Chuyên đề 5 - Chương V, Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ (Phần 1) - Toán 10 Chân trời sáng tạo

 CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO
 V VECTƠ
 CHƯƠNG
 BÀI 4. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
 I LÝ THUYẾT.
 =
1. Góc= giữa hai vectơ
   
 = Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA a và OB b. Góc 
 I ·AOB với số đo từ 00 đến 1800 được gọi là góc giữa hai vectơ a và b. Ta kí hiệu góc giữa hai 
 vectơ a và b là a,b . Nếu a,b 900 thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu là 
 a  b hoặc b  a.
 r A
 b r
 r r a 
 a B b 
 O
 Chú ý. Từ định nghĩa ta có a,b b,a .
2. Tích vô hướng của hai vecto: Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Tích vô hướng của a và b là 
 một số, kí hiệu là a.b, được xác định bởi công thức sau:
 a.b a . b cos a,b 
 Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng vectơ 0 ta quy ước a.b 0 
 Chú ý
 Với a và b khác vectơ 0 ta có a.b 0 a  b. 
  
 Khi a b tích vô hướng a.a được kí hiệu là a2 và số này được gọi là bình phương vô hướng 
 của vectơ a. 
 2 2
 Ta có: a a . a .cos00 a
3. Tính chất của tích vô hướng
 Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng:
 Với ba vectơ a, b, c bất kì và mọi số k 
 ta có:
 a.b b.a (tính chất giao hoán);
 a b c a.b a.c (tính chất phân 
 Page 1 CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO
         
 A. AB, BC 130o . B. BC, AC 40o . C. AB, CB 50o . D. AC, CB 40o .
 Lời giải
 Chọn D
 (Bạn đọc tự vẽ hình)
   
 Vì AC, CB 1800 ·ACB 1800 400 1400.
Câu 2: Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều MNP . Góc nào sau đây bằng 120o ?
         
 A. MN, NP . B. MO,ON . C. MN,OP . D. MN, MP .
 Lời giải
 Chọn A
 P
 F
 O
 E N M
       
 • Vẽ NE MN . Khi đó MN, NP NE, NP 
 P· NE 180o M· NP 180o 60o 120o .
       
 • Vẽ OF MO . Khi đó MO,ON OF,ON N· OF 60o
   
 • Vì MN  OP MN,OP 90o .
   
 • Ta có MN, MP N· MP 60o .
       
Câu 3: Cho tam giác đều ABC. Tính P cos AB, BC cos BC,CA cos CA, AB .
 3 3 3 3 3 3
 A. P . B. P . C. P . D. P .
 2 2 2 2
 Lời giải
 Chọn C
 C
 A B E
       
 Vẽ BE AB . Khi đó AB, BC BE, BC C· BE 180o C· BA 120o
 Page 3 CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO
   
  AC,CB 180o ·ACB 120o
   1
 Vậy cos AC,CB cos120o 
 2
       
Câu 6: Cho tam giác ABC . Tính tổng AB, BC BC,CA CA, AB .
 A. 180o . B. 360o . C. 270o . D. 120o .
 Lời giải
 Chọn B
   
 AB, BC 180o ·ABC
   
 o
 Ta có BC,CA 180 B· CA
   
 CA, AB 180o C· AB
       
  AB, BC BC,CA CA, AB 540o ·ABC B· CA C· AB 540o 180o 360o
     
Câu 7: Cho tam giác ABC với Aˆ 60o . Tính tổng AB, BC BC,CA .
 A. 120o B. 360o C. 270o D. 240o
 Lời giải
 Chọn D
   
 o ·
 AB, BC 180 ABC
 Ta có   
 BC,CA 180o B· CA
     
  AB, BC BC,CA 360o ·ABC B· CA 
 360o 180o B· AC 360o 180o 60o 240o
   
Câu 8: Cho hình vuông ABCD . Tính cos AC, BA .
   2   2
 A. cos AC, BA . B. cos AC, BA .
 2 2
     
 C. cos AC, BA 0 . D. cos AC, BA 1.
 Lời giải
 Chọn B
 C D
 B A E
 Page 5 CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO
   
 HA, HB B· HA
   
 Ta có HB, HC B· HC
   
 HC, HA C· HA
       
  HA, HB HB, HC HC, HA B· HA B· HC C· HA
 2B· HC 2 180o 100o 160o .
 (do tứ giác HIAF nội tiếp)
 DẠNG 2: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ.
 1 PHƯƠNG PHÁP.
 =
 = Dựa vào định nghĩa a.b a . b cos a;b 
 =I
 Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của hai vectơ
 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN.
 =
Câu= 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB a, BC 2a và G là trọng tâm.
     
 =I a) Tính các tích vô hướng: BA.BC ; BC.CA
       
 b) Tính giá trị của biểu thức AB.BC BC.CA CA.AB 
       
 c) Tính giá trị của biểu thức GA.GB GB.GC GC.GA
 Lời giải
 a) * Theo định nghĩa tích vô hướng ta có
         
 BA.BC BA . BC cos BA, BC 2a2cos BA, BC .
 Page 7 CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO
    
 a) Theo quy tắc hình bình hành ta có AB AD AC 
         
 Do đó (AB AD)(BD BC) AC.BD AC.BC 
     
 CA.CB CA . CB cos·ACB
     
 ( AC.BD 0 vì AC  BD )
 Mặt khác ·ACB 450 và theo định lý Pitago ta có : 
 AC a2 a2 a 2 
     
 Suy ra (AB AD)(BD BC) a.a 2 cos 450 a2
     
 b) Vì G là trọng tâm tam giác ADM nên CG CD CA CM
    
 Mặt khác theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có CA AB AD và 
  1   1    1   
 CM CB CA CB AB AD AB 2AD
 2 2 2 
     1   5   
 Suy ra CG AB AB AD AB 2AD AB 2AD 
 2 2 
       1   
 Ta lại có CA DM AB AD AM AD AB 2AD 
 2 
        2
 5 1 5 2 2 21a
 Nên CG. CA DM AB 2AD AB 2AD AB 4AD .
 2 2 4 4
Câu 3. Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c . M là trung điểm của BC , D là chân đường 
 phân giác trong góc A .
   
 a) Tính AB.AC , rồi suy ra cos A.
  2  2
 b) Tính AM và AD
 Lời giải
 Page 9