Chuyên đề 9 - Chương IX, Bài 4: Ba đường CONIC trong mặt phẳng tọa độ - Toán 10 Chân trời sáng tạo

 CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 
 IX TRONG MẶT PHẲNG
 CHƯƠNG
 BÀI 4. BA ĐƯỜNG CONIC TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
 I LÝ THUYẾT.
 =
1. ELIP=
 = - Cho hai điểm cố định và phân biệt F1 , F2 . Đặt F1F2 2c 0 . Cho số thực a lớn hơn c . Tập 
 I hợp các điểm M sao cho MF1 MF2 2a được gọi là đường elip . Hai điểm F1 , F2 được gọi là 
 hai tiêu điểm và F1F2 2c được gọi là tiêu cự của elip đó.
 - Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm 
 x2 y2
 của đọan thẳng nối hai tiêu điểm đó thì có phương trình 1, với a b 0 . 2 
 a2 b2
 Ngược lại, mỗi phương trình có dạng 2 đều là phương trình của elip có hai tiêu điểm 
 F a2 b2 ;0 , F a2 b2 ;0 , tiêu cự 2c 2 a2 b2 và tổng các khoảng cách từ mỗi 
 1 2 
 điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bằng 2a .
 - Phương trình 2 được gọi là phương trình chính tắc của elip tương ứng.
 x2 y2
 *Tính chất và hình dạng của Elip: Cho elip có phương trình chính tắc 1, với a b 0 .
 a2 b2
 ● Trục đối xứng O x , O y
 ● Tâm đối xứng O .
 ● Tiêu điểm F1 c;0 , F2 c;0 .
 ● Tọa độ các đỉnh A1 a;0 , A2 a;0 , B1 0; b , B2 0;b .
 ● Độ dài trục lớn 2a. Độ dài trục bé 2b.
 ● Nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở có kích thước là 2a và 2b.
 c
 ● Tâm sai e 1.
 a
 a a
 ● Hai đường chuẩn x và x .
 e e
 ● M x; y E . Khi đó MF1 a ex : bán kính qua tiêu điểm trái.
 Page 1 CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
 BÀI TẬP.
 2 2
 Câu 1. Cho elip có phương trình .Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip
 36 + 9 = 1
 Lời giải
 2 2 2 = 36
 Ta có: + = 1⇒
 36 9 2 = 9
 Mặt khác 2 = 2 ― 2 = 36 ― 9 = 27⇒ =± 27.
 Vậy ta có hai tiêu điểm 퐹1( ― 27;0) và 퐹2( 27;0),có tiêu cự bằng 2 = 2 27.
 2 2
 Câu 2. Cho hypebol có phương trình: . Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.
 7 ― 9 = 1
 Lời giải
 2 2 2 = 7
 Ta có: ― = 1⇒
 7 9 2 = 9
 Mặt khác 2 = 2 + 2 = 49 + 81 = 130⇒ =± 130.
 Vậy ta có hai tiêu điểm 퐹1( ― 130;0) và 퐹2( 130;0); có tiêu cự bằng 2 = 2 130.
 Câu 3. Cho parabol có phương trình: 2 = 8 . Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.
 Lời giải
 Ta có : 
 4
 2 = 8⇔ = 4 nên tiêu điểm của parabol 퐹 ;0 = 퐹 và đường chuẩn :훥: = ― = ― = ―2. 
 2 2 2
 Câu 4. Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điềm A và có một tiêu điềm là F2.
 Lời giải
 2 2
 Ta có:Phương trình elip có dạng 
 : 2 + 2 = 1
 25 0
 Do đi qua nên: 2
 (5;0) 2 + 2 = 1⇒ = 25
 2 2 2
 Mặc khác: tiêu điểm 퐹2(3;0)nên ⇒ = 3 => = 9 = + 
 2 2
 Từ và => 2 nên 
 = 16 :25 + 16 = 1
 Câu 5. Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm 
 Lời giải
 Giả sử : 2 = 2 
 Vì đi qua nên:16 = 2 .2 => = 4.Vậy 2 = 8 
 Câu 6. Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí A, B cách nhau 300 km. Tại cùng một 
 thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292 000 km/s để một tàu thuỷ thu và đo độ 
 lệch thời gian. Tín hiệu từ A đến sớm hơn tín hiệu từ B là 0,0005 s. Từ thông tin trên, ta có thể 
 xác định được tàu thuỷ thuộc đường hypebol nào? Viết phương trình chính tắc của hypebol đó 
 theo đơn vị kilômét.
 Lời giải
 Ta có: 
 Do tín hiệu A đến sớm hơn tín hiệu từ B nên tàu thuỷ thuộc đường hepebol nhánh A.
 Page 3 CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
 x2 y2
Câu 1: Tìm tọa độ các đỉnh, độ dài các trục, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai của elip: E : 1.
 4 1
 Lời giải
 2 2 2 2
 Từ phương trình của c a b 3 E , ta có a 2, b 1 . Suy ra c a b 3.
 Suy ra tọa độ các đỉnh là A1 2;0 ; A2 2;0 ; B1 0; 1 ; B2 0;1 .
 Độ dài trục lớn A1A2 4, độ dài trục bé B1B2 2.
 Tiêu cự FF 2c 2 3 , tiêu điểm là .
 1 2 F1 3;0 ; F2 3;0 
 c 3
 Tâm sai của c a2 b2 3 là e .
 a 2
Câu 2: Tìm tọa độ các đỉnh, độ dài các trục, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai của elip: E :4x2 25y2 100.
 Lời giải
 2 2
 2 2 x y 2 2
 Ta có 4x 25y 100 1 suy ra a 5; b 2 nên c a b 21.
 25 4
 Do đó tọa độ các đỉnh là A1 5;0 ; A2 5;0 ; B1 0; 2 ; B2 0;2 .
 Độ dài trục lớn A1A2 10, độ dài trục bé B1B2 4.
 Tiêu cự FF 2c 2 21 , tiêu điểm là .
 1 2 F1 21; 0 ; F2 21; 0 
 c 21
 Tâm sai của E là e .
 a 5
Câu 3: Tìm tọa độ các đỉnh, độ dài các trục, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai của elip: E : 4x2 9y2 1.
 Lời giải
 2 2
 2 2 x y 1 1 2 2 5
 Ta có 4x 9y 1 1 suy ra a ; b nên c a b .
 1 1 2 3 6
 4 9
 1 1 1 1 
 Do đó tọa độ các đỉnh là A1 ;0 ; A2 ;0 ; B1 0; ; B2 0; .
 2 2 3 3 
 2
 Độ dài trục lớn A1A2 1, độ dài trục bé B B .
 1 2 3
 2 5 5 5 
 F F 2c F ;0 ; F ;0
 Tiêu cự 1 2 , tiêu điểm là 1 2 .
 6 6 6 
 Page 5 CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
 x2 y2
Câu 1: Cặp điểm nào là các tiêu điểm của elip E : 1?
 5 4
 A. F1,2 0; 1 . B. F1,2 1;0 . C. F1,2 3;0 . D. F1,2 1; 2 .
 Lời giải
 ChọnB.
 2 2 2 2 2
 Ta có: a 5;b 4 c a b 1 c 1 F1,2 1;0 .
Câu 2: Cho Elip E : 4x2 9y2 36 . Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau:
 c 5
 A. E có tỉ số . B. E có trục lớn bằng 6.
 a 3 
 C. E có trục nhỏ bằng 4. D. E có tiêu cự 5 .
 Lời giải
 ChọnD.
 x2 y2
 E :4x2 9y2 36 1
 9 4
 Suy ra: a 3,b 2,c 5
 Tiêu cự của E là 2c 2 5 .
 x2 y2
Câu 3: Cho elip 1. Phát biểu nào sau đây đúng?
 3 1
 A. Tỉ số giữa trục lớn và trục nhỏ bằng 3 . B. Tiêu cự bằng 4.
 2
 C. Tâm sai e . D. Hai tiêu điểm F1 2;0 và F2 2;0 .
 3
 Lời giải
 ChọnA.
 a2 3 a 3
 2 2
 x y 2
 Ta có (E) : 1 b 1 b 1 .
 3 1
 2 2 2
 c a b 2 c 2
Câu 4: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của elip
 x² y²
 A. 4 x² 8 y² 32 . B. 1.
 1 1
 5 2
 x² y² x² y²
 C. 1 . D. 1 .
 64 16 8 4
 Lời giải
 ChọnA.
 x² y²
 Vì 4 x² 8 y² 32 1 .
 8 4
 Page 7