Chuyên đề 6: Số chính phương - Bồi dưỡng HSG Đại số 8

 Chuyờn đề 6. SỐ CHÍNH PHƯƠNG
A. Kiến thức cần nhớ
1. Khỏi niệm Số chớnh phương là bỡnh phương của một số tự nhiờn.
2. Tớnh chất.
Số chớnh phương chỉ cú thể tận cựng bằng 0, 1,4, 5, 6, 9 khụng thể tận cựng bằng 2, 3, 7, 8.
Khi phõn tớch ra thừa số nguyờn tố, số chớnh phương chỉ chứa cỏc thừa số nguyờn tố với mũ chẵn, khụng 
chứa thừa số nguyờn tố với số mũ lẻ.
Hệ quả. Số chớnh phương chia hết cho số nguyờn tố P thỡ phải chia hết cho P2 
Một số chớnh phương khi và chỉ khi số ước của nú là số lẻ.
3. Một số kiến thức khi sử dụng
Hệ thập phõn
 n
 n 10 1
99.....9 10 1 11.....1 
 n soỏ n soỏ 9
 a(10n 1)
aa.....a 
 n soỏ 9
Cỏc hằng đẳng thức.
Nếu a = b.c mà a là số chớnh phương; (b; c) = 1 thỡ b và c đều là số chớnh phương.
B. Một số vớ dụ
Vớ dụ 1: Cho A 11.....1; B 11.....1; C 66.....6; với n là số tự nhiờn lớn hơn 1.
 2n soỏ 1 n 1 soỏ 1 n soỏ 6
Chứng minh rằng A B C 8 là số chớnh phương.
 Giải
Tỡm cỏch giải. Để chứng minh A B C 8 là số chớnh phương, chỳng ta cần biến đổi thành bỡnh phương 
một số tự nhiờn. Suy luận rất tự nhiờn là dựng hệ thập phõn, để đưa chỳng về lũy thừa của 10 bằng cụng thức 
 n
 10n 1 a 10 1 
11.....1 và aa.....a sau đú dựng hằng đẳng thức đưa về bỡnh phương của một số tự 
 n soỏ 9 n soỏ 9
nhiờn.
Trỡnh bày lời giải
 n
 102n 1 10n 1 1 6 10 1 
Ta cú A ;B ;C 
 9 9 9
Xột A B C 8 
 2
102n 1 10n 1 1 6.10n 6.1 102n 16.10n 64 10n 8 
 8 
 9 9 9 9 3 
 n
Mà 10 8 100..083 A B C 8 là số chớnh phương.
 n 1
Vớ dụ 2: Tỡm số tự nhiờn n để n 18 và n 41 là cỏc số chớnh phương. 4m 4n 1 4 m n d 8m 1 d mà md 
 1d hay d 1 
Vậy m n và 4m 4n 1 nguyờn tố cựng nhau, kết hợp với (*) ta cú: m n và 4m 4n 1 đều là số chớnh 
phương.
Vớ dụ 5: Cho x, y là những số nguyờn lớn hơn 1 sao cho 4x2 y2 7x 7y là số chớnh phương. Chứng minh 
rằng x y .
 Giải
Tỡm cỏch giải. Nếu x y thỡ 4x2 y2 7x 7y 4x2 y2 là số chớnh phương. Do 2xy 1 2 ;4x2 y2 ; 2xy 1 2 
là ba số chớnh phương liờn tiếp nờn để cú:
4x2 y2 7x 7y 4x2 y2 ta chỉ cần chứng minh 2xy 1 2 4x2 y2 7x 7y 2xy 1 2 là đủ.
Trỡnh bày lời giải
Do x, y là cỏc số nguyờn lớn hơn 1 nờn x; y 2 
 4xy 1 7x 7y 4xy 1 
 4x2 y2 4xy 1 4x2 y2 7x 7y 4x2 y2 4xy 1 
 2xy 1 2 4x2 y2 7x 7y 2xy 1 2 
Suy ra 4x2 y2 7x 7y là số chớnh phương. Ta cú x; y 2 nờn
1 2xy 1 2xy 1. Do đú: 4x2 y2 7x 7y 2xy 2 x y
Vớ dụ 6: Giả sử a là số nguyờn dương và d là một ước số nguyờn dương của 2a2 . Chứng minh rằng: a2 d 
khụng thể là số chớnh phương.
 Giải
Giả sử 2.a2 k.d và a2 d b2 với a,b,k,d  .
 22
Từ a2 d b2 a2 b2 k 2b2 a2 k 2 2.k 
 k
 kb 2 a2 k 2 2k k 2 2k là số chớnh phương.
Mà k 2 k 2 2k k 1 2 k 2 2k khụng thể là số chớnh phương 
Vậy a2 d khụng thể là số chớnh phương.
Vớ dụ 7: Chứng minh rằng với x, y là hai số tự nhiờn thỏa món x2 2y là số chớnh phương thỡ x2 2y là 
tổng của hai số chớnh phương
 Giải
Vỡ x, y Ơ nờn x2 2y x2 . Do x2 2y là số chớnh phương ta cú:
 2
x2 2y x t với t Ơ 2
A 15,10n 3 số chớnh phương
6.2. Cho số nguyờn dương n. Đặt A 44.....4; B 88.....8
 2n n
Chứng minh rằng A 2.B 4 là số chớnh phương
 Hướng dẫn giải – đỏp số
 102n 1
Ta cú: A 44.....4 4.11.....1 4.
