Chuyên đề 9: Toán quỹ tích - Bồi dưỡng HSG Toán hình 8

 Chuyờn đề 9:
 TOÁN QUỸ TÍCH
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa
 Quỹ tớch của những điểm cú tớnh chất T nào đú là tập hợp tất cả những điểm cú tớnh chất T đú.
2. Cỏc quỹ tớch cơ bản
- Quỹ tớch cỏc điểm cỏch đều hai đầu của một đoạn thẳng cố định là đường trung trực của đoạn thẳng đú. 
(1).
- Quỹ tớch cỏc điểm nằm bờn trong một gúc và cỏch đều hai cạnh của gúc là tia phõn giỏc của gúc đú. (2).
- Quỹ tớch cỏc điểm cỏch một đường thẳng cố định một khoảng bằng h khụng đổi là hai đường thẳng 
song song với đường thẳng đú và cỏch đường thẳng đú một khoảng bằng h. (3)
- Quỹ tớch những điểm cỏch một điểm O cố định một khoảng R khụng đổi là đường trũn tõm O, bỏn kớnh 
R. (4).
3. Cỏch giải bài toỏn tỡm quỹ tớch cỏc điểm cú chung tớnh chất T nào đú
a) Phần thuận: Chứng minh rằng nếu điểm M cú tớnh chất T thỡ điểm M thuộc một hỡnh H nào đú.
b) Phần đảo: Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc hỡnh H thỡ điểm M cú tớnh chất T.
c) Kết luận: Quỹ tớch của điểm M là hỡnh H.
4. Một số lưu ý khi giải bài toỏn tỡm quỹ tớch.
a) Tỡm hiểu đề bài
Cần xột xem:
- Yếu tố nào cố định ( vỡ trong cỏc quỹ tớch cơ bản đều cú núi đến yếu tố cố định như điểm, đoạn thẳng, 
gúc,.).
- Yếu tố nào khụng đổi ( thường là khoảng cỏch khụng đổi, gúc cú số đo khụng đổi,);
- Quan hệ nào khụng đổi ( vớ dụ điểm cỏch đều hai đầu đoạn thẳng, cỏch đều hai cạnh của một gúc,);
- Yếu tố nào chuyển động ( điểm nào cú vị trớ thay đổi, liờn quan đến điểm phải tỡm quỹ tớch như thế 
nào?).
b) Dự đoỏn quỹ tớch.
Vẽ nhỏp vài vị trớ của điểm cần tỡm quỹ tớch ( thường là vẽ ba vị trớ).
- Nếu ba điểm này thẳng hàng thỡ ta dự đoỏn quỹ tớch là đường thẳng ( đường thẳng song song, đường 
trung trực, tia phõn giỏc,).
- Nếu ba điểm khụng thẳng hàng thỡ quỹ tớch cú thể là đường trũn.
c) Giới hạn quỹ tớch
Cú nhiều bài toỏn quỹ tớch cần tỡm chỉ là một phần của hỡnh H, phần cũn lại khụng thỏa món điều kiện 
của bài toỏn, ta phải loại trừ phần này. Làm như vậy gọi là tỡm giới hạn của quỹ tớch.
Việc tỡm giới hạn của quỹ tớch thường làm sau phần thuận, trước phần đảo. AH
ị M nằm trờn đường thẳng xy // BC và cỏch BC một khoảng .
 2
Như vậy ta phải chuyển tớnh chất ban đầu của điểm M qua cỏc tớnh chất trung gian đến tớnh chất cơ bản 
của điểm M rồi theo cỏc quỹ tớch cơ bản trả lời điểm M nằm trờn hỡnh nào.
Vớ dụ 2: Cho gúc vuụng xOy, điểm A cố định trờn tia Ox, điểm B di 
động trờn tia Oy. Vẽ hỡnh chữ nhật AOBC. Gọi M là giao điểm của hai 
đường chộo AB và OC. Tỡm quỹ tớch điểm M.
 Giải (h.9.2)
a) Phần thuận
M là giao điểm hai đường chộo của hỡnh chữ nhật nờn MO = MA.
Điểm M cỏch đều hai đầu của đoạn thẳng OA cố định nờn M nằm trờn 
đường trung trực của OA.
