Chuyên đề 8 - Chương VIII, Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp (Phần 1) - Toán 10 Chân trời sáng tạo

 CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP
 VIII ĐẠI SỐ TỔ HỢP
 CHƯƠNG
 BÀI 2: HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
 I LÝ THUYẾT.
 =
1 . HOÁN VỊ
 = a) Định nghĩa: Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó 
 = (với n là số tự nhiên, n 1).
 I b) Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là 
 Pn n! n(n 1)(n 2)...1. 
 c) Ví dụ:
 Câu 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số phân biệt thuộc tập 1;2;3;4;5?
 Lời giải
 Các số tự nhiên có 5 chữ số phân biệt thuộc tập 1;2;3;4;5 là một hoán vị của 5 phần tử.
 Vậy có P5 5! 120 số
 Câu 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 hành khách:
 a. Vào 5 ghế xếp thành một dãy.
 b. Vào 5 ghế xung quanh một bàn tròn, nếu không có sự phân biệt giữa các ghế này.
 Lời giải
 a. 5 hành khách xếp vào 5 ghế của một dãy là một hoán vị 5 phần tử. Do đó có P5 5! 120 
 cách xếp.
 b. Vì bàn tròn không phân biệt đầu cuối nên để xếp 5 người ngồi quanh một bàn tròn ta cố định 
 1 người và xếp 4 người còn lại quanh người đã cố định. Vậy có P4 4! 24 cách xếp
 Chú ý:
 + Có n! cách xếp n người vào n ghế xếp thành một dãy.
 + Có n 1 ! cách xếp n người vào n ghế xếp quanh một bàn tròn nếu không có sự phân biệt 
 giữa các ghế.
2 . CHỈNH HỢP
 a) Định nghĩa: Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp 
 n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 1 k n ).
 b) Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử 1 k n là
 n!
 Ak n(n 1)(n 2)...(n k 1) .
 n n k !
 c) Ví dụ:
 Câu 1: Một tổ trực gồm 8 nam và 6 nữ. Giáo viên muốn chọn ra 5 học sinh trực. Hỏi có bao 
 nhiêu cách chọn nếu nhóm này có ít nhất một nữ sinh.
 Page 1 CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Câu 1. Một họa sĩ cần trưng bày 10 bức tranh nghệ thuật khác nhau thành một hàng ngang. Hỏi có bao 
 nhiêu cách để họa sĩ sắp xếp các bức tranh?
 Lời giải
 Mỗi cách sắp xếp 10 bức tranh khác nhau thành một hàng ngang là một hoán vị của 10 phần tử.
 Vậy số cách sắp xếp các bức tranh là: 10! 3628800 (cách).
Câu 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau?
 Lời giải
 Gọi số cần tìm có dạng abc a 0 .
 Chọn chữ số a từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có 4 (cách).
 2
 Ứng với mỗi cách chọn a có số cách chọn bộ bc từ 4 chữ số còn lại là A4 (cách).
 2
 Áp dụng quy tắc nhân, số các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau là: 4.A4 48 (số).
Câu 3. Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm hai số nguyên dương nhỏ hơn 100 ? Có bao nhiêu cách 
 chọn một tập hợp gồm ba số nguyên dương nhỏ hơn 100 ?
 Lời giải
 a) Gọi tập hợp cần tìm có dạng a;b, 0 a, b 100, a, b ¢ .
 Mỗi tập hợp là một tổ hợp chập 2 của 99 .
 2
 Vậy số cách chọn một tập hợp gồm hai số nguyên dương nhỏ hơn 100 là: C99 4851 (cách).
 b) Gọi tập hợp cần tìm có dạng a;b;c, 0 a, b, c 100, a, b, c ¢ .
 Mỗi tập hợp là một tổ hợp chập 3 của 99 .
 3
 Vậy số cách chọn một tập hợp gồm ba số nguyên dương nhỏ hơn 100 là: C99 156849 (cách).
Câu 4. Bạn Hà có 5 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Có bao nhiêu cách để Hà chọn ra đúng 2 viên bi khác 
 màu?
