Chuyên đề 8: Hình phụ để giải toán trong chương tứ giác - Bồi dưỡng HSG Toán hình 8

 Chuyờn đề 8
 HèNH PHỤ ĐỂ GIẢI TOÁN TRONG 
 CHƯƠNG TỨ GIÁC
A. Kiến thức cần nhớ
 Nhiều bài toỏn trong chương tứ giỏc cần phải vẽ hỡnh phụ thỡ mới giải được. Vẽ hỡnh phụ để tạo 
thờm sự liờn kết giữa giả thiết và kết luận từ đú dễ tỡm ra cỏch giải. Một số cỏch vẽ hỡnh phụ thường dựng 
trong chương này là: 
1. Nếu đề bài cú hỡnh thang thỡ từ một đỉnh cú thể vẽ thờm một đường thẳng:
- song song với một cạnh bờn;
- song song với một đường chộo;
- vuụng gúc với đỏy.
 Khi vẽ như vậy, một đoạn thẳng đó được dời song song với chớnh nú từ vị trớ này đến một vị trớ 
khỏc thuận lợi hơn trong việc liờn kết với cỏc yếu tố khỏc, từ đú giải được bài toỏn.
2. Vẽ thờm hỡnh bỡnh hành để chứng minh hai đường thẳng song song, chứng minh quan hệ về độ dài, 
chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng, tớnh số đo gúc,...
3. Vẽ thờm trung điểm của đoạn thẳng để vận dụng định lý đường trung bỡnh của tam giỏc, của hỡnh 
thang, định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giỏc vuụng. Cũng cú thể vẽ thờm đường 
thẳng song song để tạo ra đường trung bỡnh của tam giỏc, hỡnh thang.
 Dựng định lý đường trung bỡnh cú thể chứng minh cỏc quan hệ song song, thẳng hàng, cỏc quan 
hệ về độ dài,...
4. Vẽ điểm đối xứng với một điểm cho trước qua một đường thẳng hoặc qua một điểm. Nhờ cỏch vẽ này 
ta cũng cú thể dời một đoạn thẳng, một gúc từ vị trớ này sang vị trớ khỏc thuận lợi cho việc chứng minh.
B. Một số vớ dụ
Vớ dụ 1. Chứng minh rằng trong một hỡnh thang tổng hai cạnh bờn lớn hơn hiệu hai cạnh đỏy.
 Giải (h.8.1)
* Tỡm cỏch giải
Xột hỡnh thang ABCD (AB // CD), ta phải chứng minh AD + BC > 
CD - AB. Điều phải chứng minh rất gần với bất đẳng thức tam 
giỏc. Điều này gợi ý cho ta vẽ hỡnh phụ để cú AD + BC là tổng cỏc 
độ dài hai cạnh của một tam giỏc.
* Trỡnh bày lời giải
Vẽ BM / / AD M CD ta được DM AB và BM AD . 
Xột BMC cú BM BC MC AD BC DC DM hay AD BC CD AB (đpcm).
Trường hợp hai cạnh bờn song song thỡ hai đỏy bằng nhau, bài toỏn hiển nhiờn đỳng. * Trỡnh bày lời giải
Vẽ hỡnh bỡnh hành ABEC, ta được BE // AC 
suy ra DBˆE AOˆB 60o 
BE = AC = a; AB = CE.
Tam giỏc BDE là tam giỏc đều DE a .
Xột ba điểm C, D, E ta cú: CE CD DE hay AB CD a 
(dấu “=” xảy ra khi điểm C nằm giữa D và E hay DC // AB. 
Khi đú tứ giỏc ABCD là hỡnh thang cõn). 
Vớ dụ 5. Cho hỡnh chữ nhật ABCD. Vẽ AH  BD . Gọi K và M 
lần lượt là trung điểm của BH và CD. Tớnh số đo của gúc AKM.
 Giải (h.8.5)
* Tỡm cỏch giải
Bài toỏn cú cho hai trung điểm K và M nhưng chưa thể vận dụng trực tiếp được.
Ta vẽ thờm trung điểm N của AB để vận dụng định lý đường trung bỡnh của hỡnh chữ nhật, đường trung 
bỡnh của tam giỏc.
* Trỡnh bày lời giải
Gọi N là trung điểm cửa AB thỡ MN là đường trung bỡnh của hỡnh chữ nhật ABCD MN / / AD .
Mặt khỏc, AN // DM nờn tứ giỏc ANMD là hỡnh
bỡnh hành. Hỡnh bỡnh hành này cú Dà 90o nờn là hỡnh chữ 
nhật. Suy ra hai đường chộo AM và DN cắt nhau tại trung điểm 
O của mỗi đường: 
OA = OM = ON = OD.
Xột ∆ABH cú NK là đường trung bỡnh nờn 
NK / / AH NK  BD (vỡ AH  BD ). Do đú ∆KDN vuụng 
tại K.