Giới hạn: Khi điểm B tiến dần tới điểm O thỡ điểm C tiến dần đến điểm A. Khi đú điểm M tiến dần đến 
M1 là trung điểm của OA. Khi điểm B ra xa vụ tận thỡ điểm M cũng ra xa vụ tận. Vậy M nằm trờn tia 
M1t thuộc đường trung trực của OA, tia này nằm trong gúc xOy, trừ điểm M1 .
b) Phần đảo
Lấy điểm M bất kỡ trờn tia M1t . Vẽ tia AM cắt tia Oy tại B. Vẽ hỡnh chữ nhật AOBC. Ta phải chứng 
minh M là giao điểm của hai đường chộo.
Thật vậy, xột DAOB cú M1t / /OB ( vỡ cựng vuụng gúc với OA).
Mặt khỏc, M1O = M1A nờn MA= MB. Vậy M là trung điểm của AB
ị M cũng là trung điểm của OC ( vỡ AOBC là hỡnh chữ nhật).
c) Kết luận
Vậy quỹ tớch của điểm M là tia M1t thuộc đường trung trực của OA, tia này nằm trong gúc xOy, trừ điểm 
M1 .
Vớ dụ 3. Cho gúc vuụng xOy. Điểm A cố định trờn tia Ox sao cho OA = 2cm. Điểm B di động trờn tia 
Oy. Vẽ tam giỏc ABM vuụng cõn tại M trong đú M và O thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB. Tỡm 
quỹ tớch của điểm M.
 Giải (h.9.3)
a) Phần thuận
Vẽ MH ^ Ox, MK ^ Oy ta được HãMK = 90° . Thật vậy, tứ giỏc ABCD cú hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nờn là hỡnh bỡnh hành.
 1
OM là đường trung bỡnh của tam giỏc ABC nờn ị OM = BC ị BC = 2.1= 2cm.
 2
c) Kết luận
Quỹ tớch của điểm O là đường trũn tõm M bỏn kớnh 1cm trừ giao điểm của đường trũn này với đường 
thẳng AB.
C. Bài tập vận dụng
ã Đường thẳng song song
9.1. Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau và cỏch nhau 2cm. Tỡm quỹ tớch những điểm M cú 
tổng khoảng cỏch đến a và b là 4cm.
9.2. Cho gúc vuụng xOy và một điểm A cố định trờn tia Ox sao cho OA = a. Điểm B di động trờn tia Oy. 
Vẽ vào trong gúc vuụng này tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Tỡm quỹ tớch của điểm C.
9.3. Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A và B. Trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ cỏc 
tam giỏc DAC và EBC vuụng cõn tại D và E. Gọi M là trung điểm của DE. Tỡm quỹ tớch của điểm M khi 
điểm C di động giữa A và B.
9.4. Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A và B. Vẽ cỏc tam giỏc đều DAC và EBC trờn cựng 
một nửa mặt phẳng bờ AB. Gọi M là trung điểm của DE. Tỡm quỹ tớch của điểm M khi điểm C di động 
giữa A và B.
9.5. Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Một điểm D di động trờn đỏy BC. Đường thẳng vuụng gúc với BC vẽ 
từ D cắt cỏc đường thẳng AB và AC lần lượt tại E và F. Gọi M là trung điểm của EF. Tỡm quỹ tớch của 
điểm M.
ã Đường trung trực và đường thẳng vuụng gúc
9.6. Cho gúc vuụng xOy và một điểm A ở trong gúc đú. Một gúc vuụng đỉnh A quay quanh A, một cạnh 
cắt Ox tại B, cạnh kia cắt Oy tại C. Gọi M là trung điểm của BC. Tỡm quỹ tớch của điểm M.
9.7. Cho hỡnh chữ nhật ABCD. Gọi M là một điểm ở trong hỡnh chữ nhật hoặc trờn cỏc cạnh của nú
1) Chứng minh rằng MA2 + MC2 = MB2 + MD2 ;
2) Tỡm quỹ tớch của điểm M nếu MA + MC = MB + MD .
9.8. Cho tam giỏc đều ABC. Trờn nửa mặt phẳng bờ BC cú chứa A vẽ tia Bx ^ BC và trờn đú lấy một 
điểm D. Vẽ tam giỏc đều CDM (M và B thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ CD). Tỡm quỹ tớch của 
điểm M khi D di động trờn tia Bx.
