Chuyên đề 7: Đối xứng trục, đối xứng tâm - Bồi dưỡng HSG Toán hình 8

 Chương 1
Chuyờn đề 7
 ĐỐI XỨNG TRỤC - ĐỐI XỨNG TÂM
A. Kiến thức cần nhớ
1. Cỏc định nghĩa
• Hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d, nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đú 
(h.7.1).
• Hai điểm đối xứng nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đú (h.7.2).
 Hỡnh 7.1 Hỡnh 7.2
• Hai hỡnh gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng d (hoặc qua điểm O) nếu mỗi điểm thuộc hỡnh này đối 
xứng với một điểm thuộc hỡnh kia qua đường thẳng d (hoặc qua điểm O) và ngược lại.
2. Tớnh chất
Nếu hai đoạn thẳng (gúc, tam giỏc) đối xứng với nhau qua một đường thẳng (hoặc qua một điểm) thỡ 
chỳng bằng nhau.
3. Hỡnh cú trục đối xứng, cú tõm đối xứng
- Hỡnh thang cõn cú trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm hai đỏy.
- Tương tự hỡnh chữ nhật cú hai trục đối xứng.
- Hỡnh thoi cú hai trục đối xứng là hai đường chộo. Hỡnh vuụng cú 4 trục đối xứng
- Hỡnh bỡnh hành, hỡnh chữ nhật, hỡnh thoi, hỡnh vuụng cú tõm đối xứng là giao điểm hai đường chộo.
B. Một số vớ dụ
Vớ dụ 1: Cho tứ giỏc ABCD, hai đường thẳng AB và CD khụng vuụng gúc với nhau. Dựng điểm M trờn 
đường thẳng CD sao cho tia phõn giỏc của gúc AMB vuụng gúc với đường thẳng CD.
 Giải (h.7.3)
a) Phõn tớch
Giả sử đó dựng được điểm M trờn đường thẳng CD sao cho tia phõn giỏc Mx của gúc AMB vuụng gúc 
với đường thẳng CD. Trờn tia đối của tia MB lấy điểm A sao cho MA MA .
Vỡ tia Mx là tia phõn giỏc của gúc AMB và Mx  CD nờn đường thẳng CD là đường phõn giỏc của gúc 
AMA . • Điểm B thỏa món hai điều kiện: B Oy và B Ft // Ox.
• Điểm A thỏa món hai điều kiện: A Ox và A thuộc tia BE.
b) Cỏch dựng
- Dựng trung điểm E của MN; 
- Dựng điểm F đối xứng với O qua E;
- Dựng tia Ft // Ox cắt tia Oy tại B;
- Dựng giao điểm của tia BE và tia Ox.
c) Chứng minh
 AOE BFE(g.c.g) EA EB .
Mặt khỏc, EM EN nờn tứ giỏc AMNB là hỡnh bỡnh hành.
d) Biện luận: Bài toỏn luụn cú một nghiệm hỡnh.
Vớ dụ 4. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A (AB AC) , điểm D thuộc cạnh huyền BC. Vẽ điểm M và điểm 
N đối xứng với D lần lượt qua AB và AC. Chứng minh rằng:
a) M và N đối xứng qua A;
b) Xỏc định vị trớ của điểm D để MN ngắn nhất, dài nhất.
 Giải (h.7.6)
* Tỡm cỏch giải
Muốn chứng minh hai điểm M và N đối xứng qua A, ta chứng 
minh AM AN và Mã AN 180 .
* Trỡnh bày lời giải
 à ả
a) AM đối xứng với AD qua AB nờn AM AD và A1 A2 . (1) 
 à ả
AN đối xứng với AD qua AC nờn AN AD và A3 A4 . (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
 ã ả à ã
AM AN và MAN 2 A2 A3 2BAC 2.90 180 .
Vậy ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Từ đú suy ra M và N đối xứng qua A và MN 2AD .
b) Vẽ AH  BC , ta cú AD AH , do đú MN 2AH .
Vậy MN ngắn nhất là bằng 2AH khi D  H (h.7.7).
Dựa vào quan hệ giữa đường xiờn và hỡnh chiếu ta cú AD AC suy ra MN 2AD 2AC .
Do đú MN dài nhất là bằng 2AC khi D  C (h.7.8). 7.12. Cho một hỡnh vuụng gồm 4 4 ụ vuụng. Trong mỗi ụ viết một trong cỏc số 1, 2, 3, 4. Chứng minh 
rằng tồn tại một hỡnh bỡnh hành cú đỉnh là tõm của bốn ụ vuụng sao cho tổng hai số ở hai đỉnh đối diện là 
bằng nhau. Theo kết quả bài 7.2, để MN nhỏ nhất thỡ D là hỡnh chiếu 
của A trờn BC. Khi đú E và F lần lượt là giao điểm của MN 
với AC và AB (h.7.12).
Ta chứng minh với cỏch xỏc định D, E, F như vậy thỡ chu vi DEF nhỏ nhất.
Thật vậy, khi AD  BC thỡ chu vi DEF bằng MN và MN nhỏ nhất. (1)
Khi D, E, F ở những vị trớ khỏc thỡ chu vi DEF bằng độ dài đường 
gấp khỳc MFEN do đú lớn hơn MN. (2)
Chỳ ý: Ta cú nhận xột điểm E là chõn đường cao vẽ từ đỉnh B, điểm 
F là chõn đường cao vẽ từ đỉnh C của ABC .
Thật vậy, xột DEF cú cỏc đường BF và CE lần lượt là cỏc đường 
phõn giỏc ngoài tại đỉnh F và E. Hai đường thẳng này cắt nhau tại A 
nờn tia DA là tia phõn giỏc của gúc EDF.
