Chuyên đề 7: Tính giá trị biểu thức - Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 8

 CHUYÊN ĐỀ : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
 A. LÝ THUYẾT
1. Chia sẻ cá nhân :
 - Chuyên đề tính giá trị của biểu thức là một chuyên đề hay và đòi hỏi người học phải có sự nhìn 
nhận nhanh về mối qua hệ giữa biểu thức và các điều kiện của đầu bài.
 - Có rất nhiều các phương pháp tùy từng đối tượng bài, Xong ở chương trình lớp 8, Tài Liệu Toán 
xin phép được ra một vài phương pháp hay giặp như sau :
 + Biến đổi biểu thức sao cho có chứa nhân tố của điều kiện để khử.
 + Nếu biểu thức có nhiều mẫu, ta có thể phân tích mẫu thành nhân tử và quy đồng.
 + Nếu biểu thức cần tính còn thiếu so với giả thiết, ta có thể nhân thêm hoặc chia xuống cho phù 
hợp
 +Đối với các bài toán có lũy thừa cao, thường các giá trị của ẩn chỉ nằm trong phạm vi là 1;0;1 
hoặc các giá trị của biến bằng nhau.
 ab
Bài 1: Cho : 4a2 b2 5ab và 2a b 0 , Tính giá trị của : A 
 4a2 b2
HD :
 Từ : 4a2 b2 5ab 4a2 4ab ab b2 0 4a b a b 0
 TH 1: 4a b 0 4a b ( mâu thẫn vì 2a > b)
 a2 1
 TH 2: a b 0 a b A 
 4a2 a2 3
 a b
Bài 2: Cho 3a2 3b2 10ab và b a 0 , Tính A 
 a b
HD:
 Từ: 3a2 3b2 10ab 3a2 9ab ab 3b2 0 a 3b 3a b 0
 TH 1: a 3b 0 a 3b ( mâu thuẫn vì b > a > 0)
 a 3a 1
 TH 2: 3a b 0 3a b A 
 a 3a 2
 3x 2y
Bài 3: Cho 9x2 4y2 20xy 2y 3x 0 , Tính A 
 3x 2y
HD:
 Từ: 9x2 4y2 20xy x 2y 9x 2y 0
 3x x 1
 TH1: x 2y A 
 3x x 2
 TH2: 9x 2y (Mâu thuẫn vì 2y < 3x < 0)
 x y
Bài 4: Cho x2 2y2 xy, y 0, x y 0 ,Tính A 
 x y
HD:
 Từ x2 2y2 xy x2 xy 2y2 0 x 2y x y 0
 2y y 1
 TH1: x 2y 0 x 2y A 
 2y y 3
 TH2: x y 0 ( mâu thuẫn vì x + y # 0 ) HD :
 a2bc b c
 A 
 ab a2bc abc bc b abc ac c 1
 a2bc b c ac c 1
 1
 ab 1 ac c b c 1 ac ac c 1 ac c 1
 a b 2c
Bài 15: Cho abc=2, Tính B 
 ab a 2 bc b 1 ac 2c 2
HD :
 a b abc2 a b abc2
 B 1
 ab a abc bc b 1 ac abc2 abc a b 1 bc bc b 1 ac 1 bc b 
 a b c
Bài 16: Cho abc=1, Tính A 
 ab a 1 bc b 1 ac c 1
HD :
 a2bc b c a2bc b c
 A 1
 ab a2bc abc bc b abc ac c 1 ab 1 ac c b c 1 ac ac c 1
 a b 2012c
Bài 17: Cho abc= - 2012, Tính B 
 ab a 2012 bc b 1 ac 2012c 2012
HD :
 a b abc2 a b abc2
 B 1
 ab a abc bc b 1 ac abc2 abc a b 1 bc bc b 1 ac 1 bc b 
 1 1 1
Bài 18: Chứng minh rằng nếu xyz=1 thì 1
 1 x xy 1 y yz 1 z zx
HD :
 xyz xyz 1 xyz xyz 1
 VT 1 VP
 xyz x2 yz xy xyz y yz 1 z zx xy z xz 1 y xz 1 z 1 z zx
 2010x y z
Bài 19: Cho xyz=2010, CMR: 1
 xy 2010x 2010 yz y 2010 xz z 1
HD :
 x2 yz y z
 VT 1
 xy x2 yz xyz yz y xyz xz z 1
Bài 20 : Tính giá trị của biểu thức sau biết : abc 2016 
 2bc 2016 2b 4032 3ac
 P 
 3c 2bc 2016 3 2b ab 3ac 4032 2016a
 x 2xy 1 y 2yz 1 z 2zx 1
Bài 21: Tính GTBT P biết xyz 1 
 x xy xz 1 y yz yx 1 z zx zy 1
HD :
 yz x 2xy 1 xz y 2yz 1 xy z 2zx 1 
 P 
 yz x xy xz 1 xz y yz xy 1 xy z zx xy 1 
 1 y y 1 z 1 z z 1 x 1 x x 1 y 
 1 y 1 z 1 z 1 x 1 x 1 y 
 y 1 1 1 z 1 x
 1 y 1 z 1 x 1 x 1 z 1 y 1 x
 y 1 1 z 1 x
 3 
 y 1 1 z x 1 a b b c a c
 TH1 : a b c 0 A . . 1
 a c a
 TH2 : a b c 0 gt 1 a b 2c,b c 2a,c a 2b A 8
