Chuyên đề 5: Phân tích đa thức thành nhân - Bồi dưỡng HSG Đại số 8

 Chuyên đề 5. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Chúng ta đã biết ba phương pháp để phân tích một đa thức thành nhân tử là đặt nhân tử chung, dùng hằng 
đẳng thức, nhĩm các hạng tử và phối hợp ba phương pháp đĩ. Tuy nhiên cĩ những đa thức mặc dù rất đơn 
giản, nếu chỉ biết dùng ba phương pháp đĩ thơi thì khơng thể phân tích thành nhân tử được. Do đĩ trong 
chuyên đề này chúng ta sẽ xét thêm một số phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử.
Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
Phương pháp đổi biến
Phương pháp đồng nhất hệ số
Phương pháp xét giá trị riêng của các biến.
B. Một số ví dụ
1. Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f x 2x2 3x 1.
 Giải
Cách 1: Tách hạng tử thứ hai: 3x 2x x 
Ta cĩ: f x 2x2 2x x 1 2x x 1 x 1 x 1 2x 1 
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất và hạng tử thứ hai: 2x2 x2 x2 .
Ta cĩ:
 2 2 2
f x x 2x 1 x x x 1 x x 1 x 1 x 1 x 
 x 1 2x 1 
 2
Nhận xét. Để phân tích tam thức bậc hai f x ax bx c ra nhân tử, ta tách hạng tử bx thành b1x b2 x 
sao cho b1b2 ac và b1 b2 b .
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f x x3 x2 4
 Giải
Tìm cách giải. Ta lần lượt kiểm tra với x 1; x 2; x 4 , ta thấy f 2 0 .
Đa thức f x cĩ nghiệm x 2 , do đĩ khi phân tích thành nhân tử, f x chứa nhân tử x 2.
Trình bày lời giải
Ta cĩ: f x x3 x2 4 x3 2x2 x2 2x 2x 4 
 x2 x 2 x x 2 2 x 2 
 x 2 x2 x 2 Đặt y x2 5x 9 .
Khi đĩ đa thức cĩ dạng: y y 2 15 y2 2y 15 y 5 y 3 
Từ đĩ suy ra: x 1 x 2 x 3 x 4 15 x2 5x 9 x2 5x 1 
Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
A 3x 2 3x 5 x 1 9x 10 24x2 
 Giải
Tìm cách giải. Nếu khai triển ngoặc thì bài tốn trở lên khá phức tạp và cĩ thể dẫn đển sai lầm. Quan sát kĩ 
đề bài chúng ta nhận thấy hệ số của bốn ngoặc cĩ đặc điểm: 3.3 1.9 và 2. 5 1 .10 , do vậy chúng ta 
nghĩ đển việc nhĩm hai ngoặc lại và đặt biến phụ nhằm đưa về bài tốn đơn giản hơn.
Trình bày lời giải 
Ta cĩ:
A 3x 2 3x 5 x 1 9x 10 24x2
 9x2 9x 10 9x2 x 10 24x2 
Đặt y 9x2 9x 10. Đa thức cĩ dạng:
A y y 10x 24x2 
 y2 10xy 24y2 y2 4xy 6xy 24y2 y 4x y 6x 
Từ đĩ suy ra: A 9x2 3x 10 9x2 5x 10 
Nhận xét. Cách giải trên cĩ thể dùng cho các đa thức cĩ dạng:
 2
P x a1x b1 a2 x b2 a3 x b3 a4 x b4 mx 
trong đĩ a1a2 a3a4 ;b1 b2 b3b4 
Ví dụ 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: B 2x4 3x3 9x2 3x 2 
 Giải
Tìm cách giải. Những bài tốn cĩ dạng: ax4 bx3 cx2 kax k 2b2 với k 1 hoặc k 1.
Ta đặt y x2 k , rồi biến đổi biểu thức về dạng ax2 bxy my2 
Trình bày lời giải
Đặt y x2 1 y2 x4 2x2 1. Biến đổi biểu thức, ta cĩ:
 2
B 2 x4 2x2 1 3x3 3x 5x2 2 x2 1 3x x2 1 5x2 
Từ đĩ, biểu thức cĩ dạng:
B 2y2 3xy 5x2 2y2 2xy 5xy 5x2 y x 2y 5x 
Từ đĩ suy ra: B x2 x 1 2x2 5x 2 .