 Lời giải
 Chọn một bi xanh từ 5 viên bi xanh có 5 (cách).
 Ứng với mỗi cách chọn một bi xanh có số cách chọn một bi đỏ từ 7 viên bi đỏ là 7 (cách).
 Áp dụng quy tắc nhân, số cách chọn ra đúng 2 viên bi khác màu là: 5.7 35 (cách).
Câu 5. Một câu lạc bộ cờ vua có 10 bạn nam và 7 bạn nữ. Huấn luyện viên muốn chọn 4 bạn đi thi đấu cờ 
 vua.
 a) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn nam?
 b) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn không phân biệt nam, nữ?
 c) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn, trong đó có 2 bạn nam và 2 bạn nữ?
 Lời giải
 a) Mỗi cách chọn 4 bạn nam từ 10 bạn nam là một tổ hợp chập 4 của 10 .
 4
 Số cách chọn là: C10 210 (cách).
 Page 3 CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Câu 2. Cho một bàn dài có 10 ghế và 10 học sinh trong đó có 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp 
 xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh sao cho :
 a . Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau ?
 b. Những học sinh cùng giới thì ngồi cạnh nhau ?
 Lời giải
 a . 
 Cách 1: Xếp 5 học sinh nam ngồi vào vị trí chẵn có 5! cách, sau đó xếp 5 học sinh nữ vào 5 vị 
 trí còn lại có 5! cách có 5!.5! cách.
 Cách 2: Xếp 5 học sinh nam ngồi vào vị trí lẻ có 5! cách, sau đó xếp 5 học sinh nữ vào 5 vị trí 
 còn lại có 5! cách có 5!.5! cách.
 Vậy tất cả có 2.5!.5! 28800 cách.
 b. Xem 5 nam là 1 tổ và 5 nữ là một tổ, ta có 2 tổ. Xếp 2 tổ ngồi vào bàn ta có 2! cách. Đổi chỗ 
 5 nam cho nhau có 5! cách, đổi chỗ 5 nữ cho nhau có 5! cách.
 Vậy ta có 2!.5!.5! 28800 cách.
Câu 3. a). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 6 cặp vợ chồng ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn, sao cho nam 
 và nữ ngồi xen kẻ nhau?.
 b). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 6 cặp vợ chồng ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn, sao cho mỗi 
 bà đều ngồi cạnh chồng của mình?
 Lời giải
 a). Ta tiến hành xếp chỗ ngồi theo hai công đoạn.
 Bước 1: Xếp 6 nam ngồi quanh bàn tròn, có (6 – 1)! = 5! Cách xếp.
 Bước 2: Ta xem 6 người nam vừa xếp là 6 vách ngăn, vì 6 người nam ngồi quanh bàn tròn nên 
 có 6 khoảng trống để xếp 6 người nữ, vậy có 6! Cách xếp.
 Theo quy tắc nhân có 5!.6! = 86400 cách.
 b). Ta tiến hành xếp chỗ ngồi theo hai công đoạn.
 Bước 1: Xếp 6 người chồng ngồi quanh bàn tròn, có (6 – 1)! = 5! Cách xếp. (vì vợ ngồi gần 
 chồng).
 Bước 2: Mỗi cặp vợ chồng đổi chổ cho nhau có 1 cách xếp mới, vậy có 26 cách .
 Theo quy tắc nhân có 5!.26 = 7680 cách.
Câu 4. Một trường trung học phổ thông có 4 học sinh giỏi khối 12, có 5 học sinh giỏi khối 11, có 6 học 
 sinh giỏi khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 15 học sinh trên thành một hàng ngang để đón 
 đoàn đại biểu, nếu:
 a). Các học sinh được xếp bất kì.
 b). Các học sinh trong cùng một khối phải đứng kề nhau.
 Lời giải
 a). Mỗi cách sắp xếp 15 học sinh thành một hàng ngang là một hoán vị của 15 phần tử. Vậy có 
 15!cách xếp 15 học sinh thành một hàng ngang.
 b). 
