Chuyên đề 9: Phương trình nghiệm nguyên - Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 8

 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
 Dạng 1: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT a a 1 k 2
Phương pháp: 
 “ Biến đổi PT có 1 vế là tích của hai số nguyên liên tiếp, vế còn lại là một số chính phương ”.
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 x y2 0
HD: 
 2 x 0
 x x 1 y => 
 x 1 0
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 y2 3xy x2 y2
HD: 
 x y 2 x2 y2 xy xy xy 1 
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 y2 x 2y 1
HD: 
 x2 x y2 2y 1 y 1 2 x x 1 
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 xy y2 x2 y2
HD: 
 2 xy 0
 x y x2 y2 xy xy xy 1 
 xy 1 0 Dạng 3: ĐƯA VỀ TỔNG CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Phương pháp:
 Biến đổi PT thành tổng các số chính phương, vế còn lại là 1 hằng số k
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 4x2 8y2 8xy 4y 8 0
HD: 
 2x 2y 2 2y 1 2 9 02 32
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 y2 x y 8
HD: 
 Nhân với 4 ta được: 4x2 4x 1 4y2 4y 1 34
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 4xy 5y2 169
HD: 
 x 2y 2 y2 169
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 5y2 2y 4xy 3 0
HD: 
 x 2y 2 y 1 2 4
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: x2 13y2 6xy 100
HD: 
 x 3y 2 4y2 100
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x6 y2 2x3 y 64
HD: 
 t 2 t y 2 64 nếu đặt x3 t
 1 1
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên: x y 4
 x y
HD: 
 2 2
 1 1 
 x y 4
 x y 
Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 1 x2 y2 4x2 y
HD: 
 2
 x4 x2 y2 x2 y2 4x2 y x2 y x2 y 1 2 0
Bài 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên:: 2x2 y2 2xy 2y 6x 5 0
HD :
 x2 2xy y2 6x 2y x2 5 0 => x y 2 2 x y 4x x2 5 0
 => x y 1 2 x 2 2 0
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 4y2 2x 4y 2 0
HD: 
 x2 2x 1 4y2 4y 1 0 Dạng 4: SỬ DỤNG DENTA CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 2y2 2xy y 2 0
HD :
 Ta có : x2 2yx 2y2 y 2 0
 Có ' y2 2y2 y 2 y2 y 2 , Để phương trình có nghiệm thì :
 2
 1 9 3 1 3
 ' 0 y y 2 y 1
 2 4 2 2 2
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 3 2y x 2y2 3y 2 0
HD :
 1
 Có ' 1 4y2 , để phương trình có nghiệm thì ' 0 y2 y 0 x 1, x 2
 4
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên : 3x2 y2 4xy 4x 2y 5 0
HD :
 2
 Xét : y x 4 y 0 x 2 x 2 0 x 
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên : 3x2 4y2 6x 3y 4 0
HD :
 3x2 6x 4y2 3y 4
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 y 5 x 5y 2 0
HD :
 Theo vi- ét ta có :
 x1 x2 y 5
 x1 5 x2 5 2 1.2 1 . 2 
 x1.x2 5y 2
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 2y2 3xy x y 3 0
HD :
 Chuyển phương trình thành bậc hai với x
 x2 3y 1 x y2 y 3 0 , có :
 y2 2y 11, Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm nguyên là là số chính phương
 => y2 2y 11 k 2 k Z y 5, y 3
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên : x y xy x2 y2
HD :
 Đưa phương trình về dạng :
 x2 y 1 x y2 y 0 , Điều kiện để phương trình có nghiệm là :
 0 3y2 6y 1 0 3 y 1 2 4 y 1 2 1
 Từ đó ta có : y 0,1,2
Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 2y2 3xy x y 3 0
HD :
 Đưa phương trình về dạng : x2 3y 1 x 2y2 y 3 0
 Điều kiện để phương trình có nghiệm là 0
 Làm giống bài trên
Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 y x y2 x y 3
HD :
 2 2 2 
 Đưa phương trình về dạng : y 2y x 3x y x 3x 0
 TH1 : y=0 => ... Đưa phương trình trở thành : y 1 x2 y 1 x y 1 0
TH1 : y=1=> x=0
 1
TH2 : y 1 0 y 3 y 0;1;2;3
 x 3 Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 2y xy
HD: 
 2 2
 2 y y y y 
 x 2x. 2. .2 4 4 => x 2y 2 x 2 16
 2 4 4 2 
Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên : x y 6 2xy
HD :
 1 11
 2xy x y 6 x 2y 1 y 
 2 2
 2x 2y 1 2y 1 11 2x 1 2y 1 11
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 y2 2x2 y2
