Chuyên đề 4: Hình bình hành - Bồi dưỡng HSG Toán hình 8

 Chuyên đề 4
 HÌNH BÌNH HÀNH
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa
 Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song (h.4.1).
 Hình 4.1 Hình 4.2
2. Tính chất
 Trong hình bình hành (h.4.2):
• Các cạnh đối bằng nhau;
• Các góc đối bằng nhau;
• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
3. Dấu hiệu nhận biết
• Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành;
• Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành;
• Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành;
• Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành;
• Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho hình bình hành ACBD. Trên tia đối của tia AD lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm 
N sao cho AM CN . Chứng minh rằng ba đường thẳng MN, AC, BD gặp nhau tại một điểm.
 Giải (h.4.3) 
* Tìm cách giải
AC và BD là hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên chúng 
cắt nhau tại trung điểm O của AC. Ta còn phải chứng minh MN đi 
qua O. Muốn vậy chỉ cần chứng minh AMCN là hình bình hành để 
suy ra đường chéo MN đi qua trung điểm O của AC. 
* Trình bày lời giải AK PCE và AK CE .
 1
Ta có: DE PBC và DE BC DK PBF và DK BF.
 2
Vậy tứ giác DKFB là hình bình hành KF PBD và KF BD.
Mặt khác, BD  CE nên AK  KF.
Do đó KAF vuông tại A AK 2 KF 2 AF 2 CE 2 BD2 AF 2 .
C. Bài tập vận dụng
• Tính chất hình bình hành
4.1. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác này các tam giác ABD và tam giác ACE 
vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng hai đường thẳng MA và BC vuông góc 
với nhau.
4.2. Cho hình bình hành ABCD. Vẽ ra ngoài hình bình hành các tam giác ABM vuông cân tại A, tam giác 
BCN vuông cân tại C. Chứng minh rằng tam giác DMN vuông cân.
4.3. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Chứng minh rằng chu vi của tam giác ABC lớn hơn 
3
 HA HB HC .
2
4.4. Cho hình thang cân ABCD AB PCD và một điểm O ở trong hình này. Chứng minh rằng có một tứ 
giác mà bốn cạnh lần lượt bằng OA, OB, OC, OD và bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của hình thang cân.
4.5. Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không cắt các cạnh của hình bình hành. Qua các đỉnh 
A, B, C, D vẽ các đường thẳng vuông góc với xy, cắt xy lần lượt tại A , B ,C , D . Chứng minh rằng 
AA CC BB DD .
4.6. Cho hình bình hành ABCD AD AB . Vẽ ra ngoài hình bình hành tam giác ABM cân tại B và tam 
giác ADN cân tại D sao cho ¼ABM ¼ADN.
a) Chứng minh rằng CM CN;
b) Trên AC lấy một điểm O. Hãy so sánh OM với ON.
4.7. Cho tam giác ABC cân tại A, AB BC . Trên tia AB có điểm D, trên tia CA có điểm E sao cho 
AD DE EC CB . Tính các góc của tam giác ABC.
• Nhận biết hình bình hành
4.8. Chứng minh rằng trong một tứ giác, đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo và các đoạn thẳng nối 
trung điểm của hai cặp cạnh đối diện gặp nhau tại một điểm (định lí Giéc-Gôn, nhà Toán học Pháp).
4.9. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung 
điểm của NA, NB, MC, MD. Chứng minh rằng ba đường thẳng MN, EF, GH đồng quy.
4.10. Cho đoạn thẳng PQ và một điểm A ở ngoài đường thẳng PQ. Vẽ hình hình hành ABCD có đường 
chéo BD PPQ và BD PQ . Chứng minh rằng mỗi đường thẳng BC và CD luôn đi qua một điểm cố 
định. Hay M¼DN 90 (2)
Từ (1) và (2) suy ra DMN vuông cân tại D
4.3. (H.4.8)
Vẽ HM P AC M AB , HN P AB N AC .
Vì CH  AB nên CH  HN . Vì BH  AC nên BH  HM.
Xét HBM vuông tại H có BM HB. (1)
Xét HCN vuông tại H có CN HC . (2) 
Xét hình bình hành ANHM có
AM AN AM MH HA. . (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
BM CN AM AN HB HC HA
do đó MB AM CN AN HA HB HC
hay AB AC HA HB HC.