Xột ∆KDN cú KO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền 
 1
nờn KO DN 
 2
 1
 KO AM OA OM 
 2
Vậy ∆KAM vuụng tại K ãAKM 90O 
Vớ dụ 6. Cho hai điểm A và B thuộc cựng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d. Tỡm trờn d một điểm 
M sao cho hai tia MA, MB tạo với đường thẳng d hai gúc nhọn bằng nhau.
 Giải (h.8.6)
* Tỡm cỏch giải
Giả sử đó tỡm được điểm M d sao cho Mả 1 Mả 2 . 8.12. Cho tứ giỏc ABCD,Cã AD Cã BD 90o . Gọi E và F lần lượt là hỡnh chiếu của C và D trờn đường 
thẳng AB. Chứng minh rằng AF = BE.
8.13. Cho đường thẳng xy. Vẽ tam giỏc ABC trờn một nửa mặt phẳng bờ xy. Gọi G là trọng tõm của tam 
giỏc ABC. Từ A, B, C và G vẽ cỏc đường thẳng song song với nhau cắt xy lần lượt tại A', B', C' và G'. 
Chứng minh rằng:
AA' BB ' CC’ 3GG '. 
8.14. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Trờn cỏc cạnh AB và AC lần lượt lấy cỏc điểm M và D sao cho
AM AD . Từ A và M vẽ cỏc đường thẳng vuụng gúc với BD chỳng cắt BC lần lượt tại E và F. Chứng 
minh rằng:
 BD MF
 AE 
 2
8.15. Cho tứ giỏc ABCD. Gọi A', B', C', D' lần lượt là trọng tõm của cỏc tam giỏc BCD, CDA, DAB, ABC. 
Chứng minh rằng:
a) Cỏc đường thẳng AA', BB', CC', DD' cựng đi qua một điểm;
b) Điểm này chia AA', BB', CC', DD' theo cựng một tỉ số.
8.16. Cho tam giỏc ABC và một điểm O nằm trong tam giỏc sao cho ãABO ãACO . Vẽ 
OH  AB,OK  AC . Chứng minh rằng đường trung trực của HK đi qua một điểm cố định.
• Vẽ thờm hỡnh đối xứng
8.17. Cho gúc xOy cú số đo bằng 60O và một điểm A ở trong gúc đú sao cho A cỏch Ox là 2cm và cỏch 
Oy là lcm.
a) Tỡm một điểm B trờn Ox và một điểm C trờn Oy sao cho chu vi tam giỏc ABC nhỏ nhất;
b) Tớnh độ dài nhỏ nhất của chu vi tam giỏc ABC.
8.18. Dựng tam giỏc biết một đỉnh, trọng tõm và hai đường thẳng đi qua hai đỉnh cũn lại. Vẽ AH  CD, BK  CD thỡ HK AB
Ta cú: AC 2 HC 2 AD2 DH 2 AH 2 ;
BD2 KD2 BC 2 KC 2 BK 2 
Cộng từng vế hai đẳng thức trờn ta được:
 AC 2 HC 2 BD2 KD2 AD2 BC 2 DH 2 CK 2
 AC 2 BD2 AD2 BC 2 CH 2 CK 2 DK 2 DH 2 
 AD2 BC 2 CH CK CH CK DK DH DK DH 
 AD2 BC 2 HK CH CK HK DK DH 
 AD2 BC 2 HK CH CK DK DH 
 AD2 BC 2 HK CD CD 
 AD2 BC 2 2AB.CD
• Trường hợp mỗi đỏy cú một gúc tự (hoặc một gúc vuụng), một gúc nhọn: Cũng chứng minh tương tự.
8.6. (h.8.12)
Vẽ hỡnh bỡnh hành DAFH.
Gọi N là giao điểm của hai đường chộo DF và AH, M là giao điểm của EH và BC. 
Ta cú NA NH, ND NF. 
Ta đặt Dã AH ãAFH thỡ Bã DH Hã FC 60O .
Dã AF 180O ;
Bã AC 360O Bã AD Cã AF Dã AF
 360O 60O 60O 180O 
 60O
∆BDH và ∆HFC cú: BD HF AD ; BDˆH HFˆC (chứng minh 
trờn); DH FC AF . Do đú BDH HFC (c.g.c)
 HB HC. 1 Chứng minh tương tự, ta được BAC HFC
(c.g.c)
 BC HC. 2 
Từ (1) và (2) suy ra HB HC BC .
Tứ giỏc BHCE cú cỏc cặp cạnh đối bằng nhau (cựng bằng BC) nờn là 
hỡnh bỡnh hành MB MC và MH ME .
• Xột ∆AEH cú AM và AN là hai đường trung tuyến nờn giao điểm G của chỳng là trọng tõm 
 2 2
 EG EN và AG AM .
 3 3 - Qua D dựng một đường thẳng song song với BE. Qua B dựng một đường thẳng song song với DE chỳng 
cắt nhau tại A.
Tứ giỏc ABCD là tứ giỏc phải dựng.
c) Chứng minh
Theo cỏch dựng, ABED là hỡnh bỡnh hành nờn AB DE 2,5cm; AD BE 3,5 cm
Cã OD Cã BE 40O.