ã Tia phõn giỏc
9.9. Cho hỡnh vuụng ABCD. Trờn tia đối của tia AD lấy điểm E di động. Trờn tia đối của tia BS lấy điểm 
F di động sao cho DE = BF. Vẽ hỡnh bỡnh hành ECFM. Hỏi điểm M di động trờn đường nào? Hướng dẫn giải
9.1 (h.9.5)
ã Xột trường hợp điểm M nằm trờn nửa mặt phẳng bờ a khụng chứa b.
a) Phần thuận
Vẽ MH ^ a , đường thẳng MH cắt b tại K.
Ta cú: MH + MK = 4cm; MK - MH = 2cm .
Suy ra: MH = (4- 2): 2 = 1cm .
Điểm M nằm trờn nửa mặt phẳng bờ a khụng chứa b và cỏch a là 
1cm nờn điểm M nằm trờn đường thẳng d song song với a và cỏch a 
là 1cm.
b) Phần đảo
Lấy điểm M bất kỡ trờn đường thẳng d. Vẽ MH ^ a cắt đường thẳng d tại K.
Ta cú: MH = 1cm; HK = 2cm ị MK = 3cm . Do đú MH + MK = 4cm .
c) Kết luận
Vậy quỹ tớch của điểm M là đường thẳng d // a và cỏch a là 1cm ( d nằm trờn nửa mặt phẳng bờ a khụng 
chứa b).
ã Xột trường hợp điểm M nằm trờn nửa mặt phẳng bờ b khụng chứa a.
Cũng chứng minh tương tự như trờn, ta được quỹ tớch của điểm M là đường thẳng dÂ// b và cỏch b là 
1cm ( dÂnằm trờn nửa mặt phẳng bờ b khụng chứa a).
Kết hợp cả 2 trường hợp trờn ta được: Quỹ tớch của điểm M là hai đường thẳng d và d nằm ngoài phần 
mặt phẳng giới hạn bởi a và b sao cho d// a và cỏch a là 1cm; dÂ// b và cỏch b là 1cm.
9.2 (h.9.6)
a) Phần thuận
 ả à ả
Vẽ CH ^ Ox ta được C1 = A1 (cựng phụ với A2 ).
DHAC = DOBA ( cạnh huyền, gúc nhọn ) ị CH = OA = a .
Điểm C cỏch đường thẳng Ox một khoảng bằng a nờn C nằm trờn đường thẳng d / /Ox và cỏch Ox một 
khoảng a cho trước.
Giới hạn: Nếu B trựng với O thỡ C trựng với C1 (C1 ẻ d và 
C1A ^ OA ). Nếu B ra xa vụ cựng thỡ điểm C cũng ra xa vụ cựng. Vậy 
điểm C nằm trờn tia C1t của đường thẳng d.
b) Phần đảo
Lấy điểm C bất kỡ trờn tai C1t . Vẽ đoạn thẳng AC.
Từ A vẽ AB ^ AC (B ẻ Oy). Ta phải chứng minh tam giỏc ABC 
vuụng cõn tại A. 9.4 (h.9.8)
Gọi O là giao điểm của hai tia AD và BE.
Như vậy O là điểm cố định.
Giải tương tự như bài 9.3, ta được quỹ tớch của điểm M là đường trung 
bỡnh PQ của DOAB trừ hai điểm P và Q.
9.5. (h.9.9)
a) Phần thuận
 à ả
Vẽ AH ^ BC thỡ AH / /DE và A1 = A2 (tớnh chất của tam giỏc cõn).
 ả à à ả
Ta cú: E1 = A1 (cặp gúc so le trong); F1 = A2 (cặp gúc đồng vị).
 à ả ả à
Vỡ A1 = A2 nờn E1 = F1 . Suy ra DAEF cõn.
Ta cú: ME = MF ị AM ^ EF .
Tứ giỏc AHDM cú ba gúc vuụng nờn là hỡnh chữ nhật ị MD = AH 
(khụng đổi).
Điểm M cỏch đường thẳng BC cho trước một khoảng bẳng AH nờn điểm 
M nằm trờn đường thẳng xy // BC và cỏch BC một khoảng bằng AH.
