Chuyên đề 4: Hằng đẳng thức mở rộng - Bồi dưỡng HSG Đại số 8

 Chương I. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
Chuyên đề 4. HẰNG ĐẲNG THỨC MỞ RỘNG
A. Kiến thức cần nhớ
1. Bình phương của một đa thức
 2 2 2 2
 a1 a2 ... an a1 a2 ... a2 2a1a2 2a1a3 ... 2a1an
 2a2 a3 2a2 a4 ... 2a2 an ... ... 2an 1an
Đặc biệt ta có :
 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc
 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc
 a b c d 2 a2 b2 c2 d 2 2ab 2ac 2ad 2bc 2bd 2cd
2. Bảng khai triển hệ số: a b n
Với n 0 : 1
Với n 1: 1 1
Với n 2 : 1 2 1
Với n 3 : 1 3 3 1
Với n 4 : 1 4 6 4 1
Với n 5 : 1 5 10 10 5 1
........................................................................................................................
Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1
Mỗi số ở một dòng kể từ dòng thứ hai đều bằng số liền trên cộng với số bên trái của số liền trên.
Bảng trên đây được gọi là tam giác Pa-xcan, cho ta biết hệ số khi khai triển a b n . Chẳng hạn cho n các 
giá trị từ 0 đến 5 ta được:
 a b 0 1
 a b 1 a b
 a b 2 a2 2ab b2
 a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3
 a b 4 a3 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
 a b 5 a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 b5
Chú ý: Khi khai triển a b n ta vẫn làm như trên và các số hạng chứa b với lũy thừa lẻ thì mang dấu trừ 
đằng trước
3. Khai triển nhị thức an bn và an bn (n lẻ) Giải
Khai triển ta có:
 x y z t 2 x2 y2 z2 t 2 2xy 2xz 2xt 2yz 2yt 2zt
 x y z t 2 x2 y2 z2 t 2 2xy 2xz 2xt 2yz 2yt 2zt
 x z y t 2 x2 z2 y2 t 2 2xy 2xz 2xt 2yz 2yt 2zt
 x t y z 2 x2 y2 z2 t 2 2xy 2xz 2xt 2yz 2yt 2zt
Cộng từng vế lại ta được:
 x y z t 2 x y z t 2 x z y t 2 x t y z 2 4 x2 y2 z2 t 2 
Nhận xét. Ngoài ra, ta có thể vận dụng đẳng thức a b 2 a b 2 2 a2 b2 để giải. Thật vậy:
 x y z t 2 x y z t 2 2 x y 2 z t 2 
 x y z t 2 x y z t 2 2 x y 2 z t 2 
Suy ra A x y z t 2 x y z t 2 x z y t 2 x t y z 2
 2 x y 2 x y 2 z t 2 z t 2 
 2 2 2 2 2 2 2
 2 2 x y 2 z t 4 x y z t 
Ví dụ 3: Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c 0 . Chứng minh rằng:
 2 a5 b5 c5 5abc a2 b2 c2 
 Giải
Tìm cách giải. Nhận thấy a5 a3 .a2 , nên để xuất hiện vế phải chúng ta cần thay thế 3abc a3 b3 c3 
vào vế phải, sau đó khai triển. Khi khai triển xong, chúng ta cần biến đổi phần còn lại không phải là 
a5 b5 c5 trở thành một phần của kết luận là xong.
Trình bày lời giải
Vì a b c 0 a3 b3 c3 3abc
Xét : 3abc a2 b2 c2 a3 b3 c3 a2 b2 c2 
 a5 b5 c5 a3 b2 c2 b3 c2 a2 c3 a2 b2 1 
Xét b c a b2 c2 2bc a2 b2 c2 a2 2bc
Tương tự c2 a2 b2 2ac;a2 b2 c2 2ab
Thay vào (1) suy ra : 
3abc a2 b2 c2 a5 b5 c5 a3 a2 2bc b3 b2 2ac c3 c2 2ab 
 2 a5 b5 c5 2abc a2 b2 c2 Từ giả thiết, ta suy ra : x y z 3 24 x3 y3 z3
Theo hằng đẳng thức, ta có : x y z 3 x3 y3 z3 3 x y y z z x .
Suy ra 3 x y y z z x 24
 2a 4b 2b 4c 2c 4a 8
 a 2b b 2c c 2a 1
Điều phải chứng minh
C. Bài tập vận dụng
4.1. Rút gọn a b c 2 a b c 2 a b c 2 b c a 2
 Hướng dẫn giải – đáp số
Khai triển ta có :
 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca
 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca
 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac
 b c a 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca .
Cộng từng vế ta được :
 a b c 2 a b c 2 a b c 2 b c a 2 4 a2 b2 c2 
Nhận xét : Ta có thể vận dụng đẳng thức x y 2 x y 2 2 x2 y2 để giải, thật vậy:
 a c b 2 a c b 2 2 a c 2 b2 ;
 b a c 2 b a c 2 2 b2 a c 2 .
