Chuyên đề 7: Chia đa thức cho đa thức - Bồi dưỡng HSG Đại số 8

 Chuyên đề 7. CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Chia đơn thức A cho đơn thức B
Chia hệ số của A cho hệ số của B;
Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B;
Nhân các kết quả với nhau.
2. Chia đa thức cho đơn thức 
 A B :C A:C B :C 
3. Chia đa thức A cho đa thức B
Cho A và B là hai đa thức tùy ý của cùng một biến ( B 0 ) khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R 
sao cho A B.Q R , trong đó R 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B.
Q gọi là đa thức thương và R gọi là dư trong phép chia A cho B.
Nếu R 0 thì phép chia A cho B là phép chia hết.
4. Định lý Bézout.
Bézout là nhà toán học Pháp. Ông sinh năm 1730, mất năm 1783. Bézout quan tâm đến việc giải các hệ 
phương trình tuyến tính; nhằm mục đích ấy ông hệ thống hóa các phép tính về định thức. Ông cũng nghiên 
cứu về phép khử, nghĩa là tìm điều kiện đối với các hệ số của hai đa thức để chúng có một nghiệm chung. 
Ông cho xuất bản Giáo trình Toán học được tái bản nhiều lần ở Pháp cũng như ở nước ngoài. Trong đó có 
một định lý nổi tiếng mang tên ông:
Định lý. Số dư trong phép chia đa thức f x cho x a đúng bằng f a .
5. Hệ quả của định lý Bézout.
Nếu a là nghiệm của đa thức f x thì f x chia hết cho x a .
Người ta cũng chứng minh được rằng: Nếu đa thức f x nhận n số nguyên khác nhau a1;a2 ;....;an làm 
nghiệm thì f x chia hết cho x a1 . x a2 .... x an .
6. Phương pháp nội suy Newton
Newton là nhà Toán học, Vật lý học người Anh. Ông sinh năm 1642, mất năm 1727. Trong Toán học ông là 
nhà sáng lập và phát minh ra phép tính vi phân và tích phân. Ngoài ra ông có rất nhiều công trình về Toán 
học. Song người đời sau khi nhắc đển Newton, thường ca ngợi nhũng phát minh của ông về vật lý học. Sau 
đây là phương pháp nội suy, một trong những phát hiện về toán của ông:
Để tìm đa thức P x bậc không quá n khi biết giá trị tại n 1 điểm: C1;C2 ;....;Cn 1 ta có thể biểu diễn 
P x dưới dạng:
P x b0 b1 x C1 b2 x C1 x C2 ...... bn x C1 x C2 .... x Cn . a) Cách 1. Ta có:
 2
x8 x4 1 x8 2x4 1 x4 x4 x2 x4
 x4 1 x2 x4 1 x2 
 x4 x2 1 x4 2x2 1 x2 
 2
 x4 x2 1 x2 1 x2 
 x4 x2 1 x2 1 x x2 1 x  x2 x 1 
 x8 x4 1x2 x 1 
Cách 2.
x8 x4 1 x8 x2 x4 x x2 x 1
 x2 x6 1 x x3 1 x2 x 1 
 x2 x3 1 x 1 x2 x 1 x x2 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 
b) x5 x4 1 x5 x4 x3 x3 1 x3 x2 x 1 x 1 x2 x 1 
 x2 x 1 x3 x 1  x2 x 1 .
Ví dụ 3: Tìm các số thực a, b, sao cho đa thức 4x4 11x3 2ax2 5bx 6 chia hết cho đa thức x2 2x 3 .
 (Thi học sinh giỏi lớp 9, TP Hà Nội, năm học 2012 - 2013)
 Giải
Tìm cách giải. Khi tìm hệ số a, b sao cho đa thức f x chia hết cho đa thức g x , chúng ta có hai hướng 
suy nghĩ:
Đặt phép chia f x cho g x đến khi được phần dư có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức g x . Để phép chia 
hết ta đồng nhất phần dư đó với đa thức 0.
Còn nếu đa thức g x phân tích được thành nhân tử với các nhân tử bậc nhất, ta viết f x thành tích các 
nhân tử đó nhân với đa thức thương. Rồi dùng đồng nhất thức sao cho vế phải bằng 0.