Giới hạn: Khi điểm D trựng với B thỡ E trựng với B và điểm F trựng với 
F1 ( F1 nằm trờn tia CA và AF1 = AC ). Khi đú điểm M trựng với M1 ( M1 là giao điểm của xy với B F1 ). 
Tương tự, khi điểm D trựng với C thỡ điểm M trựng với M2 . Vậy M chỉ nằm trờn đoạn thẳng M1M2 của 
đường thẳng xy.
b) Phần đảo
Lấy điểm M bất kỡ trờn đoạn thẳng M1M2 . Qua M vẽ một đường thẳng vuụng gúc với BC cắt BC, AB, 
AC lần lượt tại D, E, F. Ta phải chứng minh M là trung điểm của EF.
Thật vậy, tứ giỏc AHDM cú hai cặp cạnh đối song song nờn là hỡnh bỡnh hành. Hỡnh bỡnh hành này cú 
Hà= 90° nờn là hỡnh chữ nhật, suy ra Mả = 90° .
 ả à à ả à ả ả à
Ta cú: E1 = A1, F1 = A2 mà A1 = A2 nờn E1 = F1 . Do đú DAEF cõn.
Vỡ AM là đường cao nờn cũng là đường trung tuyến ị ME = MF .
c) Kết luận
Vậy quỹ tớch của điểm M là đoạn thẳng M1M2 của đường thẳng xy // BC và cỏch BC một khoảng AH.
9.6. (h.9.10)
a) Phần thuận
Vẽ cỏc đoạn thẳng MO, MA ta được:
 1
MO = MA = BC .
 2 ùỡ MA + MC = MB + MD
g Từ (2) và (4) ta cú: ớù
 ợù MA- MC = MB- MD
Do đú: 2MA = 2MB ị MA = MB .
Vậy điểm M nằm trờn đường trung trực của AB.
 ùỡ MA + MC = MB + MD
g Từ (2) và (5) ta cú; ớù .
 ợù MA- MC = MD - MB
 Do đú: 2MA = 2MD ị MA = MD
Vậy điểm M nằm trờn đường trung trực của AD.
Giới hạn: Vỡ M nằm trong hỡnh chữ nhật hoặc trờn cỏc cạnh 
của nú nờn M nằm trờn hai đoạn thẳng EF và GH nối trung 
điểm hai cặp cạnh đối diện của hỡnh chữ nhật.
b) Phần đảo (h.9.12)
Lấy điểm M bất kỡ trờn đoạn thẳng GH.
Khi đú MA = MD; MB = MC .
Vậy MA + MC = MB + MD . Nếu M ẻ EF ta cũng cú kết quả trờn.
c) Kết luận: Quỹ tớch của điểm M là hai đoạn thẳng EF và GH nối cỏc trung điểm của hai cặp cạnh đối 
diện của hỡnh chữ nhật.
9.8. (h.9.13)
a) Phần thuận
 ả ả
DMAC và DDBC cú: MC = DC ; C1 = C2 (vỡ cựng cộng với ACD cho 60° ); CA = CB .
Vậy DMAC = DDBC (c.g.c)
ị Mã AC = DãBC = 90° . Suy ra MA ^ AC tại A.
Do đú điểm M nằm trờn một đường thẳng đi qua A và vuụng gúc với 
AC.
Giới hạn: Khi điểm D trựng với B thỡ điểm M trựng với A. Khi điểm 
D ra xa vụ cựng thỡ điểm M cũng ra xa vụ cựng. Vậy điểm M chỉ nằm 
trờn tia Ay.
b) Phần đảo
Lấy điểm M bất kỡ trờn tia Ay. Vẽ đoạn thẳng MC. Trờn tia Bx lấy điểm D sao cho CD = CM.
Ta phải chứng minh DMCD đều.
Thật vậy, DMAC và DDBC cú: À= Bà= 90°;CM = CD; CA = CB .
Do đú DMAC = DDBC (cạnh huyền, cạnh gúc vuụng).
 ả ả ã ã
Suy ra C1 = C2 ị MCD = BCA = 60° .
DMCD cõn cú Mã CD = 60° nờn là tam giỏc đều.