4. Phương pháp đồng nhất hệ số Chẳng hạn, chọn x 2; y 1; z 0 thay vào đắng thức (*),ta tìm được a 1 
Vậy: P x2 y z y2 z x z2 x y x y y z z x 
 x y y z x z 
Ví dụ 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Q a b c a 2 b c a b 2 c a b c 2 a b c b c a c a b 
 Giải
Nhận xét. Với a 0 thì Q 0 , cho nên a là một nhân tử của Q. Do vai trị bình đẳng của a, b, c nên b và c 
cũng là nhân tử của Q, mà Q cĩ bậc 3 đối với tập hợp các biến nên Q k.abc .
Chọn a b c 1 được k 4 . Vậy Q 4abc .
C. Bài tập vận dụng
Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
5.1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 4x2 4x 3 ; b) 2x2 5x 3; c) 3x2 5x 2 ;
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) 4x2 4x 3 4x2 4x 1 4
 2x 1 2 4 2x 1 2 2x 1 2 2x 3 2x 1 
b) 2x2 5x 3 2x2 x 6x 3
 x 2x 1 3 2x 1 2x 1 x 3 
c) 3x2 5x 2 3x2 x 6x 2
 x 3x 1 2 3x 1 3x 1 x 2 
5.2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x3 2x 3; b) x3 7x 6 ; c) x3 5x2 8x 4 ;
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) x3 2x 3 x3 1 2x 2
 x 1 x2 x 1 2 x 1 
 x 1 x2 x 1 2 
 x 1 x2 x 3 
b) x3 7x 6 x3 1 7x 7
 x 1 x2 x 1 7 x 1 
 x 1 x2 x 1 7 
 x 1 x2 x 6 2
 10 x2 y2 27xy x2 y2 130x2 y2 
 2
 10 x2 y2 25xy x2 y2 52xy x2 y2 130x2 y2 
 5 x2 y2 2x2 2y2 5xy 26xy 2x2 2y2 5xy 
 2x2 2y2 4xy 2y2 5x2 xy 25xy 5y2 
 2x2 xy 4xy 2y2 5x2 xy 25xy 5y2 
 2x y x 2y x 5y 5x y 
b) B x5 4x4 3x3 3x2 4x 1
 x5 x4 5x4 5x3 8x3 8x2 5x2 5x x 1 
 x 1 x4 5x3 8x2 5x 1 
 x 1 x4 2x3 x2 3x3 6x2 3x x2 2x 1 
 x 1 x2 x2 2x 1 3x x2 2x 1 x2 2x 1 
 x 1 x 1 2 x2 3x 1 
c) C bc a d b c ac b d c b b a ab c d a b 
 bc a d b c ac b d b c ac b d a b ab c d a b 
 c b c ab bd ab ad a a b bc cd bc bd 
 c b c bd ad a a b cd bd 
 cd b c b a ad b a b c 
 d b c b a c a 
5.5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
 2
a) 4x x y . x z . x y z y2 z2 ; b) 3 x4 x2 1 x2 x 1 .
c) x4 2y4 x2 y2 x2 y2 . d) 2x4 x3 y 3x2 y2 xy2 2y4 .
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) 4x x2 xy xz yz . x y z y2 z2
 2 2
 4x x x y z yz x y z y z 
 4x2 x y z 2 4xyz x y z y2 z2 
 2 2 2
 2x x y z yz 2x 2xy 2xz yz 
 2
b) 3 x4 2x2 1 x2 x2 x 1 xy x y z x y z x y x y xy z x y z 
 x y xy xz yz z2 x y y z z x 
5.7. Cho đa thức P x 2x4 7x3 2x2 13x 6 
a) Phân tích P(x) thành nhân tử.
b) Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6 với mọi số nguyên x.
