Chuyên đề 9: Phân thức đại số, tính chất phân thức đại số - Bồi dưỡng HSG Đại số 8

 Chương II
 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
 Chuyên đề 9. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ. TÍNH CHẤT PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. Kiến thức cần nhớ
1. Phân thức đại số
 A
• Một phân thức đại số ( hay nĩi gọn là phân thức ) là biểu thức cĩ dạng , trong đĩ A, B là những đa 
 B
 thức và B khác đa thức 0. A được gọi là tử thức ( hay tử), B được gọi là mẫu thức ( hay mẫu).
• Mỗi đa thức cũng được gọi là một phân thức cĩ mẫu thức bằng 1.
• Mỗi số thực a bất kỳ cũng là một phân thức.
 A C
• Hai phân thức và gọi là bằng nhau nếu A.D B.C.
 B D
 A C
 nếu A.D B.C.
 B D
2. Tính chát cơ bản của phân thức
 Tính chất cơ bản.
 - Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được một phân thức mới 
 bằng phân thức đã cho:
 A A.M
 ( M là đa thức khác đa thức 0).
 B B.M
 - Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức mới 
 bằng phân thức đã cho:
 A A: N
 ( N là nhân tử chung 0).
 B B : N
 Quy tắc đổi dấu.
 A A
 Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho: .
 B B
B. Một số ví dụ
 4x2 16 A
Ví dụ 1: Tìm đa thức A, biết rằng: .
 x2 2x x
 Giải
Tìm cách giải.
 A C
Để tìm đa thức A, chúng ta dùng khi và chỉ khi: A.D B.C.
 B D
Trình bày lời giải
 4x2 16 A
Từ . suy ra
 x2 2x x đa thức, từ đĩ ta tìm được Q.
• Hướng suy nghĩ thứ hai, chúng ta quan sát thấy cĩ dạng hằng đẳng thức, biến đổi giả thiết khéo léo để 
 xuất hiện thành tử thức và mẫu thức.
 Trình bày lời giải
 Cách 1.
• Ta cĩ:
 x6 3x5 3x4 x3 2020 x2 x 1 x4 2x3 2x2 x 1 2021
• Ta cĩ:
 x6 x3 3x2 3x 2020 x2 x 1 x4 x3 2x2 2x 1 2021
 Với x2 x 1 0 thì tử số là 2011; mẫu số là 2021.
 2021
 VậyQ 1.
 2021
 Cách 2.
• Ta cĩ: x2 x 1 0 x2 x 1 x6 x 1 3
 x6 x3 3x2 3x 1 x6 x3 3x2 3x 1
 Suy ra mẫu số bằng:1 2020 2021.
 3
• Ta cĩ: x2 x 1 0 x2 x 1 x2 x 1
 x6 3x5 3x4 x3 1
 Suy ra tử số bằng:1 2020 2021.
 2021
 VậyQ 1.
 2021
 n2 4
Ví dụ 5: Cho P với n là số tự nhiên. Hãy tìm tất cả các số tự nhiên n trong khoảng từ 1 đến 2020 
 n 5
sao cho giá trị của P chưa tối giản.
 Giải
 n2 4 29
Ta cĩ: P n 5 với n N.
 n 5 n 5
Để phân số P chưa tối giản thì ƯCLN 29;n 5 d(d 1)
Khi đĩ n 5d và 29d d 29 n 529
Hay n 5 29k k N n 29k 5
Mà 1 n 2020 1 29k 5 2020 29k 2025
 6 24
 k 69 k 1,2,3....,69
 29 29
Vậy các số tự nhiên n cần tìm cĩ dạng n 29k 5với k 1,2,3....,69 Hướng dẫn giải – đáp số
Từ a3 a2b ab2 6b3 0
 a3 2a2b a2b 2ab2 3ab2 6b3 0
 a 2b a2 ab 3b2 0
Vì a b 0 a2 ab 3b2 0 do đĩ a 2b 0 a 2b
 a4 4b4 16b4 4b4 12b4 4
Vậy B .
 b4 4a4 b4 64b4 63b4 21
9.3. Cho a, b thỏa mãn10a2 3b2 5ab 0 và9a2 b2
 2a b 5b a
Tính giá trị của biểu thức P .
 3a b 3a b
 Hướng dẫn giải – đáp số
 2a b 3a b 5b a 3a b 
Ta cĩ P 
 3a b 3a b 
 6a2 2ab 3ab b2 15ab 5b2 ab 3a2 6b2 15ab
P 
 9a2 b2 9a2 b2
Từ giả thiết 10a2 3b2 5ab 0 5ab 3b2 10a2.
 3a2 6b2 9b2 30a2 27a2 3b2
Từ đĩ suy ra P 3
 9a2 b2 9a2 b2
 2020 2015 20202 20152
9.4. Số nào lớn hơn: A và B .
 2020 2015 20202 20152
 Hướng dẫn giải – đáp số
 2020 2015 20202 20152 20202 20152
Ta cĩ A 
 2020 2015 2020 2015 2 20202 20152
 A B
9.5. Với giá trị nào của x thì:
 3
a ) Giá trị của phân thức A dương;
 x 2
 3
b) Giá trị của phân thức B âm;
 x 3
 x 1
c) Giá trị của phân thứcC dương.
 x 5
 Hướng dẫn giải – đáp số
 3
a) A 0 x 2 0 x 2.
 x 2
 3
b) B 0 x 3 0 x 3.
 x 3 Từ 2x y 11z và x 3z suy ra y 5z.
 2x2 3xy 18z2 45z2 9
Thay vào biểu thức:Q 
 x2 3y2 9z2 75z2 28
9.9. Cho a, b thỏa mãn5a2 2b2 11ab và a 2b 0.
 4a2 5b2
Tính giá trị của biểu thức A .
 a2 2ab
 Hướng dẫn giải – đáp số
 2 2 5a b thỏa mãn 
Từ giả thiết:5a 2b 11ab 5a b a 2b 0 
 a 2b (loại) 
 4a2 125a2
Thay5a b vào A ta được: A 11.
 a2 10a2
 ab
9.10. Cho 4a2 b2 5ab và 2a b 0. Tính giá trị P 
 4a2 b2
 Hướng dẫn giải – đáp số
Từ giả thiết: 4a2 b2 5ab
 4a2 b2 5ab 0 4a2 4ab ab b2 0
 4a b(loại) 
 4a b a b 0 
 a b(thỏa mãn)
 a2 1
Suy ra a b . Thay vào P ta được: P .
 3a2 3
 x 1 x4 3x3 18x 1
9.11. Cho x thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức P 
 x2 x 1 2 x3 2x2 7x 1
 Hướng dẫn giải – đáp số
 x 1
Từ giả thiết: suy ra x2 x 1 2x x2 3x 1 0
 x2 x 1 2
Ta cĩ: x4 3x2 18x 1 x2 3x 1 x2 1 15x.
x3 2x2 7x 1 x2 3x 1 x 1 9x
 2 2
 x 3x 1 x 1 15x 15x 5
Với x2 3x 1 0 ta cĩ P .
 x2 3x 1 x 1 9x 9x 3
 3x2 y 1
9.12. Cho x,y thỏa mãn x2 2xy 2y2 2x 6y 5 0. Tính giá trị của biểu thức N .
 4xy
 Hướng dẫn giải – đáp số
Ta cĩ: