Chuyên đề 6: Hình thoi và hình vuông - Bồi dưỡng HSG Toán hình 8

 Chương 1
Chuyờn đề 6 
 HèNH THOI VÀ HèNH VUễNG
A. Kiến thức cần nhớ
 1. Định nghĩa:
 • Hỡnh thoi là tứ giỏc cú bốn cạnh bằng nhau (h.6.1).
 • Hỡnh vuụng là tứ giỏc cú bốn gúc vuụng và cú bốn cạnh bằng nhau (h.6.2).
 2. Tớnh chất:
 * Trong hỡnh thoi:
 • Hai đường chộo của hỡnh thoi vuụng gúc với nhau;
 • Hai đường chộo là cỏc đường phõn giỏc của cỏc gúc của hỡnh thoi;
 * Hỡnh vuụng cú đủ cỏc tớnh chất của hỡnh chữ nhật và hỡnh thoi.
 3. Dấu hiệu nhận biết:
 * Nhận biết hỡnh thoi:
 • Tứ giỏc cú bốn cạnh bằng nhau là hỡnh thoi;
 • Hỡnh bỡnh hành cú hai cạnh kề bằng nhau là hỡnh thoi;
 • Hỡnh bỡnh hành cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau là hỡnh thoi;
 • Hỡnh bỡnh hành cú một đường chộo là đường phõn giỏc của một gúc là hỡnh thoi.
 * Nhận biết hỡnh vuụng:
 • Hỡnh chữ nhật cú hai cạnh kề bằng nhau là hỡnh vuụng;
 • Hỡnh chữ nhật cú hai đường chộo vuụng gúc là hỡnh vuụng;
 • Hỡnh chữ nhật cú một đường chộo là đường phõn giỏc của một gúc là hỡnh vuụng;
 • Hỡnh thoi cú một gúc vuụng là hỡnh vuụng;
 • Hỡnh thoi cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh vuụng.
B. Một số vớ dụ
Vớ dụ 1: Cho hỡnh thoi ABCD , độ dài mỗi cạnh là 13cm . Gọi O là giao điểm của hai đường chộo. Vẽ 
OH  AD . Biết OH 6cm , tớnh tỉ số của hai đường chộo BD và AC . Dựng định lý đường trung bỡnh của tam giỏc ta chứng minh được DM PGN và DM GN nờn tứ 
 giỏc DNGM là hỡnh bỡnh hành.
 1
 Mặt khỏc, DM DN (cựng bằng của hai cạnh bằng nhau) nờn DNGM là hỡnh thoi.
 2
Vớ dụ 3: Cho hỡnh vuụng ABCD . Lấy điểm M trờn đường chộo AC . Vẽ ME  AD , MF  CD và 
MH  EF . Chứng minh rằng khi điểm M di động trờn AC thỡ đường thẳng MH luụn đi qua một điểm 
cố định.
 Giải (h.6.5)
* Tỡm cỏch giải
 Vẽ hỡnh chớnh xỏc ta thấy đường thẳng MH đi qua một điểm cố định là điểm B . Vỡ thế ta sẽ 
 ả ả
 chứng minh ba điểm H, M , B thẳng hàng bằng cỏch chứng minh M1 M 2 .
* Trỡnh bày lời giải
 Gọi N là giao điểm của đường thẳng EM và BC .
 Khi đú BN AE ; AE ME (vỡ ∆AEM vuụng cõn) suy ra 
BN ME .
 Chứng minh tương tự, ta được: MN MF .
 Nối MB ta được: VBMN VEFM (c.g.c).
 à à ả ả
 Suy ra B1 E1 do đú M1 M 2 .
 Từ đú ba điểm H, M , B thẳng hàng.
 Vậy đường thẳng MH luụn đi qua một điểm cố định là điểm B .
Vớ dụ 4: Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a . Trờn cạnh BC lấy điểm M , trờn cạnh CD lấy điểm N sao 
cho chu vi cỏc tam giỏc CMN bằng 2a . Chứng minh rằng gúc MAN cú số đo khụng đổi.
 Giải (h.6.6)
* Tỡm cỏch giải
 Vẽ hỡnh chớnh xỏc ta luụn thấy Mã AN 450 . Vỡ vậy ta vẽ hỡnh 
 phụ tạo ra gúc 900 rồi chứng minh Mã AN bằng nửa gúc vuụng 
 đú.
* Trỡnh bày lời giải
 Trờn tia đối của tia DC lấy điểm E sao cho DE BM .
 VBAM VDAE (c.g.c) suy ra AM AE và Bã AM Dã AE .
 Ta cú: Bã AM Dã AM 900 .
 Dã AE Dã AM 900 hay Eã AM 900 . 6.3. Cho hỡnh thoi ABCD , àA 400 . Gọi M là trung điểm của AB . Vẽ DH  CM . Tớnh số đo 
 của gúc MHB .
