Chuyên đề 9 - Chương IX, Bài 2: Phương trình đường thẳng (Phần 1) - Toán 10 Chân trời sáng tạo

 CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 
 VII TRONG MẶT PHẲNG
 CHƯƠNG
 BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
 I LÝ THUYẾT.
 =
1. PHƯƠNG= TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
 = a. Véc tơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng
 r r
 I - Vectơ u ¹ 0được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng D nếu giá của nó 
 song song hoặc trùng với D .
 Nhận xét:
 + Nếu u là một vtcp của đường thẳng d thì k.u , k 0 cũng là một véc tơ chỉ 
 phương của d .
 + Một đường thẳng xác định khi biết một vtcp và một điểm mà nó đi qua.
 ur r
 - Vectơ n ¹ 0 gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của D nếu giá của nó vuông góc với D .
 Nhận xét:
 Page 1 CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
 Nhận xét :A Î D Û A(x0 + at;y0 + bt), t Î R
 x x0 at
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , mọi phương trình dạng với a2 b2 0 
 y y0 bt
 đều là phương trình của đường thẳng d có một vtcp là u a;b .
 b. Phương trình tổng quát (PTTQ) của đường thẳng
 Trong mặt phẳng tọa độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng 
 ax by c 0, với a và b không đồng thời bằng 0 . Ngược lại, mỗi phương trình dạng 
 ax by c 0, với a và b không đồng thời bằng 0 , đều là phương trình của một đường 
 thẳng, nhận n a;b là một vectơ pháp tuyến.
 1. Đường thẳng d đi qua điểm M x0 ; y0 và có VTPT n A;B thì có phương trình 
 tổng quát là A x x0 B y y0 0 .
 2. Ngược lại, trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy mọi phương trình dạng 
 Ax By C 0 A2 B2 0 đều là phương trình tổng quát của đường thẳng d có VTPT 
 n A;B .
 3. Một số trường hợp đặc biệt của PTTQ Ax By C 0 A2 B2 0 .
 C
 a) Nếu A 0 phương trình trở thành By C 0 y đường thẳng song song 
 B
 C 
 với trục hoành Ox và cắt trục tung Oy tại điểm M 0; .
 B 
 C
 b) Nếu B 0 phương trình trở thành Ax C 0 x đường thẳng song song 
 A
 C 
 với trục tung Oy và cắt trục hoành Ox tại M ;0 .
 A 
 c) Nếu C 0 phương trình trở thành Ax By 0 đường thẳng đi qua gốc tọa độ 
 O 0;0 .
 d) Đường thẳng có dạng y ax b , (trong đó a được gọi là hệ số góc của đường 
 thẳng ) có VTPT là n a; 1 . Ngược lại đường thẳng có VTPT n A; B thì có 
 A
 hệ số góc là .
 B
 x y
 e) Đường thẳng d đi qua điểm A a;0 và B 0;b có phương trình là 1.
 a b
 d. Phương trình chính tắc của đường thẳng
 Page 3 CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
 Chú ý 1:
 a) Nếu 푛1 . 푛2 = 0 thì 푛1 ⊥ 푛2, suy ra ∆1 ⊥ ∆2.
 b) Đề xét hai vectơ 푛1 (a1; b1) và 푛2 (a2; b2) cùng phương hay không cùng phương, ta xét biểu 
 thức a1b1 – a2b2:
 • Nếu a1b1 – a2b2 = 0 thì hai vectơ cùng phương.
 • Nếu a 1b1 – a2b2 ≠ 0 thì hai vectơ không cùng phương.
 Chú ý 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : a1x b1 y c1 0 và 
 d2 : a2 x b2 y c2 0 . 
 Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng này ta xét số nghiệm của hệ phương trình 
 a1x b1 y c1 0
 (0.1)
 a2 x b2 y c2 0
 + Nếu hệ 1.1 có duy nhất 1 nghiệm ta nói hai đường thẳng trên cắt nhau tọa độ giao điểm chính 
 là nghiệm của hệ phương trình nói trên. 
 + Nếu hệ 1.1 vô nghiệm ta nói hai đường thẳng nói trên song song với nhau. 
 + Nếu hệ 1.1 nghiệm đúng với mọi x R thì hai đường thẳng trên trùng nhau. 
 + Tuy nhiên để thuận tiện cho việc xét nhanh vị trí tương đối của hai đường thẳng ta chú ý nhận 
 xét sau
 Nhận xét. Nếu a2b2c2 0 ta có
 a1 b1
 a) d1  d2 I
 a2 b2
 a1 b1 c1
 b) d1 / /d2
 a2 b2 c2
 a1 b1 c1
 c) d1  d2
 a2 b2 c2
2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng 1 : a1x b1 y c1 0 và 
 2 : a2 x b2 y c2 0 . 
 Khái niệm góc giữa hai đường thẳng 
 Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành bốn góc.
 • Nếu ∆1 không vuông góc với ∆2 thì góc nhọn trong bốn góc đó được gọi là góc giữa hai 
 đường thẳng ∆1 và ∆2.
 0
 • Nếu ∆1 vuông góc với ∆2 thì ta nói góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 90 .
 0
 Ta quy ước: Nếu ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau thì góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 0 . Như vậy 
 góc 훼 giữa hai đường thẳng luôn thoả mãn: 00 ≤ 훼 ≤ 900.
 Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu là ( ∆1,∆2 ) hoặc (∆1, ∆2).
 Khi hai đường thẳng cắt nhau góc giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:
   