Trình bày lời giải
Cách 1. Thực hiện phép chia ta được:
4x4 11x3 2ax2 5bx 6 x2 2x 3
4x4 8x3 12x2 4x2 3x 6 a 
 3x3 2a 12 x2 5bx 6
 -3x3 6x2 9x 
 6 2a x2 5b 9 x 6
 6 2a x2 12 4a x 18 6a Ví dụ 5: Tìm một đa thức bậc ba, biết P(x) chia cho x 1 , x 2 , x 3 đều được dư 6 và P 1 18.
 Giải
Tìm cách giải. Từ đề bài theo định lí Bézout ta có P 1 6, P 2 6, P 3 6, P 1 18 . Như vậy đa 
thức P(x) bậc ba mà biết giá trị tại bốn điểm 1; 2; 3; - 1 nên ta có thể sử dụng phương pháp nội suy Newton.
Trình bày lời giải
Theo định lý Bézout ta có: P 1 P 2 , P 3 6.
Do đó ta đặt P x d c x 1 b x 1 x 2 a x 1 x 2 x 3 
Cho x 1 ta được P 1 d , suy ra d 6
P x 6 c x 1 b x 1 x 2 a x 1 x 2 x 3 
Cho x 2 ta được P 2 6 c , suy ra c 0
P x 6 0 x 1 b x 1 x 2 a x 1 x 2 x 3 
Cho x 3 ta được P 3 6 2b , suy ra b 0
P x 6 0 x 1 0 x 1 x 2 a x 1 x 2 x 3 
Do đó P x 6 a x 1 x 2 x 3 .
Cho x 1 ta được P 1 6 24a , do đó 18 6 24a suy ra a 1.
Vậy P x 6 1. x 1 x 2 x 3 
Rút gọn ta được: P x x3 6x2 11x .
Ví dụ 6: Chứng minh rằng đa thức f x x 3 200 x 2 100 1 chia hết cho đa thức g x x2 5x 6 
 Giải
Tìm cách giải. Đa thức g x bậc n có n nghiệm phân biệt. Nếu mọi nghiệm của đa thức g x cũng là 
nghiệm của đa thức f x thì đa thức f x chia hết cho đa thức g x . Nhận thấy trong bài g x có hai 
nghiệm là x 2; x 3 , nên chúng ta chỉ cần kiểm tra xem x 2; x 3 có là nghiệm của f x không?
Trình bày lời giải
Ta có: f 2 2 3 200 2 2 100 1 nên f x  x 2 
f 3 3 3 200 3 2 100 1 nên f x  x 3 
Nên f x chia hết cho x 2 x 3 x2 5x 6
Ví dụ 7: Cho f x 2x5 70x3 4x2 x 1 
Tìm thương và dư của phép chia f x cho x 6 
 Giải 28x5 2x4 1013x3 14606x 3447 x2 3x 1
28x5 84x4 28x3 28x3 82x2 1795x 5467 
 82x4 2041x3 
 82x4 246x3 82x2
 1795x3 82x2 14606x 
 1795x3 5385x2 1795x
 5467x2 16401x 3347
 5467x2 16401x 5467
 2020 
Từ đó ta có P x2 3x 1 28x3 82x2 1795x 5467 2020 mà x2 3x 1 0 P 2020
C. Bài tập vận dụng
7.1. Xác định a, b sao cho 2x3 ax b chia cho x 1 thì dư 6 , chia cho x 2 dư 21.
 Hướng dẫn giải – đáp số
Theo định lý Bézout ta có: f 1 6; f 2 21 
 2 1 3 a 1 b 6 a b 4 (1)
 2.23 a.2 b 21 2a b 5 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 3a 9 a 3;b 1 
7.2. Tìm một đa thức bậc ba, biết P(x) chia cho x, x 1 , x 2 , x 3 được dư lần lượt là 10; 12; 4; 1.
 Hướng dẫn giải – đáp số
Theo định lý Bézout ta có:
P 0 10; P 1 12; P 2 4; P 3 1 
Dùng phương pháp nội suy Newton.