 6.4. Cho hỡnh thoi ABCD . Trờn nửa mặt phẳng bờ BD cú chứa điểm C , vẽ hỡnh bỡnh hành 
 BDEF cú DE DC . Chứng minh rằng C là trực tõm của tam giỏc AEF .
 6.5. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD , hai đường chộo cắt nhau tại O . Gọi E, F,G, H lần lượt là giao 
 điểm cỏc đường phõn giỏc của tam giỏc AOB, BOC,COD và DOA. Chứng minh tứ giỏc EFGH 
 là hỡnh thoi.
 6.6. Dựng hỡnh thoi ABCD biết AC BD 8cm và ãABD 250 .
• Hỡnh vuụng
 6.7. Cho hỡnh vuụng ABCD . Trờn cạnh BC lấy cỏc điểm E và F sao cho BE EF FC . Trờn 
 1
 cạnh AD lấy điểm G sao cho AG AD .
 3
 Tớnh tổng: ãAEG ãAFG ãACG
 6.8. Cho hỡnh vuụng ABCD . Trờn đường chộo AC lấy một điểm M . Vẽ ME  AD , MF  CD . 
 Chứng minh rằng ba đường thẳng AF,CE và BM đồng quy.
 6.9. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , đường cao AH . Vẽ ra phớa ngoài tam giỏc này cỏc hỡnh 
 vuụng ABDE và ACFG . Chứng minh rằng:
 a) Ba đường thẳng AH, DE và FG đồng quy;
 b) Ba đường thẳng AH, BF và CD đồng quy.
 6.10. Cho hỡnh vuụng ABCD . Trờn tia đối của tia BA lấy điểm E . Trờn tia đối của tia CB lấy 
 điểm F sao cho AE CF . Gọi O là trung điểm của EF . Vẽ điểm M sao cho O là trung điểm 
 của DM . Chứng minh rằng tứ giỏc DEMF là hỡnh vuụng.
 6.11. Cho tam giỏc ABC , àA 450 . Vẽ ba đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H . Gọi M , N, P,Q 
 lần lượt là trung điểm của AB, AC, HB và HC . Chứng minh rằng tứ giỏc MNPQ là hỡnh vuụng.
 6.12. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD . Vẽ ra phớa ngoài của hỡnh bỡnh hành cỏc hỡnh vuụng cú một 
 cạnh là cạnh của hỡnh bỡnh hành. Gọi E, F,G, H lần lượt là tõm (tức là giao điểm của hai đường 
 chộo) của cỏc hỡnh vuụng vẽ trờn cỏc cạnh AB, BC,CD và DA . Chứng minh rằng: EG HF và 
 EG  HF .
 6.13. Dựng hỡnh vuụng ABCD biết đỉnh A và trung điểm M của CD .
 6.14. Một bàn cờ hỡnh vuụng cú kớch thước 6x6 . Cú thể dựng 9 mảnh gỗ hỡnh chữ nhật cú kớch 
 thước 1x4 để ghộp kớn bàn cờ được khụng?
 6.15. Một hỡnh chữ nhật cú kớch thước 3x6 . Hóy chia hỡnh chữ nhật này thành nhiều phần (hỡnh 
 tam giỏc, tứ giỏc) để ghộp lại thành một hỡnh vuụng (số phần được chia ra càng ớt càng tốt). Suy ra ãADH ãAHD và ãABH ãAHB .
 Xột tứ giỏc ABHD cú ãADH Dã HA Bã HA ãABH 3600 àA
 2(Dã HA Bã HA) 3600 400 2Bã HD 3200 Bã HD 1600 .
 Mặt khỏc, Dã HM 900 nờn Mã HB 1600 900 700 .
6.4. (h.6.11)
 Ta cú AC  DB mà DB P EF nờn AC  EF . (1)
 Vẽ điểm M sao cho D là trung điểm của EM .
 1
 Xột VCEM cú CD là đường trung tuyến mà CD EM nờn 
 2
 VCEM vuụng tại C .
 CM  CE .
 Tứ giỏc MDFB cú hai cạnh đối song song và bằng nhau nờn là 
 hỡnh bỡnh hành.
 DB và MF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
 Mặt khỏc, O là trung điểm của DB nờn O là trung điểm của 
 MF .
 Tứ giỏc AMCF cú OA OC,OM OF nờn là hỡnh bỡnh hành 
 CM P AF
 CE  AF . (2)
 Xột VAEF cú AC và EC là hai đường cao cắt nhau tại C nờn C là trực tõm.
 Nhận xột: Nếu vẽ hỡnh bỡnh hành DBEF về phớa điểm A thỡ kết luận của bài toỏn vẫn đỳng.