 ax by c
 3 3 3
Bài 29: Cho x, y là hai số thỏa mãn: bx cy a , CMR : a b c 3abc
 cx ay b
HD :
 Cộng theo vế của gt=> a b c x a b c y a b c a b c x y 1 0
 TH1: a b c 0 a3 b3 c3 3abc
 TH2: x y 1 a b c a3 b3 c3 3abc
 a2 b2 c2
Bài 30: Cho a3 b3 c3 3abc và a b c 0 , Tính giá trị N 
 a b c 2
HD:
 3a2 1
 Từ gt a b c N 
 9a2 3
 xyz
Bài 31: Cho x3 y3 z3 3xyz , Rút gọn A 
 x y y z z x 
HD:
 xyz x3 1
 Từ gt=>TH1: x y z 0 A 1 TH 2 : x y z A 
 xyz 2x.2x.2x 8
 3 3 3
Bài 32: Rút gọn : A a b 2c b c 2a c a 2b 
HD:
 Đặt: a b 2c x,b c 2a y,c a 2b z
 A x y z x2 y2 z2 xy yz zx a b 2c b c 2a c a 2b x2 y2 z2 ... 0
 1 1 1 1 1 1
Bài 33: Cho a, b, c khác nhau đôi 1 và 0 , Rút gọn: A 
 a b c a2 2bc b2 2ac c2 2ab
HD:
 1 1 1
 Ta có: 0 ab bc ca 0 a2 2bc a2 bc ab ca a b a c 
 a b c
 Tương tự: b2 2ac b a b c ,c2 2ba c a c b 
 1 1 1 c b a c b a
 Khi đó: A 0
 a b a c b a b c c a c b a b b c c a 
 1 1 1 1 1 1
Bài 34: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau và 0 , Tính P 
 a b c a2 2bc b2 2ac c2 2ab
HD :
 1 1 1 bc ac ab
Bài 35: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và 0 , Rút gọn: B 
 a b c a2 2bc b2 2ac c2 2ab
HD:
 Theo bài 26 => 
 bc ac ab ab c b ac a c ab b a 
 B 
 a b a c b a b c c a c b a b b c c a 
 Phân tích tử => B
 1 1 1 a2 b2 c2
Bài 36: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và 0 ,Rút gọn: C 
 a b c a2 2bc b2 2ac c2 2ab
HD: a2 b2 c2
Bài 42: Cho a+b+c=0, a,b,c 0, Rút gọn A 
 bc ca ab
HD:
 a3 b3 c3 3abc
 Từ a b c 0 a3 b3 c3 3abc , khi đó: A 3
 abc abc abc abc
 1 1 1 yz xz xy
Bài 43: Cho 0, x 0, y 0, z 0 , Tính giá trị của biểu thức: 
 x y z x2 y2 z2
HD: 
 1 1 1
 Với a ,b ,c , Áp dụng kết quả câu a ta có: 
 x y z
 1 1 1 3 yz zx xy xyz xyz xyz 1 1 1 3
 3 3 3 2 2 2 3 3 3 xyz 3 3 3 xyz. 3
 x y z xyz x y z x y z x y z xyz
 1 1 1
Bài 44: Cho a+b+c=1, 0 , CMR: a2 b2 c2 1
 a b c
HD:
 Từ a b c 1 a2 b2 c2 2 ab bc ca 1, (1)
 1 1 1 ab bc ca
 Mà: 0 0 ab bc ca 0 , thay vào (1)=> ĐPCM
 a b c abc
 1 1 1 1 1 1
Bài 45: Cho x,y,z 0, Thỏa mãn: x y z xyz và 3 , Tính A 
 x y z x2 y2 z2
HD:
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z 
 Từ: 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3
 x y z x y z xy yz zx x y z xyz 
 Nên A 2 3 A 1
 1 1 1 1 1 1
Bài 46: Cho a,b,c 0 và 2 , và a b c abc , CMR: 2
 a b c a2 b2 c2
HD:
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c 
 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4
 a b c a b c ab bc ca a b c abc 
 a b c
Bài 47: Cho a b c 0, x y z 0 và 0 , CMR: a.x2 b.y2 c.z2 0 
 x y z
HD:
 1 1 1
Bài 48: Cho a,b,c là ba số thực khác 0, thỏa mãn : a b c 3 và 0 , Tính A a2 b2 c2
 a b c
HD:
 Từ: a b c 3 a2 b2 c2 2 ab bc ca 9 , (1)
 1 1 1
 Mà: 0 ab bc ca 0 thay vào (1) A 2.0 9 A 9
 a b c
 1 1 1 1 1 1
Bài 49: Cho 2 và a b c abc , Tính A 
 a b c a2 b2 c2
HD:
 1 1  1 1 1 1 1 1 
 Từ: 2 2 2 2 2 4
 a b c a b c ab bc ca 
 a b c 
 A 2 4 A 2 4 A 2
 abc 
 1 1 1 1 1 1
Bài 50: CMR: Nếu 3 và a+b+c=abc Thì ta có: 7
 a b c a2 b2 c2