =1(2)  
 1 1 1
 x y 12
 Theo bài ra ta có hệ PT :   
 8 15
 1
 x y
 Giải hệ PT ta được x=28h  y=21h 
 Bài 24  :   
  Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc trong 4h thì xong nếu mỗi đội làm một mình 
 xong công việc thì đội thứ nhất làm ít thời gian hơn so với đội thứ hai là 6h .Hỏi nếu mỗi đội 
làm một mình xong công ấy thì trong bao lâu ? 
 Hướng dẫn giải 
gọi thời gian đội 1,2 làm một mình xong công việc lần lượt là x,y h đ/k x,y >0  
Trong 1h cả hai đội làm được là 1/x+1/y =1/4 (1)                      
đội 1 làm ít hơn đội2 là 6h ta có PT x+6 =y  (2) kết hợp ta có hệ PT :   
 1 1 1
                      x y 4                           
 x 6 y
 Giải hệ PT ta được đội 1 làm trong 6h đội 2 làm trong 12 h  
 Bài 25 : 
  Hai tổ công nhân làm chung trong 12h sẽ hoàn thành xong công việc đã định  .Họ làm chung 
với nhau trong 4h thì sau đó tổ 1 được điều đi làm việc khác  tổ thứ 2 làm nốt công việc trong 
10h thì xong công việc .Hỏi mỗi tổ làm một mình thì sau bao lâu xong công việc ?  
 Hướng dẫn giải 
Gọi thời gian tổ 1 ,tổ 2 làm một mình xong công việc là x,y giờ đ/k x,y  >0 
Trong 1h cả hai đội làm được là 1/x+1/y =1/12  
Hai đội làm chung trong 4h và đội 2 làm trong 10h nữa thì xong công việc ta có PT;  4/x+14/y =1 
 1 1 1
 x y 12
Kết hợp ta có hệ PT :        (x=60;y=15) 
 4 14
 1
 x y
  Bài 26 
  Hai người cung làm chung một công việc trong 4h thì xong . Nếu người thứ nhất làm được một 
 nửa công việc thì để người thứ hai làm nốt thì cả  
 7  
 1 1 2
 x y 9
 Theo bài ra ta có hệ phương trình:   (*) 
 4 3 75 3
 x y 100 4
 2
 a b 
 1 1 9
 Đặt   = a  va   = b. Khi đó hệ phương trình (*) trở thành   
 x y 3
 4a 3b 
 4
 1 1 1
 a x 12
 9a 9b 2 12 x 12 (TM )
                            36    
 16a 12b 3 5 1 5 y (TM )
 b 5
 36 y 36
 Vậy: Người thứ nhất làm một mình xong công việc sau 12 giờ. 
 36
         Người thứ hai làm một mình xong công việc sau   giờ, hay 7,2h 
 5
 Bài 29:  
 Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho 
 là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho. 
 Hướng dẫn giải 
 Gọi chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y:   xy,;,9 N* xy  
 Số đã cho là 10x + y, và số mới đã đổi chỗ hai chữ số là 10y + x 
 10yx 63 10 xy 9 x 9 y 63
 Theo đầu bài ta có hệ   
 10xy 10 yx 99 11 x 11 y 99
Giải hệ này ta đợc nghiệm là:  xy 1; 8  
 Vậy số đã cho là: 18 
 Bài 30 :  
 1. Tìm số có hai chữ số biết rằng phân số có tử số là số đó, mẫu số là tích của hai chữ số của 
 16
 nó  có  phân  số  tối  giản  là    và  hiệu  của  số  cần  tìm  với  số  có  cùng  các  chữ  số  với  nó 
 9
 nhưng viết theo thứ tự ngược lại bằng 27. 
 Gọi số cần tìm là  xy  với  xy,;1,9  xy . 
 10xy 16
 xy 3
 Theo giả thiết:  xy 9  
 90x 9yxy 16
 10xy 10 yx 27
 3
 Giải hệ ta có  xx 9;  (loại). Suy ra  y 6. 
 1216
 Vâỵ số cần tìm là 96. 
 Bài 31 ::  
Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 
 10km thì đến sớm hơn dự định 3 giờ, cũn xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 
giờ. Tính vận tốc của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài Quãng đường AB. 
 9