Chuyên đề 6: Số chính phương, số nguyên tố - Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 8

 CHUYÊN ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG, SỐ NGUYÊN TỐ 
 A. LÝ THUYẾT:
1. Định nghĩa:
 - Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên
2. Tính chất:
 - Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là: 0; 1; 4; 5; 6; 9
 - Khi phân tích ra thừa số nguyên tố , số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với lũy 
 thừa chẵn
 - Số chính phương thì chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1
 - Số chính phương thì chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1
 - Số chính phương chia hết cho 2 thì sẽ chia hết cho 4
 - Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
 - Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
 - Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16
 - Số chính phương tận cùng là 1 hoặc 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là số chẵn
 - Số chính phương tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2
 - Số chính phương tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là số lẻ.
 B. LUYỆN TẬP :
 Dạng 1: CHỨNG MINH LÀ MỘT SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Cho số A 11...11122...2225 ( 2005 chữ số 1 và 2006 chữ số 2). 
 Chứng minh rằng A là số chính phương 
HD:
 Ta có: 9A 100...00100...0025 100...00 100...00 25 
 2004 2005 4012 2007
 2
 2 2 2006
 9A 100...00 2.5.100...00 5 10 5 , là số chính phương
 2006 2006
Bài 2: Chứng minh rằng số C 44...4488...89 có n số 4 và n-1 số 8, viết được dưới dạng bình phương 
 của 1 số tự nhiên
HD:
 n
 Đặt 111...11 a 10 9a 1 
 n
 n
 Ta có: 444...448 8...89 444...44888...8 1 4a.10 8a 1 
 n n 1 n n
 2
 2 2 
 4a 9a 1 8a 1 36a 12a 1 6a 1 666...67 
 n 1 
Bài 3 : Chứng minh rằng số A 1 1...1 4 4...4 1 là số chính phương 
 2n n
HD :
 2
 10n 2 
 Biến đổi A khi đó A là số chính phương
 3 
Bài 4 : Chứng minh số B 1 1...1 1 1...1 6 6...6 8 là số chính phương.
 2n n 1 n
HD : 2
 4.111....1.999....9 B 4.111....1.9.111....1 B 6.111....1 B 
 n n n n n 
 2 2
 3 3 
 .888....8 B B B 
 4 n 4 
 2 2 2
 3 3 3 3 
 A 2B 4 B B 2B 4 B 2. B.2 4 B 2 
 4 4 4 4 
 2 2 2
 3 
 .888....8 2 3.222....2 2 666....68 Vậy A 2B 4 là số chính phương. 
 4 n n n 1 
Bài 1: Cho: A 111...1 ( 2m chữ số 1); B 111...1 (m + 1 chữ số 1); C 666...6 (m chữ số 6) . 
 Chứng minh A B C 8 là số chính phương
HD:
 m
 102m 1 10m 1 1 6 10 1 
 Ta có: A 111...1 và B 111...1 và C 666...6 
 9 9 9
 m 2
 102m 1 10m 1 1 6 10 1 102m 16.10m 64 10m 8 
 Khi đó : A B C 8 8 
 9 9 9 9 3 
 Mà 10 m 83 10 m 8 Z . Vậy A B C 8 là số chính phương.
Bài 9 : Cho dãy số : 49 ; 4489 ; 444889 ; 44448889 ; . Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 
48 vào giữa số số đứng trước nó, Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.
HD :
 Xét số tổng quát :
 n
 4 4...48 8...89 4 4...48 8...8 1 4 4...4.10 8 8...8 1 
 n n 1 n n n n
 n n
 n 10 1 n 10 1
 4.1 1...1.10 8.1 1...1 1 4. .10 8. 1 
 n n 9 9
 2
 4.102n 4.10n 8.10n 8 9 4.102n 4.10n 1 2.10n 1 
 9 9 3 
 Mà 2.10n 1 có tổng các chữ số là 3 nên chia hết cho 3, vậy các số có dạng trên đều là số chính 
 phương
Bài 1: Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn: 2a 2 a 3b 2 b 
 Chứng minh rằng 2a 2b 1 là số chính phương. 
HD:
 Ta có: 2a2 a 3b2 b a b 2a 2b 1 b2 (*) 
 Gọi d là UC a b;2a 2b 1 với d N * , Thì: 
 a bd 2 2 2
 a b 2a 2b 1 d b d bd ,
 2a 2b 1d
 Mà : a b d ad 2a 2b d , mà 2a 2b 1 d 1d d 1 
 Do đó : a b,2a 2b 1 1 , Từ (*) ta được : a b,2a 2b 1 là số chính phương 
 Vậy 2a 2b 1 là số chính phương.
Bài 1: Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn : 2x2 x 3y2 y 
 Chứng minh : x y;2x 2y 1;3x 3y 1 đều là các số chính phương. A n n 1 n 2 n 3 1 n n 3 n 2 n 1 1 
 2
 A n2 3n n2 3n 2 1 , Đặt n2 3n t t N A t t 2 1 t 1 
 Vậy tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương.
Bài 14 : Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là 1 số chính 
 phương.
