Chuyên đề Bài tập Đếm tổ hợp liên quan đến hình học - Đại số 11

DẠNG 3: ĐẾM TỔ HỢP LIẾN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC – HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 
Câu 1: Cho hai đường thẳng song song dd12, . Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm phân biệt, trên 
d2 lấy 15 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 25 vừa 
nói trên. 
 21 12 2 1 1 2 2 1 1 2
 A. CC10 15 B. CC10 15 C. CCCC10 15 10 15 D. CCCC10 15. 10 15 
Câu 2: Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt sao cho ba điểm bất kì không thẳng hàng. 
Hỏi: 
Có bao nhiêu véc tơ khác véc tơ – không có điểm đầu và điểm cuối thuộc 2010 điểm đã cho. 
 A. 4039137 B. 4038090 C. 4167114 D. 167541284 
Câu 3: Có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó thuộc vào 2010 điểm đã cho. 
 A. 141427544 B. 1284761260 C. 1351414120 D. 453358292 
Câu 4: Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều cạnh là: 
 A. 35 . B. 120. C. 240 . D. 720 . 
Câu 5: Nếu tất cả các đường chéo của đa giác đều 12 cạnh được vẽ thì số đường chéo là: 
 A. 121. B. 66 . C. 132. D. 54 . 
Câu 6: Nếu một đa giác đều có 44 đường chéo, thì số cạnh của đa giác là: 
 A. 11. B. . C. 9 . D. 8 . 
Câu 7: Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh? 
 A. 5 . B. 6 . C. 7 . D. . 
Câu 8: Mười hai đường thẳng có nhiều nhất bao nhiêu giao điểm? 
 A. . B. . C. . D. 144 . 
Câu 9: Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau. Trên d1 có 10 điểm phân biệt, trên d2 
có n điểm phân biệt ( n 2 ). Biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm nói trên. Tìm n? 
 A. 20 B. 21 C. 30 D. 32 
Câu 10: Cho đa giác đều AAA1 2... 2n nội tiếp trong đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có 
đỉnh là 3 trong 2n điểm AAA1, 2 ,..., 2n gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n 
điểm . Tìm n? 
 A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 
Câu 11: Trong mặt phẳng cho n điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong tất 
cả các đường thẳng nối hai điểm bất kì, không có hai đường thẳng nào song song, trùng nhau 
hoặc vuông góc. Qua mỗi diểm vẽ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng được xác 
định bởi 2 trong n 1 điểm còn lại. Số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau là 
bao nhiêu? 
 2 2 3 2 2 3
 A. 2Cn( n 1)( n 2) n ( C n 1 1) 5 C n B. Cn( n 1)( n 2) 2 n ( C n 1 1) 5 C n 
 2 2
 2 2 3 2 2 3
 C. 3Cn( n 1)( n 2) 2 n ( C n 1 1) 5 C n D. Cn( n 1)( n 2) n( C n 1 1) 5 C n 
 2 2
 1 
Cứ ba đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một tam giác. 
 3
Chọn 3 trong 10 đỉnh của đa giác, có C10 120 . 
Vậy có 120 tam giác xác định bởi các đỉnh của đa giác cạnh. 
Câu 5: Nếu tất cả các đường chéo của đa giác đều cạnh được vẽ thì số đường chéo là: 
 A. . B. . C. . D. . 
Hướng dẫn giải: 
Chọn D. 
Cứ 2 đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một đoạn thẳng (bao gồm cả cạnh đa giác và đường chéo). 
 2
Khi đó có C12 66 cạnh. 
Số đường chéo là: 66 12 54 . 
Câu 6: Nếu một đa giác đều có đường chéo, thì số cạnh của đa giác là: 
 A. . B. . C. . D. . 
Hướng dẫn giải: 
Chọn A. 
Cứ hai đỉnh của đa giác n nn ,3 đỉnh tạo thành một đoạn thẳng (bao gồn cả cạnh đa giác 
và đường chéo). 
 12
 2 n!
Khi đó121 số đường chéo là: C66 n 44 n 132 44 54
 n n 2 !.2!
 44
 11 n 11 9 8
 n n 1 2 n 88 n 11 (vì n ). 
 n 8
 5 6 7
Câu 7: Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh? 
 A. . B. . C. . D. 144. 
Hướng dẫn giải: 
Chọn C. 
Đa giác có cạnh nn ,3 . 
 2
Số đường chéo trong đa giác là: Cnn . 
 2 n! n 7
Ta có: Cn n 2 n 3 n n n 1 6 n n 7 . 
 n 2 !.2! n 0
Câu 8: Mười hai đường thẳng có nhiều nhất bao nhiêu giao điểm? 
 A. . B. . C. . D. . 
Hướng dẫn giải: 
Chọn B. 
Để được nhiều giao điểm nhất thì mười hai đường thẳng này phải đôi một cắt nhau tại các 
điểm phân biệt. 
Như vậy có . 
 3 
 2
Cn( n 1)( n 2) giao điểm (tính cả những giao điểm trùng nhau). 
 2
Ta chia các điểm trùng nhau thành 3 loại 
 2 (nn 1)( 2) 2
* Qua một điểm có Cn 1 nên ta phải trừ đi nC n 1 1 điểm 
 2
* Qua AAA1,, 2 3 có 3 đường thẳng cùng vuông góc với AA45 và 3 đường thẳng này song song với 
 3
nhau, nên ta mất 3 giao điểm, do đó trong TH này ta phải loại đi 3Cn 
* Trong mỗi tam giác thì ba đường cao chỉ có một giao điểm, nên ta mất 2 điểm cho mỗi tam 
 3
giác, do đó trường hợp này ta phải trừ đi 2Cn 
Vậy số giao điểm nhiều nhất có được là: 
 2 2 3
 Cn( n 1)( n 2) n( C n 1 1) 5 C n . 
 2
 5