Ta cú: DC  DA nờn DC là tia phõn giỏc ngoài tại đỉnh D của DEF .
Mặt khỏc, EC là đường phõn giỏc ngoài tại đỉnh E.
Điểm C là giao điểm của hai đường phõn giỏc ngoài nờn FC là đường phõn giỏc trong. Kết hợp với FB là 
đường phõn giỏc, suy ra FC  FB hay CF  AB .
Chứng minh tương tự, ta được BE  AC .
Như vậy ba điểm D, E, F cú thể xỏc định bởi chõn của ba đường cao của tam giỏc.
7.4. (h.7.13).
Giả sử đó dựng được hai điểm C và D xy sao cho CD a và 
chu vi tứ giỏc ABCD nhỏ nhất. 
Vẽ hỡnh bỡnh hành BMDC (điểm M ở phớa gần A).
Khi đú BM CD a và DM BC
Vẽ điểm N đối xứng với điểm M qua xy, điểm N là một điểm 
cố định và DN DM .
Ta cú AB BC CD DA nhỏ nhất
 BC DA nhỏ nhất (vỡ AB và CD khụng đổi)
 DM DA nhỏ nhất DN DA nhỏ nhất D nằm giữa A và N.
Từ đú ta xỏc định điểm D như sau:
- Qua B vẽ một đường thẳng song song với xy và trờn đú lấy điểm M sao cho BM a (điểm M ở phớa 
gần A);
- Vẽ điểm N đối xứng với M qua xy;
- Lấy giao điểm D của AN với xy;
- Lấy điểm C xy sao cho DC MB a (DC và MB cựng chiều).
Khi đú tổng AB BC CD DA nhỏ nhất.
Phần chứng minh dành cho bạn đọc. Do đú MD MC max AD AC; BD BC .
7.7. (h.7.17)
Ta cú AC ' và BO đối xứng nhau qua F nờn AC BO và AC ' // BO. (1) 
BO và CA đối xứng nhau qua D nờn BO CA và BO // CA (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AC ' CA và AC ' // CA , do đú tứ giỏc ACA C là 
hỡnh bỡnh hành.
Chứng minh tương tự ta được tứ giỏc ABA B là hỡnh bỡnh hành.
Hai hỡnh bỡnh hành ACA C và ABA B cú chung đường chộo AA nờn cỏc đường chộo AA , BB ,CC 
đồng quy.
7.8. (h.7.18) 
a) Phõn tớch 
Giả sử đó dựng được điểm A Ox và B Oy sao cho G là 
trọng tõm của AOB .
 3
Tia OG cắt AB tại trung điểm M của AB và OM OG .
 2
Vẽ điểm N đối xứng với O qua điểm M. Tứ giỏc ANBO là hỡnh bỡnh hành NA // Oy; NB // Ox, từ đú 
xỏc định được A và B.
b) Cỏch dựng
 3
- Trờn tia OG lấy điểm M sao cho OM OG .
 2
- Dựng điểm N đối xứng với điểm O qua M.
- Từ N dựng một tia song song với Oy cắt Ox tại A.
- Từ N dựng một tia song song với Ox cắt Oy tại B.
Khi đú G là trọng tõm của tam giỏc AOB.
c) Chứng minh
Tứ giỏc ANBO là hỡnh bỡnh hành, suy ra AB và ON cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mặt khỏc, M là trung điểm của ON nờn M là trung điểm của AB.
Vậy OM là đường trung tuyến của tam giỏc AOB.
 3
Ta cú OM OG nờn G là trọng tõm của AOB .
 2
d) Biện luận: Bài toỏn luụn cú một nghiệm hỡnh.
7.9. (h.7.19)
Vẽ đường trung tuyến AM của tam giỏc ABC và đường trung tuyến DN của tam giỏc DEF. Gọi G là giao 
điểm của hai đường trung tuyến này. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của GA và GD. B nằm trờn đường trung trực của NP và QB song song với đường trung trực của MN.
Khi đú hai điểm C, D cũn lại được xỏc định dễ dàng.
c) Cỏch dựng
- Dựng cỏc đường trung trực d1 của MN và d2 của NP, chỳng cắt nhau tại O;
- Dựng điểm Q đối xứng với O qua N;
- Qua Q dựng một đường thẳng song song với d2 cắt d1 tại A;
- Qua Q dựng một đường thẳng song song với d1 cắt d2 tại B;
- Dựng điểm C đối xứng với B qua P;
- Dựng điểm D đối xứng với A qua M;
Khi đú tứ giỏc ABCD là tứ giỏc phải dựng.
Cỏc bước cũn lại, bạn đọc tự giải.
7.12. (h.7.22)
Hỡnh vuụng cú 4 4 16 ụ vuụng, chia thành 8 cặp đối xứng nhau qua 
tõm hỡnh vuụng. Xột cỏc cặp hai số ở hai ụ đối xứng qua tõm đú.
Tổng hai số của mỗi cặp nhỏ nhất là 1 1 2 , lớn nhất là 4 4 8 .
Cú 7 tổng (là 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) mà cú 8 cặp số nờn phải cú hai cặp cú 
tổng bằng nhau.
Vị trớ của 4 số trong hai cặp này là đỉnh của một hỡnh bỡnh hành phải tỡm (trường hợp đặc biệt: 4 số này 
nằm trong 4 ụ cú tõm thẳng hàng, ta núi hỡnh bỡnh hành “suy biến” thành đoạn thẳng).