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) P x 2x4 2x3 9x3 9x2 7x2 7x 6x 6
 2x3 x 1 9x2 x 1 7x x 1 6 x 1 
 x 1 2x3 9x2 7x 6 
 x 1 2x3 4x2 5x2 10x 3x 6 
 x 1 . x 2 . 2x2 5x 3 x 1 . x 2 , 2x2 6x x 3 
 x 1 . x 2 . x 3 . 2x 1 
b) Với x là số nguyên thì x 3; x 2 là hai số nguyên lên tiếp nên 
 x 3 x 2 2 P x 2 
Với x3 x 33 P x 3 
Với x3 dư 1 thì 2x 13 P x 3 
Với x3 dư 2 thì x 23 P x 3 
Với mọi x là số nguyên
Vì ƯCLN 2;3 1 nên P x 6 
5.8. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 2x3 5x2 8x 3 
b) a b c 2 b c a 2 c a b 2 a3 b3 c3 4abc 
 2
c) x2 3x 1 12x2 36x 39 ;
d) a4 b4 c4 2a2b2 2b2c2 2a2c2 .
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) 2x3 5x2 8x 3
 2x3 x2 4x2 2x 6x 3 2x 1 x2 2x 3 
b) a b c 2 b c a 2 c a b 2 a3 b3 c3 4abc
 ab2 2abc ac2 bc2 2abc ba2 ca2 2abc cb2 a3 b3 c3 4abc a b b c c b c a a b 
 a b b c bc c2 a2 ab 
 a b b c bc c2 a2 ab 
 a b b c c a c a b c a 
 a b b c c a a b c 
b) ab a b bc b a a c ca c a 
 ab a b bc a b bc c a ca c a 
 b a b a c c a c b a 
 b a b a c a a c a b 
 a b a c b c 
c) a b2 c2 b b2 c2 a2 b2 c a2 b2 
 a b2 c2 b b2 c2 b a2 b2 c a2 b2 
 b2 c2 a b a2 b2 b c 
 b c b c a b a b a b b c 
 b c a b b c a b 
 b c a b c a 
d) a3 b c b3 c b b a c3 a b 
 a3 b c b3 b c b3 a b c3 a b 
 b c a3 b3 a b b3 c3 
 b c a b a2 ab b2 a b b c b2 bc c2 
 b c a b a2 ab b2 b2 bc c2 
 b c a b a c a c b a c 
 b c a b a c a b c 
5.10. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) a b 3 b c 3 c a 3 
b) x y z 3 x3 y3 z3 ;
 Hướng dẫn giải – đáp số x5 x2 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 
 x3 x2 1 x2 x 1 
Phương pháp đổi biến
5.12. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) M 4x 1 12x 1 3x 2 x 1 4 ;
b) N x 2 x 3 2 x 4 12;
 Hướng dẫn giải – đáp số
Ta cĩ: 
M 4x 1 12x 1 3x 2 x 1 4
 12x2 11x 2 12x2 11x 1 4 
Đặt 12x2 11x 1 y , đa thức cĩ dạng:
M y 3 y 4 y2 3y 4 y2 y 4y 4 y 1 y 4 
Từ đĩ suy ra M 12x2 11x 2 12x2 11x 3 
b) Ta cĩ N x 3 2 x 2 x 4 12
 x2 6x 9 x2 6x 8 12 
Đặt x2 6x 8 y , đa thức cĩ dạng:
N y 1 y 12 y2 y 12 y2 3y 4y 12 y 3 y 4 
Từ đĩ suy ra N x2 6x 5 x2 6x 12 
N x2 x 5x 9 x2 6x 12 
 x 1 x 5 x2 6x 12 
5.13. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) A 48x2 8x 1 3x2 5x 2 4 ;
b) B 4 x2 11x 30 4x2 22x 120 23x2 .
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta cĩ: A 48x2 12x 4x 1 3x2 3x 2x 2 4
 4x 1 12x 1 3x 2 x 1 4 
Đến đây, giải giống bài 5.12a
b) B 4x2 44x 120 4x2 22x 120 23x2
Đặt 4x2 44x 120 y , suy ra: B y 11x y 11x 23x2