Chuyên đề 8 - Chương VIII, Bài 1: Quy tắc cộng và quy tắc nhân (Phần 1) - Toán 10 Chân trời sáng tạo

 CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP
 VIII ĐẠI SỐ TỔ HỢP
 CHƯƠNG
 BÀI 1: QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN
I LÝ THUYẾT.
=
=1. Quy tắc cộng và sơ đồ hình cây
= Quy tắc cộng
I Giả sử một công việc nào đó có thể thực hiện theo một 
 trong hai phương án khác nhau: Phương án 1.. n1 cách
 - Phương án 1 có n1 cách thực hiện.
 - Phương án 2 có n2 cách thực hiện. Phương án 2 .. n2 cách
 Khi đó số cách thực hiện công việc là : n1 n2 cách
 Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách 
 thực hiên, hành động kia có n cách thực hiên không trùng với bất kì cách nào của hành động 
 thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
 Chú ý: số phần tử của tập hợp hữu hạn X được kí hiệu là X hoặc n X .
 Quy tắc cộng được phát biểu ở trên thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai tập hợp 
 hữu hạn không giao nhau: Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì 
 n A B n A n B 
 Mở rộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong k hành động
 A1, A2 , A3 ,..., Ak .Nếu hành động A1 có m1cách thực hiện, hành động A2 có m2 cách thực 
 hiện,, hành động Ak có mk cách thực hiện và các cách thực hiên của các hành động trên 
 không trùng nhau thì công việc đó có m1 m2 m3 ... mk cách thực hiện.
 Page 1 CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP
 Bước 2: Đếm số cách chọn x1, x2 ,..., xn trong các phương án A1, A2 ,..., An .
 Bước 3: Dùng quy tắc cộng ta tính được số cách lựa chọn để thực hiện công việc A là: 
 x x1 x2  xn .
 Để đếm số cách lựa chọn để thực hiện công việc A bằng quy tắc nhân, ta thực hiện các bước 
 sau:
 Bước 1: Phân tích xem có bao nhiêu công đoạn liên tiếp cần phải tiến hành để thực hiện công 
 việc A (giả sử A chỉ hoàn thành sau khi tất cả các công đoạn A1, A2 ,..., An hoàn thành).
 Bước 2: Đếm số cách chọn x1, x2 ,..., xn trong các công đoạn A1, A2 ,..., An .
 Bước 3: Dùng quy tắc nhân ta tính được số cách lựa chọn để thực hiện công việc A là: 
 x x1.x2..xn .
 Cách đếm gián tiếp (đếm phần bù)
 Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài toán như 
 sau:
 Đếm số phương án thực hiện hành động H (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay 
 không) ta được a phương án.
 Đếm số phương án thực hiện hành động H không thỏa tính chất T ta được b phương án.
 Khi đó số phương án thỏa yêu cầu bài toán là: a b .
 BÀI TẬP.
Câu 1. Trên giá sách có 8 cuốn truyện ngắn, 7 cuốn tiểu thuyết và 5 tập thơ (tất cả đều khác nhau). 
 Vẽ sơ đồ hình cây minh họa và cho biết bạn Phong có bao nhiêu cách chọn một cuốn để đọc 
 vào ngày cuối tuần.
 Lời giải
 Truyện ngắn  8 cuốn
 Tiểu thuyết 7 cuốn
 Thơ .5 tập
 Để chọn một cuốn sách đọc vào ngày cuối tuần, bạn Phong thực hiện 1 trong 3 sự lựa chọn sau:
 Chọn một cuốn truyện ngắn : Có 8 cách.
 Chọn một cuốn tiểu thuyết : Có 7 cách.
 Chọn một tập thơ : Có 5 cách.
 Theo quy tắc cộng thì bạn Phong có : 8 7 5 20 cách.
Câu 2. Một người gieo đồng xu hai mặt, sau mỗi lần gieo thì ghi lại kết quả sấp hay ngửa. Hỏi nếu 
 người đó gieo ba lần thì có thể có bao nhiêu khả năng xảy ra?
 Lời giải
 Page 3 CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP
 Chọn c : Có 2 cách.
 Như vậy có 9.10.2 180 số tự nhiên có ba chữ số và chia hết cho5 .
 d) Gọi số tự nhiên cần tìm là abc với a,b,c là các chữ số tự nhiên đôi một khác nhau a 0 
 và c 0;5 .
 Trường hợp 1: c 0
 Chọn c : Có 1 cách.
 Chọn a : Có 9 cách.
 Chọn b : Có 8 cách.
 Như vậy có 1.9.8 72 số thỏa mãn bài toán.
 Trường hợp 2: c 5
 Chọn c : Có 1 cách.
 Chọn a : Có 8 cách.
 Chọn b : Có 8 cách.
 Như vậy có 1.8.8 64 số thỏa mãn bài toán.
 Vậy có 72 64 136 số tự nhiên có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 5.
Câu 5. a) Mật khẩu của chương trình máy tính quy định gồm 3 kí tự, mỗi kí tự là một chữ số. Hỏi 
 có thể tạo được bao nhiêu mật khẩu khác nhau?
 b) Nếu chương trình máy tính quy định mới mật khẩu vẫn gồm 3 kí tự, nhưng kí tự đầu tiên 
 phải là một chữ cái in hoa trong bảng chữ cái tiếng Anh gồm 26 chữ (từ A đến Z) và 2 kí tự sau 
 là các chữ số (từ 0 đến 9). Hỏi quy định mới có thể tạo được nhiều hơn quy định cũ bao nhiêu 
 mật khẩu khác nhau?