 2n 2n 9
 10n 1
B 88.....8 8..11.....1 8.
 n 2n 9
 4 102n 1 2.8 10n 1 
Xột A 2B 4 4 
 9 9
 4.102n 4.16.10n 16 36
 9
 2
 2n n n 
 4. 10 4.10 4 2 10 2 2
 66...68 
 9 3 
 n 1
Ta cú điều phải chứng minh.
6.3. Cho a 11.....1; b 44.....4 . Chứng minh rằng a b 1 là số chớnh phương.
 2n n
 Hướng dẫn giải – đỏp số
 n
 102n 1 4 10 1 
Ta cú: a ;b 
 9 9
 x2 1 4 x 1 
Đặt 10n x a ;b 
 9 9
 2
 x2 1 4x 4 9 x 2 
a b 1 
 9 3 
Mà x 2 10...023 a b 1 là số chớnh phương.
6.4. Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn n sao cho n2 14n 256 là số chớnh phương.
 Hướng dẫn giải – đỏp số
Đặt n2 14n 256 k 2 với k Ơ 
 n 7 2 305 k 2 n 7 2 k 2 305 n k 7 n k 7 305 
 n k 7;n k 7 ệ 305 1; 5; 61; 305 
Mà n k 7 n k 7 nờn ta cú:
 n k 7 305 61 5 1
 n k 7 1 5 61 305 b c 2 b c k 2 k 2 
Đú là tổng của ba số chớnh phương.
6.8. Cho hàm số f x x 2 x 3 x 4 x 5 1.
Chứng minh rằng f x luụn cú giỏ trị là số chớnh phương với mọi giỏ trị nguyờn của x.
 (Thi học sinh giỏi Toỏn 9, Lõm Đồng, năm học 2012 - 2013)
 Hướng dẫn giải – đỏp số
Ta cú:
f x x 2 x 5 x 3 x 4 1
 x2 7x 10 x2 7x 12 1 
 2
 x2 7x 10 2 x2 7x 10 1 
 2 2
 x2 7x 10 1 x2 7x 11 
Với x là số nguyờn thỡ x2 7x 11 là số nguyờn.
Vậy f x luụn cú giỏ trị là sổ chớnh phương.
6.9. Chứng minh rằng:
a) Với mọi số tự nhiờn n 1 thỡ n6 n4 2n3 2n2 khụng phải số chớnh phương.
b) Cỏc số a và b đều là tổng 2 số chớnh phương thỡ tớch ab cũng là tổng của 2 số chớnh phương.
 (Thi học sinh giỏi Toỏn lớp 9, tỉnh Nghệ An, năm học 2006 - 2007)
 Hướng dẫn giải – đỏp số
a) Giả sử A là số chớnh phương. Đặt A k 2 với k là số nguyờn.
Ta cú: A n4 n 1 n 1 2n2 n 1 
 2 3 2 3 2 2
 n 1 n n n 2 n 1 n n n 2n 2 
 n 1 n2 n 1 n2 2n 2 n 1 2 n2 n 1 2 1 
Suy ra n 1 2 n2 n 1 2 1 k 2 nờn n 1 2 1 là số chớnh phương.
Mà n 1 2 1 n2 n 1 2 1 khụng phải số chớnh phương.
Vậy A khụng phải số chớnh phương. 
b) Giả sử a m2 n2 ;b p2 q2 m,n, p,q  , khi đú:
ab m2 n2 p2 q2 m2 p2 m2q2 n2 p2 n2q2 
 m2 p2 2mnpq n2q2 m2q2 2mnpq n2q2 
ab mp nq 2 mq np 2 , ta cú điều phải chứng minh.
6.10. Tỡm số tự nhiờn n để n 5 và n 30 là cỏc số chớnh phương. 6.13. Tỡm x Ô để x2 x 6 là một số chớnh phương.
 Hướng dẫn giải – đỏp số
* Với x 0;1; 1 khụng thỏa món.
* Với x 0;1; 1 . Trước hết ta chứng minh nếu x2 x 6 là một số chớnh phương thỡ x  .
 m
Giả sử x với m,n  ;n 0; m,n 1 
 n
 m2 m m2 mn
Ta cú: x2 x  m2 mnn2 
 n2 n n2
 m2 mnn m2 n . Do m;n 1 n 1 x  
 2
Đặt x2 x 6 k 2 k  4x2 4x 24 4k 2 2x 1 23 
 2 2 2k 2x 1
 4k 2x 1 23 2k 2x 1 2k 2x 1 23 
 2k 2x 1
ệ 23 1; 23
Bạn đọc tự giải được x x 6 và x 5 
6.14. Tỡm số nguyờn dương n để tổng n4 n3 n2 n 1 là số chớnh phương.
 Hướng dẫn giải – đỏp số
Đặt n4 n3 n2 n 1 k 2 (1) với k nguyờn dương, ta cú: 
 1 4n4 4n3 4n2 4n 1 4k 2 
 2 2 2
 2n2 n 2n2 n 2 2k (2)
 2 2 2 2
Cỏch 1. Từ (2) 2k 2n2 n 2k 2n2 n 1 
Do k, n nguyờn dương
 2
 4n4 4n3 4n2 4n 4 2n2 n 1 
 n 1 n 3 0 n 3 n 1;2;3 
Thay vào (1) thử lại, ta được kết quả duy nhất n 3 thỏa món điều kiện đề bài.
 2 2
Cỏch 2. Xột hiệu A 2n2 n 2 2k 5n2 0 
 2 2
 2n2 n 2 2k (3)
 2 2 2
Từ (2) và (3) suy ra: 2n2 n 2 2k 2n2 n 
 2 2
 2k 2n2 n 1 do k, n nguyờn dương