Chuyên đề 5: Hình chữ nhật, tính chất của các điểm cách đều một đường thẳng cho trước - Bồi dưỡng HSG Toán hình 8

 Chuyên đề 5.
 HÌNH CHỮ NHẬT. TÍNH CHẤT CỦA CÁC ĐIỂM CÁCH ĐỀU MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO 
 TRƯỚC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa
Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông (h.5.1)
2. Tính chất
Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (h.5.2).
3. Dẫu hiệu nhận biết
- Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật;
- Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật;
- Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật;
- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
4. Áp dụng vào tam giác (h.5.3)
 ABC : MB MC
 1
µA 90 AM BC .
 2
5. Tính chất các điểm cách đều một đường thẳng cho trước (h.5.4)
Tập hợp các điểm cách đều một đường thẳng cố định một khoảng cách 
bằng h không đổi là hai đường thẳng song song với đường thẳng đó và 
cách đường thẳng đó một khoảng bằng h .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho hình chữ nhật ABCD . Trên đường chéo BD lấy một điểm M . Trên tia AM lấy điểm N 
sao cho M là trung điểm của AN . Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của N trên đường thẳng BC và 
CD . Chứng minh rằng ba điểm M , E, F thẳng hàng.
 Giải (h.5.5)
* Tìm cách giải Giải(h.5.7)
* Tìm cách giải
Ta thấy DH DK AB (không đổi). Dựa vào các hằng đẳng thức ta có thể tìm được mối quan hệ giữa 
tích DH.DK với tổng DH DK . Mối quan hệ này được biểu diễn như sau:
Ta có: x y 2 0 x2 y2 2xy x2 y2 2xy 4xy x y 2 4xy
 x y 2
 xy 
 4
* Trình bày lời giải.
Tứ giác AHDK có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
Tam giác HBD có Hµ 90; Bµ 45 nên là tam giác vuông cân. Ta đặt: 
DH x, DK y thì HB x, AH y và x y a .
 2
 x y a2
Ta có: xy (không đổi).
 4 4
Dấu " " xảy ra x y D là trung điểm của BC .
 a2
Vậy giá trị lớn nhất của tích DH.DK là khi D là trung điểm của BC .
 4
Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD , µA Dµ 90. Trên cạnh AD có một điểm H mà AH DH và 
B· HC 90 . Chứng minh rằng trên cạnh AD còn một điểm K sao cho B· KC 90 .
 Giải (h.5.8)
* Tìm cách giải
Giả sử đã chứng minh được B· KC 90 thì BHC và BKC là hai tam giác vuông có chung cạnh 
huyền BC nên hai đường trung tuyến ứng với BC phải bằng nhau. Do đó cần chứng minh hai đường 
trung tuyến này bằng nhau.
* Trình bày lời giải
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Khi đó MN là đường trung 
bình của hình thang ABCD , suy ra:
MN // AB
 MN  AD (vì AB  AD )
Trên cạnh AD lấy điểm K sao cho DK AH MK MH . NHK
 có NM vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nên là tam giác cân 
 KN HN .
 1
Xét HBC vuông tại H có HN BC (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền). Suy ra 
 2
 1
KN BC (vì KN HN ).
 2 5.8. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , đường trung tuyến AD . Vẽ HE  AB, HF  AC . 
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của HB và HC .
a) Chứng minh rằng EM // FN // AD;
b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì thì ba đường thẳng EM , FN.AD là ba đường thẳng song 
song cách đều.
5.9. Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC , đường cao AH . Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho 
AD AB . Gọi M là trung điểm của BD . Chứng minh rằng tia HM là tia phân giác của góc AHC .
5.10. Cho hình chữ nhật ABCD, AB 15, BC 8 . Trên các cạnh AB, BC,CD, DA lần lượt lấy các điểm 
E, F,G, H . Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác EFGH .
* Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước
5.11. Cho góc xOy có số đo bằng 30 . Điểm A cố định trên tia Ox sao cho OA 2cm . Lấy điểm B bất 
kì trên tia Oy . Trên tia đối của tia BA lấy điểm C sao cho BC 2BA. Hỏi khi điểm B di động trên tia 
Oy thì điểm C di động trên đường nào?
5.12. Cho góc xOy có số đo bằng 45. Điểm A cố định trên tia Ox sao cho OA 3 2cm . Lấy điểm B 
bất kì trên tia Oy . Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB . Hỏi khi điểm B di động trên tia Oy thì điểm 
G di động trên đường nào?
