Chuyên đề 9 - Chương IX, Bài 1: Tọa độ của vectơ - Toán 10 Chân trời sáng tạo

 CHUYấN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 
 IX TRONG MẶT PHẲNG
 CHƯƠNG
 BÀI 1: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ 
 I Lí THUYẾT.
 =
1. TỌA= ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI VỚI MỘT HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
 =Trục tọa độ
 O
 I • Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trờn đú đó xỏc định một điểm gọi là 
 điểm gốc và một vectơ đơn vị i.
 • Điểm O gọi là gốc tọa độ.
 • Hướng của vecto đơn vị là hướng của trục.
 • Ta kớ hiệu trục đú là O;i .
 r
 O i M
  
 Cho M là một điểm tựy ý trờn trục O;i . Khi đú cú duy nhất một số k sao cho OM x0 i.
 Ta gọi số x0 đú là tọa độ của điểm M đối với trục đó cho. 
  
 Cho hai điểm A và B trờn trục O;i . Khi đú cú duy nhất số a sao cho AB ai. Ta gọi số a là
  
 độ dài đại số của vectơ AB đối với trục đó cho và kớ hiệu a AB.
 Nhận xột.
  uuur 
 ã Nếu AB cựng hướng với i thỡ AB AB, cũn nếu AB ngược hướng với i thỡ AB AB.
 ã Nếu hai điểm A và B trờn trục O;i . cú tọa độ lần lượt là a và b thỡ AB b a.
 Hệ tọa độ
 Định nghĩa. Hệ trục tọa độ O;i , j gồm hai trục O;i và O; j vuụng gúc với nhau.
 Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục O;i được gọi là trục hoành và kớ
 r r
 hiệu là Ox, trục O; j được gọi là trục tung và kớ hiệu là Oy. Cỏc vectơ i và j là cỏc vectơ 
 đơn vị trờn Ox và Oy và i j 1. Hệ trục tọa độ O;i , j cũn được kớ hiệu là Oxy.
 y
 r 1
 j x
 r
 O i
 O 1
 Mặt phẳng mà trờn đú đó cho một hệ trục tọa độ Oxy cũn được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy
 Page 1 CHUYấN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
 r r ùỡ x = xÂ
 4) u = v Û ớù
 ợù y = yÂ
 r r r r ùỡ xÂ= kx
 5) v cựng phương u (u ạ 0 ) khi và chỉ khi cú số k sao cho ớù 
 ợù yÂ= ky
3. ÁP DỤNG CỦA TỌA ĐỘ VECTO
 Liờn hệ giữa toạ độ của điểm và toạ độ của vectơ trong mặt phẳng
 uuur
 Cho A(xA; yA ), B(xB ; yB ) thỡ AB = (xB - xA; yB - yA )
 Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng
 Cho đoạn thẳng AB cú A xA; yA , B xB ; yB . Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm
 I xI ; yI của đoạn thẳng AB là
 x x y y
 x A B , y A B .
 I 2 I 2
 Tọa độ trọng tõm của tam giỏc
 Cho tam giỏc ABC cú A xA ; yA , B xB ; yB , C xC ; yC . Khi đú tọa độ của trọng tõm
 G xG ; yG của tam giỏc ABC được tớnh theo cụng thức
 x x x y y y
 x A B C , y A B C .
 G 3 G 3
 Ứng dụng biểu thức tọa độ của cỏc phộp toỏn vecto
   
 Trờn mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai vectơ a a1;a2 , b b1;b2 và hai điểm 
 A xA; yA , B xB ; yB .Ta cú:
 1) a  b a.b 0 a1b1 a2b2 0
 2) a,b cựng phương a1b1 a2b2 0
 2 2
 3) a a1 a2
 uuur 2 2
 4) AB = AB = (xB - xA ) + (yB - yA )
 a.b a b a b 
 5) cos a;b 1 1 2 2 ( a a ;a và b b ;b đều khỏc 0 )
 2 2 2 2 1 2 1 2
 a . b a1 a2 . b1 b2
 II VÍ DỤ MINH HỌA.
 =
Cõu= 1. Trờn trục O;i cho cỏc điểm A , B , C lần lượt cú tọa độ 1; 2 ; 3 .
 =I     
 Tớnh độ dài đại số của cỏc vectơ AB ; BC . Từ đú suy ra hai vectơ AB ; BC ngược hướng?
 Lời giải
  
 Ta cú AB 2 1 3 , BC 3 2 5 . Do đú vectơ AB ngược hướng với vectơ i và 
  
 vectơ BC cựng hướng với vectơ i .
 Page 3 CHUYấN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
 Vậy E 5;6 .
  
 b) Gọi D xD ; yD DC 3 xD ;2 yD .
   