Chứng minh tương tự, ta được: BC BA HA HB HC
 CA CB HA HB HC.
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được:
2 AB BC CA 3 HA HB HC 
 3
Do đó AB BC CA HA HB HC .
 2
4.4. (h.4.9)
Qua O dựng một đường thẳng song song với BC cắt AB và CD lần lượt tại E và G. Qua O dựng một 
đường thẳng song song với CD cắt AD tại H.
Qua E dựng một đường thẳng song song với OC cắt BC tại F. 
Khi đó tứ giác EFGH thỏa mãn đề bài.
Thật vậy, các tứ giác AEOH, HOGD là những hình thang cân.
 OA EH;OD HG. (1)
Tứ giác EFCO là hình bình hành OC EF (2)
và OE CF . Suy ra OG BF
Vậy tứ giác OBFG là hình bình hành OB GF. (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra tứ giác EFGH thỏa mãn đề bài. 
4.5. (h.4.10)
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vẽ 
OO  xy. 
Ta có: AA PBB PCC PDD POO . Do đó: n 60 n 60 n 180 3n 60 n 20.
Từ * m 100. Suy ra ¼ABC ¼ACB 40.
4.8. (h.4.13)
Gọi M, N, P, Q, E. F lần lượt là trung điểm của AB, BC, 
CD, DA, AC và BD. Ta phải chứng minh MP, NQ và EF 
cùng đi qua một điểm.
Xét ABC có MN là đường trung bình 
 AC
 MN P AC và MN .
 2
Chứng minh tương tự, ta có:
 AC
PQ P AC và PQ .
 2
Suy ra MN PPQ và MN PQ . Do đó tứ giác MNPQ là 
hình bình hành.
Chứng minh tương tự, ta được tứ giác MEPF là hình bình hành.
Hai hình bình hành MNPQ và MEPF có chung đường chéo MP nên các đường chéo MP, NQ và EF đồng 
quy tại trung điểm của mỗi đường.
4.9. (h.4.14)
Bạn chứng minh tứ giác MGNH và MFNE là hình bình 
hành.Hai hình bình hành này có chung đường chéo MN 
nên các đường chéo MN, EF và GH đồng quy. 
4.10. (h.4.15)
Qua A vẽ đường thẳng xy PPQ. 
Trên tia Ax lấy điểm M, trên tia Ay lấy điểm N sao cho 
AM AN PQ.
Như vậy các điểm M và N cố định. 4.13. (h.4.18)
a) Phân tích
Giả sử đã dựng được hình bình hành thỏa mãn đề bài.
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo và K là giao điểm 
của MN và AC.
Xét CBD có MN là đường trung bình, MN PBD.
Xét COB có MB MC và MK POB nên CK KO.
 1
Vậy MK là đường trung bình nên MK OB.
 2
 1
Chứng minh tương tự, ta được KN OD.
 2
Mặt khác, OB OD nên KM KN.
Vậy điểm K là trung điểm của MN xác định được.
 1 1 1 1
Dễ thấy OK KC OC OA KC AC suy ra KC KA.
 2 2 4 3
 1
Điểm C nằm trên tia đối của tia KA và cách K một khoảng AK.
 3
Điểm C xác định được thì các điểm B và D cũng xác định được.
b) Cách dựng
- Dựng đoạn thẳng MN.
- Dựng trung điểm K của MN.
- Dựng tia AK.
 1
- Trên tia đối của tia KA dựng điểm C sao cho KC KA.
 3
- Dựng điểm B sao cho M là trung điểm của CB.
- Dựng điểm D sao cho N là trung điểm của CD.
- Dựng các đoạn thẳng AB, AD ta được hình bình hành phải dựng.
Bạn đọc giải tiếp các bước còn lại.
4.14. (h.4.19)
Giả sử đã xác định được vị trí của C và D d để tổng AC CD DB nhỏ nhất. Vẽ hình bình hành 
CDBB (chú ý CD và BB ngược chiều nhau). 
Khi đó BB CD a (không đổi); DB CB .
Điểm B cố định.
Ta có tổng AC CD DB nhỏ nhất AC DB nhỏ nhất 
(vì CD a không đổi).