HD :
 Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là n 2;n 1;n;n 1;n 2 n N,n 2 
 2 2 2 2
 Xét A n 2 n 1 n2 n 1 n 2 5 n2 2 
 Nhận thấy A5 nhưng không chia hết cho 25 vì n2 không có tận cùng là 3 hoặc 8
Bài 1: Chứng minh rằng:n N,n 1 thì A n6 n4 2n3 2n2 không thể là số chính phương.
HD:
 Giả sử: n6 n4 2n3 2n2 k 2 , k Z 
 2 2
 n4 n2 1 2n2 n 1 k 2 n 1 n2 n3 n2 2 k 2 n 1 n2 n 1 1 k 2 
 2
 n 1 1 phải là số chính phương.
 2 2 2
 Ta lại có: n 1 n 1 1 n2 2 1 n n2 , Do n 1 n 1 1 không phải là số 
chính phương.
 Vậy A n6 n4 2n3 2n2 không thể là số chính phương.
Bài 16 : Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một số chính phương
HD :
 Gọi a 2k 1,b 2m 1 k,m N 
 2 2
 Xét a2 b2 2k 1 2m 1 4k 2 4k 1 4m2 4m 1 
 4 k 2 k m2 m 2 4t 2 t N 
 Như vậy a2 b2 chia cho 4 dư 2, mà ta biết số chính phương chia 4 không có số dư là 2, 
 Vậy a2 b2 không là 1 số chính phương
Bài 17 : Chứng minh rằng: A n4 2n3 2n2 2n 1 , không phải là số chính phương
HD:
 2
 Ta có: A n2 n2 2n 1 n2 2n 1 n2 1 n 1 
 Vì n2 1 không phải là số chính phương nên A không thể là số chính phương
Bài 18 : Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p - 1 và p + 1 không thể là các số 
 chính phương
HD :
 Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p2 và p không chia hết cho 4 (1)
 Giả sử p 1 là số chính phương. Đặt p 1 m2 m N 
 Vì p chẵn nên p+1 lẻ=> m2 lẻ => m lẻ
 Đặt m 2k 1 k N m2 4k 2 4k 1 p 1 4k 2 4k 1 
 p 4k 2 4k 4k k 1 4 mâu thuẫn với ( 1)
 Vậy p+1 không thể là số chính phương
 Lại có : p 2.3.5.7.... là 1 số chia hết cho 3 => p 1 3k 2 k N ( Vô lý) HD:
 3 2
 Ta có: f x a.x bx cx d a Z , 
 Theo đề bài ta có: 
 2010 f 5 f 3 53 33 a 52 32 b 5 3 c 98a 16b 2c 16b 2c 2010 98a
 Và : f 7 f 1 73 1 a 72 1 b 7 1 c 342a 3 16b 2c 342a 3 2010 98a 
 48a 6030 3 16a 2010 3 . Vì a nguyên dương nên: 16a 2010 1 , 
 Vậy f 7 f 1 là hợp số.
Bài 1 : Chứng minh rằng : Các số a và b đều là tổng của hai số chính phương thì tích a.b cũng là tổng của 
hai số chính phương.
HD :
 Giả sử: a m 2 n2 và b p2 q2 , m,n, p,q Z 
 Ta có: 
 a.b m2 n2 p2 q2 m2 p2 m2q2 n2 p2 n2q2 m2 p2 n2q2 2mnpq m2q2 n2 p2 2mnpq
 2 2
 mp nq mq np , ĐPCM.
Bài 1: Cho A 10n 10n 1 10n 2 ..... 10 1 10n 1 5 1. 
 Chứng minh rằng A là số chính phương nhưng không là lập phương của một số tự nhiên.
Bài 5: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng tồn tại một số có dạng 111...11 mà chia hết cho 
p.
 3 5 3 5
Bài 1: Với n 2008là số nguyên dương , đặt: S an bn , Với a ;b 
 n 2 2
 2
 n n 
 5 1 5 1 
 Chứng minh: S 2 . Tìm số n để S 2 là số chính phương.
 n 2 2 n
Bài 1: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng 2n + 1 và 3n + 1 là các số chính phương thì 5n + 3 
không phải là số nguyên tố.
 a a2 b2
Bài 1: Cho a, b, c nguyên tố khác 0, a c thỏa mãn: 
 c c2 b2
 Chứng minh rằng : a2 b 2 c 2 không thể là một số nguyên tố
Bài 1: Cho b là số nguyên tố khác 3. Số A 3n 1 2015b 2 (n là số tự nhiên) là số nguyên tố hay hợp 
số.
Bài 1: Xét những số được tạo thành bằng cách viết 2n chữ số 0 xen kẽ với 2n + 1 chữ số 1 
 có dạng như sau: 10101; 101010101; ..; 1010101; .. (n nguyên dương)
 Chứng minh các số trên đều là hợp số.
Bài 1: Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n 4 4n là hợp số.
Bài 1: Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng n2 + 2018 là hợp số.
Bài 1: Giả sử phương trình bậc hai x2 ax b 1 0 có hai nghiệm nguyên dương. 
 Chứng minh rằng a2 b2 là hợp số