 3 xD 3 x 0
 Do tứ giỏc ABCD là hỡnh bỡnh hành nờn AB DC .
 2 yD 3 y 5
 Ta thấy A , B , C , D khụng thẳng hàng. Vậy D 0;5 là đỏp ỏn bài toỏn.
   
Cõu 5. Trong mặt phẳng Oxy , cho cỏc điểm A 1;3 , B 4;0 . Tỡm tọa độ điểm M thỏa 3AM AB 0 ?
 Lời giải
   
 Giả sử M xM ; yM suy ra AM xM 1; yM 3 và AB 3; 3 .
 3 x 1 3 0
   M xM 0
 Ta cú: 3 AM AB 0 M 0;4 .
 y 4
 3 yM 3 3 0 M
Cõu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú A 3;4 , C 8;1 . Gọi M là trung 
 điểm của cạnh BC , N là giao điểm của BD và AM . Xỏc định cỏc đỉnh cũn lại của hỡnh bỡnh 
 13 
 hành ABCD , biết N ;2 .
 3 
 Lời giải
 A D
 N I
 B
 M C
 Do I là tõm của hỡnh bỡnh hành ABCD , ta cú I là trung điểm của đoạn thẳng AC nờn 
 11 5 
 I ; .
 2 2 
 Xột tam giỏc ABC thỡ BI , AM là hai đường trung tuyến nờn N là trọng tõm tam giỏc ABC .
 13 3 xB 8
 3 3 xB 2
 Do đú , vậy B 2;1 .
 4 y 1 y 1
 2 B B
 3
 2 xD 11 xD 9
 Gọi D xD ; yD . Do I trung điểm của BD nờn nờn D 9;4 .
 1 yD 5 yD 4
 Vậy B 2;1 , D 9;4 .
 BÀI TẬP.
 Page 5 CHUYấN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
 1 1   
 Vỡ nờn AB; AC khụng cựng phương, suy ra A, B,C là ba đỉnh của một tam giỏc.
 4 1 
 1 2 3
 x 
 M 2 2 3 7 
 b) M ; .
 3 4 7 2 2
 y 
 M 2 2
 1 2 3 
 xG 0
 3
 c) G 0;3 
 3 4 2
 y 3
 G 3
 d) Gọi D xD ; yD 
 1 2 xD
 0 
 3 xD 3
 Ta cú: D 3; 7 .
 3 4 y y 7
 0 D D
 3
Cõu 4. Sự chuyển động của một tàu thủy được thề hiện trờn một mặt phẳng toạ độ như sau: Tàu khời 
 hành từ vị trớ A 1;2 chuyền động thẳng đều với vận tốc (tớnh theo giờ) được biểu thị bời vectơ 
 v 3;4 . Xỏc định vị trớ của tàu (trờn mặt phẳng toạ độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 
 giờ.
 Lời giải
  
 Gọi B x; y ,(y 0) ; v 32 42 5 ; AB x 1; y 2 
 Quảng đường tàu thủy chạy được sau 1,5 giờ là: 1,5.5 7,5 .
  
 Ta cú: AB x 1 2 y 2 2 7,5 x 1 2 y 2 2 7,52 (1)
  x 1 y 2 3 1
 AB và v cựng phương nờn x y (2)
 3 4 4 2
 Thay 2 vào 1 ta cú: 
 2 11
 3 1 2 2 2 y 8 x 
 y 1 y 2 7,5 25y 100y 800 0 2 .
 4 2 
 y 4(loai)
 Page 7