 Lời giải
 a) Giả sử mật khẩu của máy tính gồm 3 ký tự, mỗi ký tự là một chữ số.
 Chọn ký tự đầu tiên: Có 10 cách chọn.
 Chọn ký tự thứ hai: Có 10 cách chọn.
 Chọn ký tự thứ ba: Có 10 cách chọn.
 Vậy có thể tạo được 10.10.10 1000 mật khẩu khác nhau thỏa mãn bài toán.
 b) Giả sử mật khẩu mới của máy tính gồm 3 ký tự , ký tự đầu là một chữ cái in hoa, 2 ký tự 
 sau là một chữ số.
 Chọn ký tự đầu tiên là một chữ cái in hoa trong bảng chữ cái tiếng Anh gồm 26 chữ (từ A đến 
 Z): Có 26 cách chọn.
 Chọn ký tự thứ hai là các chữ số (từ 0 đến 9 ): Có 10 cách chọn.
 Chọn ký tự thứ ba là các chữ số (từ 0 đến 9 ): Có 10 cách chọn.
 Vậy có thể tạo được 26.10.10 2600 mật khẩu khác nhau thỏa mãn bài toán.
 Do đó quy định mới có thể tạo được nhiều hơn quy định cũ số mật khẩu khác nhau là:
 2600 1000 1600 (mật khẩu).
 Page 5 CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP
 Theo qui tắc cộng, ta có 8 6 10 24 cách chọn.
Câu 4. Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn 
 một học sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách 
 chọn?
 Lời giải
 Nếu chọn một học sinh nam có 280 cách.
 Nếu chọn một học sinh nữ có 325 cách.
 Theo qui tắc cộng, ta có 280 325 605 cách chọn.
DẠNG 2: QUY TẮC NHÂN
 1 PHƯƠNG PHÁP.
 =
 = Nếu một công việc nào đó phải hoàn thành qua n giai đoạn liên tiếp, trong đó:
 =I Giai đoạn 1 có m1 cách thực hiện
 Giai đoạn 2 có m2 cách thực hiện
 . .
 Giai đoạn n có mn cách thực hiện
 Khi đó, có: m1.m2...mn cách để hoàn thành công việc đã cho.
 Ta thường gặp các bài toán sau:
 Bài toán 1: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên
 Khi lập một số tự nhiên x a1...an ta cần lưu ý:
 * ai 0,1,2,...,9 và a1 0 .
 * x là số chẵn an là số chẵn
 * x là số lẻ an là số lẻ
 * x chia hết cho 3 a1 a2 ... an chia hết cho 3
 * x chia hết cho 4 an 1an chia hết cho 4
 * x chia hết cho 5 an 0,5
 * x chia hết cho 6 x là số chẵn và chia hết cho 3
 * x chia hết cho 8 an 2an 1an chia hết cho 8
 * x chia hết cho 9 a1 a2 ... an chia hết cho 9.
 Page 7 CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP
 Đặt y 23, xét các số x abcde trong đó a,b,c,d,e đôi một khác nhau và thuộc tập 
 0,1, y,4,5. Có P5 P4 96 số như vậy
 Khi ta hoán vị 2,3 trong y ta được hai số khác nhau
 Nên có 96.2 192 số thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 3. Có 3 học sinh nữ và 2 hs nam.Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu 
 cách sắp xếp để:
 1. 3 học sinh nữ ngồi kề nhau
 2. 2. 2 học sinh nam ngồi kề nhau.
 Lời giải
 Cách 1:
 1. Giả sử các vị trí ghế được đánh số như sau: 
 (1) (2) (3) (4) (5)
 Để sắp xếp để 3 nữ cạnh nhau, ta cần sắp xếp họ ở các vị trí: 1,2,3; 2,3,4; 3,4,5. Và với 
 mỗi cách có 3!= 6 cách sắp xếp ba nữ và 2! = 2 cách sắp xếp 2 nam. Suy ra có 3.6.2 = 36 cách
 2. Giả sử các vị trí ghế được đánh số như sau: 
 (1) (2) (3) (4) (5)
 Để sắp xếp 2 nam ngồi cạnh nhau, ta cần sắp xếp họ ở các vị trí 1,2; 2,3; 3,4; 4,5 . 
 Và với mọi cách như vậy có 2! cách xếp các bạn nam và 3! Cách xếp các bạn nữ. Suy ra có 
 4.2!.3! = 48 cách
 Cách 2:
 1. Xem 3 bạn nữ là một “phần tử đặc biệt”. Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: 3!.3! 36
 2. Xem 2 bạn nam là một “phần tử đặc biệt”. Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: 2!.4! 48
Câu 4. Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho:
 1. A và F ngồi ở hai đầu ghế
 2. A và F ngồi cạnh nhau
 3. A và F không ngồi cạnh nhau
 Lời giải
 1. Số cách xếp A, F: 2! 2
 Số cách xếp B,C, D, E : 4! 24
 Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: 2.24 48
 2. Xem AF là một phần tử X , ta có: 5! 120 số cách xếp
 X , B,C, D, E . Khi hoán vị A, F ta có thêm được một cách xếp
 Vậy có 240 cách xếp thỏa yêu cầu bài toán.
 Page 9