Ta đặt: P x d cx bx x 1 ax x 1 x 2 
Cho x 0 ta được P 0 d , suy ra d 10 .
P x 10 cx bx x 1 ax x 1 x 2 
Cho x 1 ta được P 1 10 c , suy ra c 2 .
P x 10 2x bx x 1 ax x 1 x 2 
Cho x 2 ta được P 2 10 4 2b , suy ra b 5 .
P x 10 2x 5x x 1 ax x 1 x 2 
 5
Cho x 3 ta được P 3 10 6 30 6a , suy ra 14 6a 1 a .
 2 Vậy đa thức dư là 2005.
7.5. Cho x, y, z đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
A 3xn z y 3yn x z 3zn y x chia hết cho B x y 3 y z 3 z x 3 với n là số nguyên 
lớn hơn 1.
 Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có B 3 x y y z z x 
Xét x y A 0 A x y 
Xét y z A 0 A y z 
Xét x z A 0 A z x A x y y z z x mà A3
 A3 x y y z z x hay AB .
7.6. Tìm các số nguyên a và b để đa thức A x x4 3x3 ax b chia hết cho đa thức B x x2 3x 4 
 Hướng dẫn giải – đáp số
Đặt phép chia, ta có:
x4 3x3 ax b x2 3x 4
x4 3x3 4x2 x2 4
 4x2 ax b 
 4x2 12x 16
 a 12 x b 16 
 a 12 0 a 12
Để A x B x 
 b 16 b 16
7.7. Tìm a và b để f x x4 ax2 b chia hết cho x2 3x 2 
 Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có: x2 3x 2 x 1 x 2 
Đặt thương là q x , ta có: x4 ax2 b x 1 x 2 q x 
- Chọn x 1 ta có:
 1 4 a 1 2 b 1 1 1 2 q 1 a b 1 (1)
- Chọn x 2 ta có:
 2 4 a 2 2 b 2 1 2 2 q 2 b 4a 16 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 3a 15 a 5 b 4 
7.8. Cho đa thức P x ax2 bx c . Biết P(x) chia cho x 1 dư 3, P(x) chia cho x dư 1 và P(x) chia cho 
x 1 dư 5. Tìm các hệ số a, b, c. Ta có: P 1 3 a b 26 3 a b 23 (1)
Ta có: P 2 2020 4a 2b 26 2020 4a 2b 1994 
 2a b 997 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: a 1020;b 1043 
Vậy a 1020;b 1043;c 26 .
7.11. Tìm phần dư trong phép chia sau:
a) f x x100 x99 x98 ... x 1 chia cho g x x 1;
b) f x x100 x99 x98 ... x 1 chia cho g x x2 1;
c) f x 100x100 99x99 98x98 ... 2x2 x 1 chia cho g x x 1;
d) f x x2 x9 x1945 3 chia cho x2 x 1 
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) Theo định lý Bézout, f x : g x có phần dư là f 1 
 r f 1 1100 199 198 ... 1 1 101 
b) Đặt f x chia cho g x được thương là q x và phần dư là ax b . Ta có:
f x g x .q x ax b x 1 x 1 q x ax b 
Chọn x 1 ta được f 1 1 1 1 1 q 1 a.1 b 101 a b (1)
Chọn x 1 ta được f 1 1 1 1 1 q 1 a. 1 b 1 a b (2)
Từ (1) và (2) ta được b 51 và a 50 
Vậy phần dư khi chia f x chia cho g x là 50x 51 
c) Theo định lý Bézout f x chia cho g x có phần dư là f 1 suy ra:
 100 98 2
r f 1 100 1 99 1 199 98 1 ... 2 1 1 1
 100 99 98 ... 2 1 1 5051 
d) ta có f x x2 x 1 x9 1 x1945 x 3
mà x2 x 1 chia hết cho x2 x 1.
x9 1 chia hết cho x3 1 và x3 1 chia hết cho x2 x 1.
 x9 1 chia hết cho x2 x 1.
 648
x1945 x x x1944 1 x x3 1 x3 1 x1945 xx2 x 1 
Do đó f x chia cho x2 x 1 có phần dư là 3.