Chuyên đề 5 - Chương V, Bài 3: Tích của một số với một vectơ - Toán 10 Chân trời sáng tạo

 CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO
 V VECTƠ
 CHƯƠNG
 BÀI 3: TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
 I LÝ THUYẾT.
 =
1. ĐỊNH NGHĨA: 
 = + Cho số k 0 và một vectơ a 0. Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu ka , cùng 
 = hướng với a nếu k 0 , ngược hướng với a nếu k 0 và có độ dài bằng k a .
 I 
 + Quy ước: 0.a 0 ; k.0 0 .
 + Với hai vectơ a, b bất kỳ, với mọi số thực h và k, ta có:
 1) k a b ka kb ; 2) h k a ha ka ;
 3) h ka hk a ; 4) 1a a , 1 a a .
    
 + Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có M A M B 2M I .
     
 + Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có M A M B M C 3M G .
2. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG:
 Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b ( b 0 ) cùng phương là có một số thực k để a kb .
 Nhận xét: Ba điểm phân biệt A , B , C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để 
   
 A B k A C .
Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:
 Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Khi 
 đó mọi vectơ x đều phân tích được một cách 
 duy nhất theo hai vectơ a và b , nghĩa là có duy 
 nhất cặp số h, k sao cho x ha kb .
 II VÍ DỤ MINH HỌA.
 =
 1
Câu= 1. Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM AB . Tìm k trong các 
 =I 5
 đẳng thức sau:
       
 a) AM k AB b) M A k M B c) M A k A B
 Lời giải
 A M B
 Page 1 CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO
  
Câu 4. Cho tam giác ABC . Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB 2MC . Hãy phân tích vectơ AM 
  
  
 theo hai vectơ u AB , v AC.
 Lời giải
  2  
 Từ giả thiết MB 2MC ta dễ dàng chứng minh được BM BC .
 3
     2     
 Do đó AM AB BM AB BC mà B C A C A B 
 3
   2   1 2 
 AM AB AC AB u v .
 3 3 3
Câu 5. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm AM và K là điểm thuộc AC sao 
 1
 cho AK AC . Chứng minh ba điểm B , I, K thẳng hàng.
 3
 Lời giải
    
 Ta có I là trung điểm của AM 2BI BA BM .
  1  
 Mặt khác M là trung điểm của BC nên BM BC .
 2
   1     
 Do đó 2BI BA BC 4BI 2BA BC 1 .
 2
     1   1   2  1  
 BK BA AK BA AC BA BC BA BA BC .
 3 3 3 3
    
 3BK 2BA BC 2 .
    4  
 Từ 1 và 2 3BK 4BI BK BI .
 3
 Page 3 CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO
 Vì G là trọng tâm của tam giác OCD nên ta có:
  1    
 GG GO GC GD 1 .
 3 
 Vì G là trọng tâm của tam giác OAB nên ta có:
       
 GO GA GB 0 GO GA GB 2 .
  1     1   
 Từ 1 và 2 GG GC GA GD GB AC BD
 3 3 
    
 AC BD 3GG 
Câu 9. Cho tam giác ABC với H , O , G lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm của 
   
 tam giác. Chứng minh OH 3OG .
 Lời giải
 Gọi D là điểm đối xứng của A qua O , ta có 
 BH // DC (cùng vuông góc với AC ) 1 .
 CH // BD (cùng vuông góc với AB ) 2 .
 Từ 1 và 2 suy ra tứ giác BHCD là hình bình hành ba điểm H , M , D thẳng hàng.
   
 AH 2OM .
 Page 5 CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO
     
 b) Ta có: KA 2KB 0 KA 2KB
 1  2  1   2    1  2   1  2   
 OA OB OK KA OK KB OK KA KB OK 2KB KB OK
 3 3 3 3 3 3 3 3
4.14. Cho tam giác ABC .
    
 a) Hãy xác định điểm M để MA MB 2MC 0 .
     
 b) Chứng minh rằng với mọi điểm O , ta có OA OB 2OC 4OM .
 Lời giải
 a) 
    
 MA MB 2MC 0
      
 MA MA AB 2MA 2AC 0
    
 4MA AB 2AC 
  1   
 AM AB 2AC
 4 
           
 b) OA OB 2OC OM MA OM MB 2OM 2MC 4OM
    
4.15. Chất điểm A chịu tác động của ba lực F , F , F như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là 
    1 2  3   
 F1 F2 F3 0 ). Tính độ lớn của các lực F2 , F3 , biết F1 có độ lớn là 20 N.
 Hình 4.30
 Lời giải
    
 F1 F2 F4
        
 F1 F2 F3 0 F4 F3 F3 F4
 Page 7 CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO
 1 BÀI TẬP TỰ LUẬN.
 ==
   
Câu=I 1: Cho hai điểm phân biệt A, B . Xác định điểm M biết 2MA 3MB 0
 Lời giải
 Ta có:
          
 2MA 3MB 0 2MA 3(MA AB) 0 MA 3AB 0 AM 3AB
   
 AM , AB cùng hướng và AM 3AB .
Câu 2: Cho tam giác ABC .
    
 a) Tìm điểm K sao cho KA 2KB CB
    
 b) Tìm điểm M sao cho MA MB 2MC 0
 Lời giải
           
 a) Ta có: KA 2KB CB KA 2KB KB KC KA KB KC 0
 K là trọng tâm của tam giác ABC .
 b) Gọi I là trung điểm của AB . Ta có: 
        
 MA MB 2MC 0 2MI 2MC 0 MI MC 0
 M là trung điểm của IC .
Câu 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a . Tính
    
 a) AB AC BC
   
 b) AB AC
 Lời giải
           
 a) AB AC BC (AB BC) AC AC AC 2AC 2 AC 2AC 2a .
 Page 9 CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – VECTO
 A. Hình 3 B. Hình 4 C. Hình 1 D. Hình 2
 Lời giải
 Chọn A
       
 MN 3MP MN ngược hướng với MP và MN 3 MP .
   
Câu 3: Cho ba điểm phân biệt A, B,C . Nếu AB 3AC thì đẳng thức nào dưới đây đúng?
         
 A. BC 4AC B. BC 2AC C. BC 2AC D. BC 4AC
 Lời giải
 Chọn D
Câu 4: Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của BC .Khẳng định nào sau đây đúng
 uur uur uur uur uur uuur uuur uur
 A. BI = IC B. 3BI = 2IC C. BI = 2IC D. 2BI = IC
 Lời giải
 Chọn A
 uur uur uur uur
 Vì I là trung điểm của BC nên BI = CI và BI cùng hướng với IC do đó hai vectơ BI , IC 
 uur uur
 bằng nhau hay BI = IC .
Câu 5: Cho tam giác ABC . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC . Trong các mệnh đề 
 sau, tìm mệnh đề sai?
        1  
 A. AB 2AM B. AC 2CN C. BC 2NM D. CN AC
 2
 Lời giải
 Chọn B
   
Câu 6: Cho a 0 và điểm O . Gọi M , N lần lượt là hai điểm thỏa mãn OM 3a và ON 4a . Khi 
 đó:
     
 A. MN 7a B. MN 5a C. MN 7a D. MN 5a
 Lời giải
 Chọn C
 Page 11