6.5. (h.6.12)
 Ta cú OE  OH,OG  OH (hai tia phõn giỏc của hai gúc kề bự)
 E,O,G thẳng hàng.
 Chứng minh tương tự, ta được H,O, F thẳng hàng.
 Ta cú AB PCD Bã AC ãACD
 Eã AO ãACG (một nửa của hai gúc bằng nhau)
 VAOE VCOG (g.c.g) OE OG .
 Chứng minh tương tự, ta được OF OH .
 Tứ giỏc EFGH cú hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nờn là hỡnh bỡnh hành. 
 Hỡnh bỡnh hành cú hai đường chộo vuụng gúc nờn là hỡnh thoi.
6.6. (h.6.13) ME BN( AE)
 VMFE VNMB (g.c.g) Mã FE Nã MB
 Ta cú: Nã MB Fã MK 900 ( vỡ Nã MF 900 ).
 Mã FE Fã MK 900 Kà 900 BM  EF
 Vậy ba đường thằng AF,CE và BM là ba đường cao của VBEF nờn chỳng đồng quy.
6.9 (h.6.16)
a) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng DE và FG .
 Tứ giỏc AGKE cú ba gúc vuụng nờn là hỡnh chữ nhật.
 Gọi O là giao điểm của AH và EG .
 à à
 VAEG VABC (c.g.c) G1 C1 .
 à à ã à ả
 Ta lại cú: C1 A1 (cựng phụ với ABC ); Và A1 A2
 à ả
 G1 A2 . Do đú VOAG cõn.
 OG OA
 Chứng minh tương tự, ta được OE OA
 OG OE
 Xột hỡnh chữ nhật AGKE cú O là trung điểm của đường 
 chộo EG nờn đường chộo AK phải đi qua O hay đường 
 thẳng AH đi qua K .
 Vậy ba đường thẳng AH, DE, FG đồng quy.
b) VBCF và VKAC cú:
 ã ã 0 à 0 ả
 BC KA (cựng bằng EG ); BCF KAC (vỡ 90 C1 90 A2 ); CF AC .
 à ả
 Do đú VBCF VKAC F2 C2
 Gọi M là giao điểm của BF và KC .
 ả ả 0 à ả 0 ả 0
 Ta cú C2 C3 90 F2 C3 90 M 90 . Vậy BF  KC
 Chứng minh tương tự, ta được CD  KB
 Xột VKBC cú cỏc đường thẳng AH, BF,CD chứa ba đường cao nờn chỳng đồng quy.
6.10. (h.6.17)
 VADE VCDF (c.g.c) DE DF và ãADE Cã DF .
 Ta cú ãADE Cã DF 900 Gọi N là trung điểm của AM . Vẽ NH  AD .
 Qua M vẽ một đường thẳng vuụng gúc với AM cắt đường thẳng AD tại E .
 1
 Xột VADM cú NH P MD và AN NM nờn AH HD AD .
 2
 1
 Mặt khỏc, MD MC CD nờn MD AH
 2
 Ta cú Dã ME Hã AN (cựng phụ với Dã MA ).
 1
 VDME VHAN (g.c.g) ME AN AM
 2
 Vậy E xỏc định được, từ đú xỏc định được D,C, B .
b) Cỏch dựng
 - Dựng đường thẳng d  AM tại M ;
 1
 - Trờn d lấy điểm E sao cho ME AM ;
 2
 - Dựng MD  AE
 - Dựng điểm C sao cho M là trung điểm của CD ;
 - Dựng Cx P AD và Ay PCD chỳng cắt nhau tại B .
 Tứ giỏc ABCD là hỡnh vuụng phải dựng.
c) Chứng minh
 Thật vậy, tứ giỏc ABCD cú cỏc cặp cạnh đối song song nờn là hỡnh bỡnh hành. 
 Hỡnh bỡnh hành này cú Dà 900 nờn là hỡnh chữ nhật.
 1
 Gọi N là trung điểm của AM . Vẽ NH  AD thỡ AH AD .
 2
 VHAN VDME (cạnh huyền, gúc nhọn) AH DM AD DC
 Hỡnh chữ nhật cú hai cạnh kề bằng nhau nờn là hỡnh vuụng.
d) Biện luận
 Cú hai cỏch lấy điểm E trờn đường thẳng d (về hai phớa của điểm M ) nờn bài toỏn cú hai 
 nghiệm hỡnh là cỏc hỡnh vuụng ABCD và AB'C ' D' .
6.14 (h.6.21)
 Tụ màu bàn cờ như hỡnh 6.21. Lỳc này trờn bàn cờ cú 20 ụ đen và 16 ụ 
 trắng.
 Mỗi mảnh gỗ 1x4 khi đặt lờn bàn cờ che lấp được 2 ụ đen và 2 ụ 
 trắng.