 n1.n2 a a b b
 cos ;   1 2 1 2
 1 2 2 2 2 2
 n1 . n2 a1 b1 a2 b2
 Page 5 CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
 a) Lập phương trình tổng quát của 1.
 b) Lập phương trình tham số của 2.
 Lời giải
 a) Lập phương trình tổng quát của 1.
 Đường thẳng 1 đi qua điểm M 1;3 , có vectơ chỉ phương u 2,5 nên 1 có vectơ pháp 
 tuyến là n (5; 2). Khi đó phương trình tổng quát của 1 là: 5x 2y 1 0. 
 b) Lập phương trình tham số của 2.
 Đường thẳng 2 đi qua điểm N 1;1 , có vectơ pháp tuyến là n (2;3) nên 2 có vectơ chỉ 
 x 1 3t
 phương u 3; 2 . Khi đó phương trình tham số của 2 là: 
 y 1 2t.
 Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A 1;2 , B 3;0 và C 2; 1 .
 a) Lập phương trình đường cao kẻ từ A.
 b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ B.
 Lời giải
 a) Lập phương trình đường cao kẻ từ A.
  
 Đường cao kẻ từ A đi qua A 1;2 và nhận CB 5;1 là vectơ pháp tuyến có phương trình là
 5x y 7 0.
 b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ B.
 1 1 
 Gọi M là trung điểm của AC thì M ; .
 2 2 
  7 1 
 Đường trung tuyến kẻ từ B nhận MB ; là vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến 
 2 2 
 là n (1;7) và đi qua B 3;0 nên có phương trình là: x 7y 3 0 .
 Câu 5. (Phương trình đọan chắn của đường thẳng )
 Page 7 CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
 b) Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 (17 0 Bắc) chưa?
 Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh thì máy bay đã bay đến 17,375 0 Bắc nên máy bay đã bay 
 qua vĩ tuyến 17 .
 Câu 7. Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
 a) 1 : 3 2x 2y 3 0 và 2 : 6x 2y 6 0 .
 b) d1 : x 3y 2 0 và d2 : 3x 3y 2 0 .
 c) m1 : x 2y 1 0 và m2 : 3x y 2 0 .
 Giải:
 3 2x 2y 3 0
 a) Xét hệ phương trình có vô số nghiệm 
 6x 2y 6 0
 Vậy 1 và 2 trùng nhau.
 x 3y 2 0
 b) Xét hệ phương trình vô nghiệm 
 3x 3y 2 0
 Vậy d1 và d2 song song.
 3
 x 
 x 2y 1 0 7
 c) Xét hệ phương trình . Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
 3x y 2 0 5
 y 
 7
 3 5 
 Vậy m1 và m2 cắt nhau tại A ; .
 7 7 
 Câu 8. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
 a) 1 : 3x y 4 0 và 2 : x 3y 3 0 .
 x 1 2t x 3 s
 b) d1 : và d2 : ( t, s là các tham số).
 y 3 4t y 1 3s
 Giải:
  
 a) Đường thẳng có vectơ pháp tuyến n 3;1 .
 1 1 
  
 Đường thẳng có vectơ pháp tuyến n 1; 3 .
 2 2 
 Gọi là góc giữa 2 đường thẳng 1 và 2 . Ta có
   
   n .n 3.1 1. 3
 1 2 3
 cos cos n ,n   .
 1 2 2 2
 n . n 2 2 2
 1 2 3 1 . 1 3 
 Page 9