Suy ra : a b c 2 a b c 2 a b c 2 b c a 2
 2 a c 2 a c 2 2b2 2 2 a2 c2 2b2 4 a2 b2 c2
4.2. Tìm hệ số x3 của đa thức sau khi khai triển :
a)A x 3 3 x 4 4 x 5 5
b)B x 2 3 x 3 4 x 4 5
 Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có:
a)A x3 9x2 27x 27 x4 16x3 96x2 256x 256 x5 25x4 250x3 1250x 3125x 3125
 x5 26x4 267x3 1355x2 3408x 3408 2 x y z
4.6. Cho a2 b2 c2 x2 y2 z2 ax by cz với abc 0 .Chứng minh rằng : 
 a b c
 Hướng dẫn giải – đáp số
Từ giả thiết ta có :
a2 x2 a2 y2 a2 z2 b2 x2 b2 y2 b2 z2 c2 z2 c2 y2 c2 z2
 a2 x2 b2 y2 c2 z2 2abxy 2acxz 2bcyz
 a2 y2 2abxy b2 x2 a2 z2 2acxz c2 x2 b2 z2 2bcyz c2 y2 0
 ay bx 2 az cx 2 bz cy 2 0
Đẳng thức chỉ xảy ra khi và chỉ khi
 x y
 a b
 ay bx 0 ay bx 
 x z x y z
 az cx 0 az cx 
 a c a b c
 bz cy 0 bz cy 
 z y
 c b
 x y z
4.7. Cho a b c 2;a2 b2 c2 4 và 
 a b c
Chứng minh rằng: xy yz zx 0
 Hướng dẫn giải – đáp số
Từ a b c 2 a b c 2 4 a2 b2 c2 2 ab bc ca 4
Mà a2 b2 c2 4 nên ab bc ca 0
 x y c
Đặt k x ak; y bk; z ck
 a b z
Xét xy yz zx abk 2 bck 2 cak 2 ab bc ca k 2 0
Điều phải chứng minh
4.8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : F x x4 2x3 3x2 2x 2
 Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có : F x x4 2x3 3x2 2x 2
 2 2
 2 2 1 3 9 25
 x x 1 1 x 1 1 
 2 4 16 16
 25 25
Suy ra F x . Vậy min F x tại x 0,5
 16 16
4.9. Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c 1 và a3 b3 c3 1. Tính giá trị của biểu thức 
A an bn cn với n là số tự nhiên lẻ
 Hướng dẫn giải – đáp số 5x5 5y5 5z5 5x3 y2 z2 5y3 x2 z2 5z3 x2 y2 (1)
Từ x y z 0 x y z x2 y2 2xy z2
 x2 y2 z2 2xy
Tương tự : y2 z2 x2 2yz; z2 x2 y2 2zx
Thay vào (1) ta có:
5 x3 y3 z3 x2 y2 z2 
 5x5 5y5 5z5 5x3 x2 2yz 5y3 y2 2zx 5z3 z2 2xy 
 10x5 10y5 10z5 10xyz x2 y2 z2 (2)
 x3 y3 x3
Mặt khác: x3 y3 z3 3xyz nên xyz , thay vào (2) ta có :
 3
 10 x3 y3 z3 x2 y2 z2 
5 x3 y3 z3 x2 y2 z2 10 x5 y5 z5 
 3
 15 x3 y3 z3 x2 y2 z2 30 x5 y5 z5 10 x3 y3 z3 x2 y2 z2 
 25 x3 y3 z3 x2 y2 z2 30 x5 y5 z5 
 5 x3 y3 z3 x2 y2 z2 6 x5 y5 z5 (điều phải chứng minh).
b) Ta có : x4 y4 z4 2 x2 y2 y2 z2 z2 x2 và x3 y3 z3 3xyz
 7 x3 y3 z3 x4 y4 z4 
Nên 7xyz x2 y2 y2 z2 z2 x2 . (3)
 3 2
Xét x3 y3 z3 x4 y4 z4 
 x7 y7 z7 x3 y4 z4 y3 x4 z4 z3 x4 y4 (4)
Từ x y z 0 x y z x2 y2 2xy z2 x2 y2 z2 2xy
 x4 y4 2x2 y2 z4 4x2 y2 4xyz2
Suy ra x4 y4 z4 2y2 z2 4x2 yz
Tương tự ta có : y4 z4 x4 2y2 z2 4x2 yz; z4 x4 y4 2z2 x2 4xy2 z
Thay vào (4) ta có:
 x3 y3 z3 x4 y4 z4 x7 y7 z7 x3 x4 2y2 z2 4x2 yz 
 y3 y4 2z2 x2 4xy2 z z3 z4 2x2 y2 4xyz2 
 2 x7 y7 z7 2x2 y2 z2 x y z 4xyz x4 y4 z4 
 4 x3 y3 z3 x4 y4 z4 
 2 x7 y7 z7 
 3