HD: 
 1 1
 2x2 y2 x2 y2 0 x2 2y2 1 y2 
 2 2
 => 2x2 y2 1 2y2 1 1 2x2 1 2y2 1 1
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên : xy 4 x y 
HD :
 xy 4x 4y 0 x y 4 4y 16 16 x y 4 4 y 4 16 x 4 y 4 16
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên : x x 1 x 7 x 8 y2
HD:
 x2 8x x2 8x 7 y2 a a 7 y2
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên: y2 x x 1 x 7 x 8 
HD:
 Biến đổi phương trình thành: y2 x2 8x x2 8x 7 
 2
 Đặt: z x2 8x y2 z2 7z 4y2 2z 7 49 2z 2y 7 2z 2y 7 49 
 Ta có các TH sau:
 2z 2y 7 1 y 12 2z 2y 7 49 y 12
 TH1: TH2: 
 2z 2y 7 49 z 9 2z 2y 7 1 z 9
 2 x 1
 Cả hai TH trên đều có z 9 x 8x 9 
 x 9
 2z 2y 7 1 y 12 2z 2y 7 49 y 12
 TH3: TH4: 
 2z 2y 7 49 z 16 2z 2y 7 1 z 16
 TH5: 2z 2y 7 2z 2y 7 7 y z 0 
 TH6: 2z 2y 7 2z 2y 7 7 
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên : x x 8 y2 116
HD: 
 x2 8x 16 y2 110 x 4 2 y2 110 x 4 y x 4 y 110
Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên : xy 3x 5y 3
HD: 
 x y 3 5y 15 18 x y 3 5 y 3 18 y 3 x 5 18
Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên : 6x2 y3 3x2 10y3 2
HD: 
 3x2 2y3 1 10y3 5 2 => 3x2 2 y3 1 5 2 y3 1 2 2 y3 1 3x2 5 2 HD :
 Đưa phương trình về dạng : 3x 1 3y 1 52
Bài 29: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 x 1 xy y
HD :
 Đưa phương trình về dạng : x 1 y x 2 3
Bài 30: Giải phương trình nghiệm nguyên : x 2 y 2 x 2 8y 2 2xy
HD :
 Đưa phương trình về dạng : y2 x2 7 x y 2
 Phương trình có nghiệm x y 0 , xét x, y # 0 => x2 7 là 1 số chính phương
 Đặt : x2 7 a2 x a x a 7 Tìm x
 0;0 , 4; 1 , 4;2 , 4;1 , 4; 2 
Bài 31: Giải phương trình nghiệm nguyên : x xy y 9
HD :
 Đưa phương trình vê dạng : x 1 y 1 10
Bài 32: Giải phương trình nghiệm nguyên : y2 x x 1 x 7 x 8 
HD :
 Đưa phương trình thành : y2 x2 8x x2 8x 7 z2 7z 4y2 2z 7 2 49
 => 49 2z 2y 7 2z 2y 7 
Bài 33: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 4y2 1
HD :
 Biến đổi phương trình thành : x 2y x 2y 1
Bài 34: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 y2 91
HD :
 Biến đổi phương trình thành : x y x y 91
Bài 35: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2x3 xy 7
HD :
 Biến đổi phương trình thành : x 2x2 y 7
Bài 36: Giải phương trình nghiệm nguyên : x3 7y y3 7x
HD :
 Biến đổi phương trình thành :
 x3 y3 7x 7y 0 x y x2 xy y2 7 x y 0
 x y x2 xy y2 7 0
 TH1 : x y
 2 2 2 7 x 1 y 2
 TH2 : x xy y 7 x y 7 3xy xy 
 3 x 2 y 1
Bài 37: Giải phương trình nghiệm nguyên : 3x2 10xy 8y2 96
HD :
 Đưa phương trình về dạng : x 2y 3x 4y 96
 Chú ý : Vì x 2y 3x 4y 2 2x 3y là 1 số chẵn nên có tính chất cùng chẵn 
Bài 38: Giải phương trình nghiệm nguyên : xy 3x 5y 3
HD :
 Đưa phương trình về dạng : x y 3 5y 15 18 x y 3 5 y 3 18 HD:
 Biến dổi phương trình thành: x 1 y 1 0
Bài 52: Tìm các nghiệm nguyên dương x, y của phương trình : y2 x2 12x 1995 
HD:
 Biến đổi thành: y2 x 6 2 1959 1959 y 45
 Lại có: 1959 x 6 2 y2 x y 6 x y 6 , Với x y 52 và 1959=3.653
Bài 53: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: x2 25 y y 6 
HD: 
 x2 25 y y 6 x2 y 3 2 16 x y 3 x y 3 16
Bài 54: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 6y2 7xy x y 25 
HD:
Bài 55: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 9x2 10y2 9xy 3x 5y 9 
HD:
Bài 56: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 y2 x2 8y2 2xy 
HD:
 2
 Viết lại PT đã cho dưới dạng: y2 x2 7 x y (1)
 Dễ thấy PT có nghiệm x y 0 , 
 Xét x, y 0,(1) x2 7 là số chính phương, Đặt x2 7 a2 x a x a 7 x 
 Tìm được x, y là 0;0 , 4; 1 , 4;2 , 4 :1 , 4; 2 
Bài 57: Tìm x, y nguyên thỏa mãn : 2x2 6y2 7xy x y 25 
HD :
Bài 58: Tìm x, y nguyên thỏa mãn : 9x2 10y2 9xy 3x 5y 9 
HD :
Bài 59: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : x3y xy3 3x 3y 17 
HD :
 Ta có: x3y xy3 3x 3y 17 x2 y2 xy 3 17 
 Do x,y nguyên dương nên: x2 y2 1 
 2 2
 x2 y2 17 x y 2xy 17 x y 25
 xy 3 1 xy 4 xy 4
 x y 5 x 4 x 1 x y 5 x 4 x 1
 TH1 : hoặc TH2 : hoặc 
 xy 4 y 1 y 4 cy 4 y 1 y 4