5.13. Cho tam giác ABC cân tại A . Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho 
AM CN . Gọi O là trung điểm của MN . Hỏi điểm O di động trên đường nào?
5.14. Bên trong hình chữ nhật kích thước 3 6 cho 10 điểm. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm trong số 
10 điểm đó có khoảng cách nhỏ hơn 2,3.
5.15. Bên trong hình chữ nhật có kích thước 3 6 cho 8 điểm. Chứng minh rằng tồn tại hai trong số 8 
điểm đó có khoảng cách nhỏ hơn 2,3.
 Hướng dẫn giải
5.1. (h.5.10)
Tứ giác AEMF có ba góc vuông nên là hình chữ nhật . Vậy MA2 MC 2 MB2 MD2 100.
Do đó giá trị nhỏ nhất của tổng S là 100 khi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD .
5.4. (h.5.13)
Vẽ AH  BC,OK  AH. .
Tứ giác ADOF và KOEH là hình chữ nhật nên OF AD và 
OE KH .
Xét AOD vuông tại D , ta có
OD2 AD2 OA2 AK 2.
Do đó OD2 OF 2 OE 2 OD2 AD2 OE 2 AK 2 KH 2
 2
 AK KH AH 2
 (không đổi)
 2 2
Dấu " " xảy ra O nằm giữa A và H và AK KH O là trung điểm của AH
 AH 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng S là khi O là trung điểm của AH .
 2
5.5. (h.5.14)
Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên 
µA Bµ Cµ Dµ 90.
Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:
MN 2 BM 2 BN 2 ; NP2 CN 2 CP2 ;
PQ2 DP2 DQ2 ;QM 2 AQ2 AM 2.
Do đó: S MN 2 NP2 PQ2 QM 2
 AM 2 BM 2 BN 2 CN 2 CP2 DP2 DQ2 AQ2 
 a b 2
Vận dụng bất đẳng thức a2 b2 (dấu " " xảy ra khi a b ), ta được:
 2
 AM BM 2 BN CN 2 CP DP 2 DQ AQ 2
S 
 2 2 2 2
 2 2
 AB2 BC 2 CD2 AD2 2 AB BC 
 AC 2 d 2.
 2 2 2 2 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng S là d 2 khi M , N, P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh hình chữ nhật.
5.6. (h.5.15)
Vẽ DH  BC, EK  BC và DF  EK
Tứ giác DFKH có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.
Suy ra DF HK .
 HBD vuông tại H có Bµ 60 nên KF KE K  O AD  AH ABC vuông cân.
5.9. (h.5.18)
Vẽ DE  BC, DF  AH.
 HAB và FDA có: Hµ Fµ 90 ; AB AD;
H· AB F· DA (cùng phụ với F· AD ).
Do đó HAB FDA (cạnh huyền-góc nhọn)
 AH FD. (1)
Tứ giác FDEH có ba góc vuông nên là hình chữ nhật 
 HE FD. (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AH HE.
 1
Ta có AM EM BD.
 2
 AHM EHM c.c.c ·AHM E· HM.
Do đó tia HM là tia phân giác của góc AHC
5.10. (h.5.19)
Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm của HE, HF và FG
Theo tính chất đường trung bình của tam giác, tính chất đường trung 
tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, ta có:
EF 2MN; FG 2CP;GH 2NP; HE 2AM.
Do đó chu vi của hình tứ giác EFGH là:
EF FG GH HE 2 AM MN NP PC .
Xét các điểm A, M , N,P,C , ta có: AM MN NP PC AC (không đổi).
AC 2 AB2 BC 2 152 82 289 AC 17.
Vậy chu vi của tứ giác EFGH 2.17 34 (dấu " " xảy ra M , N, P nằm trên AC theo thứ tự đó 
 EF // AC // HG và HE // BD // FG ).
Do đó giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác EFGH là 34.
5.11. (h.5.20)
Gọi M là trung điểm của BC .
Vẽ AH  Oy, MD  Oy và CE  Oy.
Xét AOH vuông tại H , có Oµ 30 nên 
 1
AH OA 1cm.
 2
 MDB AHB MD AH 1cm. Chia hình chữ nhật có kích thước 3 6 thành 7 phần như hình 5.24. Có 
8 điểm nằm trong 7 phần nên tồn tại hai điểm chẳng hạn A và B thuộc 
cùng một phần. 
Dễ thấy AB 12 22 5 2,3