 Bước 1: Xếp các khối có 3! cách xếp.
 Bước 2: Xếp các bạn trong khối 12 có 4! cách.
 Bước 3: Xếp các bạn trong khối 11 có 5! cách.
 Bước 4: Xếp các bạn trong khối 10 có 6! cách.
 Theo quy tắc nhân có 3!.4!.5!.6! 12441600 cách xếp thỏa yêu cầu.
Câu 5. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau, biết tổng của 3 chữ số này bằng 18?
 Lời giải
 Gọi số cần tìm n abc, a 0 .
 Page 5 CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP
 Chọn một số xếp vào ô còn lại : có 6 cách ;
 3
 ta có 36.A4 cách.
 3 2 3
 Vậy ta có tất cả 3A4 .A7 36A4 2376 số.
 Cách 2: 
 3
 Bước 1: Chọn 3 vị trí trong 5 vị trí để xếp ba chữ số {1, 2, 3}, có A5
 2
 Bước 2: Chọn 2 chữ số trong 7 chữ số còn lại để xếp vào hai vị trí còn lại, có A7 cách.
 3 2
 Theo quy tắc nhân có A5 .A7 2520 số, nhưng có những số có chữ số 0 đứng vị trí đầu.
 3
 Trường hợp a1 = 0: Bước 1: Chọn 3 vị trí trong 4 vị trí để xếp ba chữ số {1, 2, 3}, có A4 cách.
 Bước 2: Chọn 1 chữ số trong 6 chữ số còn lại để xếp vào một vị trí còn lại, có 6 cách.
 3
 Theo quy tắc nhân có A4 .6 144 số có chữ số 0 ở vị trí đầu.
 Kết luận có 2520 144 2376 số thỏa yêu cầu.
Câu 3. a. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau và bé hơn số 475 ?
 b. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số và bé hơn số 475 ?
 c. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau bé hơn số 475 và là số lẻ ?
 Lời giải
 a . Gọi abc là số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 475.
 2 2
 TH1: a 4 : a có ba cách chọn ; bc có A9 cách chọn có 3.A9 216 số.
 TH2: a 4 : b 7 b có 6 cách chọn b 6;5;3;2;1;0 và c có 8 cách chọn;
 b 7 c có 4 cách chọn c 3;2;1;0 
 có 6.8 4 52 số.
 Vậy tất cả ta lập được 216 52 268 số.
 b. Gọi abc là số tự nhiên chẵn có ba chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 475.
 TH1 : a 1 hoặc 3 : a có 2 cách chọn ; c có 5 cách chọn và b có 8 cách chọn
 có 2.5.8 80 số.
 TH2 : a 2 : c có 4 cách chọn và b có 8 cách chọn có 4.9=32 số.
 TH3 : a 4 : nếu b 0,2,6 : b có 3 cách chọn và c có 3 cách chọn ;
 nếu b 1,3,5 : b có 3 cách chọn và c có 4 cách chọn ;
 nếu b 7 thì c có hai cách chọn c 0;2 
 có 3.3 3.4 2 23 số.
 Vậy ta lập được tổng cộng 80 32 23 135 số.
 c. Gọi abc là số tự nhiên lẻ có ba chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 475.
 TH1 : a 1,3 : a có 2 cách chọn ; c có 4 cách chọn và b có 8 cách chọn
 có 2.4.8 64 số.
 TH2 : a 2 : c có 5 cách chọn và b có 8 cách chọn có 5.8 40 số.
 TH3 : a 4 : nếu b 0,2,6 : b có 3 cách chọn và c có 5 cách chọn ; 
 nếu b 1,3,5 : b có 3 cách chọn và c có 4 cách chọn ;
 nếu b 7 thì c có 2 cách chọn c 1;3 
 có 3.5 3.4 2 29 số.
 Vậy ta lập được tổng cộng 64 40 29 133 số.
Câu 4. Xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ thành một hàng dọc .Hỏi có bao nhiêu cách xếp :
 a). Nam nữ đứng xen kẻ .
 b). Nữ luôn đứng cạnh nhau .
 Page 7