Tứ giỏc ABCD cú AB 2,5cm; BC 3cm;
CD 4,5cm; DA 3,5cm và Cã OD 40O , thoả món đề bài.
d) Biện luận
Bài toỏn cú hai nghiệm hỡnh là tứ giỏc ABCD và tứ giỏc A'BCD'.
8.9. (h.8.15)
Gọi M là trung điểm của CD.
Xột ∆HCD cú KM là đường hung bỡnh nờn KM / /HD do đú KM  AC (vỡ HD  AC ).
 1 
Tứ giỏc ADMB cú AB / /MD và AB DM CD nờn 
 2 
ABMD là hỡnh bỡnh hành.
Hỡnh bỡnh hành này cú àA 90o nờn là hỡnh chữ nhật. Suy ra 
AM BD và OA OM OB OD .
Xột ∆KAM vuụng tại K cú KO là đường trung tuyến nờn
 1 1
KO AM BD .
 2 2
 1
Xột ∆KBD cú KO là đường trung tuyến mà KO BD nờn 
 2
∆KBD vuụng tại K, do đú Bã KD 90o . 
8.10. (h.8.16)
Gọi E là trung điểm của OB thỡ ME là đường trung bỡnh của 
 1
 AOB ME / / AB và ME AB .
 2
Do đú ME / /NC và ME NC .
Tứ giỏc MECN là hỡnh bỡnh hành CE / /MN vàCE MN .
Ta cú: ME  BC tại F (vỡ AB  BC),BO  AC (tớnh chất đường 
chộo hỡnh vuụng). 
Xột ∆MBC cú E là trực tõm nờn CE  MB do đú MN  MB . (1)
∆MAB và ∆EBC cú:
AB BC;MAˆB EBˆC 45o ;MA EB (một nửa của hai đoạn thẳng bằng nhau). Từ (1) và (2) suy ra: AA' BB ' CC ' GG ' 2 NN ' MM ' .
 AA' BB ' CC ' GG ' 4GG '.
Do đú: AA' BB ' CC ' 3GG ' .
8.14. (h.8.20)
Trờn tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho:
AN AM .
 ACN ABD (c.g.c) CN BD và Ã CN Ã BD mà 
Cã AE Ã BD (cựng phụ với Bã AE )
nờn ACˆN CAˆE AE / /CN
Do đú MF / /CN (vỡ cựng song song với AE).
Xột hỡnh thang MFCN cú AE / /CN
và AM AN nờn EF EC .
 MF CN MF BD
Suy ra AE 
 2 2
8.15. (h.8.21)
a) Gọi M, N, P, Q, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA, AC và BD. Theo định lý Giộc-gụn 
(bài 4.8) thỡ ba đường thẳng MP, NQ, EF đồng quy tại điểm O là trung điểm của mỗi đoạn thẳng đú.
Gọi giao điểm của AO với DN là G.
VẽQH / / AG .
Xột ∆NQH ta được NG GH
Xột ∆ADG ta được GH HD
 1
Vậy NG GH HD HG DN. 1 
 3
Vỡ A' là trọng tõm của ABCD nờn A' DN 
 1
và NA' DN (2)
 3
Từ (1) và (2) suy ra G  A' do đú AA' đi qua O.
Chứng minh tương tự, cỏc đường thẳng BB',
CC', DD' đều đi qua O.
Suy ra AA', BB', CC', DD' đồng quy tại O.
 1 1 1
b) Ta cú: OA' QH mà QH AA'nờn OA' AA'.
 2 2 4
 1 OA' 1
Suy ra: OA' OA hay .
 3 OA 3
 OB ' OC ' OD ' 1
Chứng minh tương tự, ta được .
 OB OC OD 3 MH 2 HA2 AN 2 2HA.AN
 MH 2 HA2 AN 2 2HA.AN
 AM 2 AN 2 2HA.AN 42 22 2.2.2 28
 MN 28 5,3
Vậy độ dài nhỏ nhất của chu vi ∆ABC là 5,3 cm. 
8.18. (h.8.24) 
a) Phõn tớch
Giả sử đó dựng được tam giỏc ABC cú đỉnh A tại vị trớ A cho trước cú trọng tõm G tại vị trớ G cho trước, 
cú đỉnh B b ,đỉnh C c với b, c cho trước.
Gọi M là giao của tia AG với BC.
 3
Ta cú AM AG nờn điểm M xỏc định được.
 2
Gọi D là một điểm trờn b. Vẽ điểm E đối xứng với D qua M.
Khi đú đường thẳng b' đi qua C và E là đường thẳng đối xứng với 
b qua M.
• Điểm C thoả món hai điều kiện: C c vàC b'.
• Điểm B b và B B e tia CM. 
b) Cỏch dựng
 3
Dựng điểm M thuộc tia AG sao cho AM AG ; 
 2
Dựng đường thẳng b' đối xứng với b qua M, b' cắt c tại C; 
Dựng giao điểm B của đường thẳng b với tia CM;
Vẽ cỏc đoạn thẳng AB, AC ta được ∆ABC phải dựng.
Cỏc phần cũn lại bạn đọc tự giải.