Chuyên đề 4 - Chương IV, Bài 2, 3: Định lý Sin-Cosin, giải tam giác và ứng dụng thực tế (Phần 1) - Toán 10 Chân trời sáng tạo

 CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
 HỆ THỨC LƯỢNG 
 IV TRONG TAM GIÁC
 CHƯƠNG
 BÀI 2. ĐỊNH LÝ COSIN VÀ ĐỊNH LÝ SIN 
 BÀI 3. GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ
 I LÝ THUYẾT.
 =
 Cho tam giác là diện tích tam giác. Giả sử lần lượt 
 = ABC, BC a, CA b, AB c, S ha ,hb ,hc
 là độ dài các đường cao đi qua ba đỉnh A, B,C; m ,m ,m lần lượt là các đường trung tuyến đi 
 = a b c
 qua ba đỉnh A, B,C. R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nột tiếp của tam giác 
 I ABC . Ta có kết quả sau đây: 
1. Định lí côsin trong tam giác
 a2 b2 c2 2bc.cos A, b2 c2 a2 2ca.cos B, c2 a2 b2 2ab.cosC.
 *Hệ quả của định lí côsin
 b2 c2 a2 a2 c2 b2 b2 a2 c2
 cos A , cos B ,cosC .
 2bc 2ac 2ab
 a b c
2. Định lí sin trong tam giác: 2R.
 sin A sin B sinC
 *Hệ quả của định lí sin
 a 2R.sin A
 b 2R.sin B
 c 2R.sin C
 a
 sin A 
 2R
 b
 sin B 
 2R
 c
 sin C 
 2R
3. Các công thức tính diện tích tam giác:
 1 1 1
 1) S ah bh ch .
 2 a 2 b 2 c
 1 1 1
 2) S bcsin A casin B absinC
 2 2 2
 Page 1 CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
 Gọi A, B là hai vị trí ngoài cùng mà ta quan sát khi nhìn 
 từ bãi biển
 Từ một điểm C trên bãi biển dùng giác kế ta xác định 
 được góc ·ACB .
 Lấy điểm D trên bãi biển sao cho A,C, D thẳng hàng và 
 có độ dài đoạn CD a mét. Ta xác định được ·ADB  .
 Từ đó áp dụng định lí sin cho hai tam giác BCD và ABC ta xác định được bề rộng AB của hòn 
 đảo.
Ví dụ 3. Để tránh núi, đường giao thông hiện tại
 phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19.
 Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi,
 người ta dự định làm đường hầm xuyên núi,
 nối thẳng từ A tới D . Hỏi độ dài đường mới
 sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ?
 Lời giải
 Dựng CE, BF vuông góc với AD .
 Xét tam giác CDE vuông tại E có Dµ Cµ 45
 DE CD.sin 45 6 2 km.
 Xét tam giác ABF vuông tại F có Bµ 15 
 AF AB.sin15 2 6 2 2 km.
 Mặt khác EF BC 6km
 AD DE EF FA 6 4 2 2 6 16,56km.
 Vậy độ dài đường mới sẽ giảm 9,44km so với đường cũ.
 II HỆ THỐNG BÀI TẬP.
 ==
 =I DẠNG 1: GIẢI TAM GIÁC 
 {Tìm một số yếu tố của tam giác khi cho biết các yếu tố khác.}
 1 PHƯƠNG PHÁP.
 =
 =
 =I Page 3 CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
 Lời giải
 A
 b
 c ha
 C
 B H a
 3
 Theo định lí hàm cos ta có a2 b2 c2 2bc cos A 49 25 2.7.5. 32 a 4 2 .
 5
 3 4
 Ta lại có: cos A sin A .
 5 5
 1 1 4
 Diện tích tam giác ABC là S bcsin A .7.5. 14 .
 ABC 2 2 5
 1 2S 28 7 2
 Vì S a.h nên h ABC 
 ABC 2 a a a 4 2 2
 7 2
 Vậy h .
 a 2
 3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
 =
 ·
Câu= 1: Cho ABC có BC a , BAC 120 . Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC là
 =I
 a 3 a a 3
 A. R . B. R . C. R . D. R a .
 2 2 3
 Lời giải
 Chọn D
 BC 1 a a 3
 Theo định lý sin trong tam giác ta có 2R R . .
 sin B· AC 2 sin120 3
 µ
Câu 2: Tam giác ABC có a 8, c 3, B 60. Độ dài cạnh b bằng bao nhiêu?
 A. 49 . B. 97 . C. 7 . D. 61 .
 Lời giải
 Chọn C
 b2 a2 c2 2ac cos B 82 32 2.8.3cos60 49 b 7 .
 µ
Câu 3: Cho ABC có a 4 , c 5 , B 150 . Tính diện tích tam giác ABC .
 A. S 10 . B. S 10 3 . C. S 5. D. S 5 3 .
 Lời giải
 Page 5 CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
 A. 17 . B. 2 5 . C. 4 . D. 8 .
 Lời giải
 Chọn B
 B
 4
 3
 A 6 M C
 AB2 BC 2 AC 2
 Ta có: BM 2 
 2 4
 2
 2 2 AC 2
 BC 2 BM AB
 4 
 2
 2 6 2
 2 3 4 20 BC 2 5 .
 4 
Câu 8: Tam giác ABC có AB 4 , AC 10 và đường trung tuyến AM 6 . Tính độ dài cạnh BC .
 A. 2 6 . B. 5 . C. 22 . D. 2 22 .
 Lời giải
 Chọn D
 A
 4 10
 6
 B M C
 AC 2 AB2 BC 2
 Ta có: AM 2 
 2 4
 2 2 2 2
 2 AC AB 2 10 4 2 
 BC 4 AM 4 6 88 BC 2 22 .
 2 2 
Câu 9: Tam giác ABC có µA 75, Bµ 45, AC 2 . Tính cạnh AB .
 2 6 6
 A. . B. 6 . C. . D. .
 2 2 3
 Lời giải
 Chọn B
 b c b.sin C AC.sin C 2.sin(180 75 45 )
 Ta có: AB c 6 .
 sin B sin C sin B sin B sin 45 
 Page 7 CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
 b c AB c sin C sin(180 105 45) 2
 Ta có: .
 sin B sin C AC b sin B sin 45 2
Câu 14: Tam giác ABC có AB 4 , AC 5, BC 6 . Tính cos(B C) .
 1 1
 A. . B. . C. –0,125. D. 0,75.
 8 4
 Lời giải.
 Chọn C
 Ta có c AB 4 , b AC 5 , a BC 6 .
 b 2 c 2 a 2 1
 Tính cos A .
 2.b.c 8
 1
 Để ý cos(B C) cos A 0,125 .
 8
Câu 15: Tam giác có ba cạnh lần lượt là 2,3, 4 . Góc bé nhất của tam giác có sin bằng bao nhiêu?
 15 7 1 14
 A. . B. . C. . D. .
 8 8 2 8
 Lời giải.
 Chọn A
 Góc bé nhất ứng với cạnh có số đo bé nhất.
 b2 c2 a2 7
 Giả sử a 2,b 3, c 4. Ta có cos A .
 2.b.c 8
 2
 7 15
 Do đó sin A 1 .
 8 8
Câu 16: Tam giác có ba cạnh lần lượt là 3 , 8 , 9 . Góc lớn nhất của tam giác có cosin bằng bao nhiêu?
 1 1 17 4
 A. . B. . C. . D. .
 6 6 4 25
 Lời giải
 Chọn B
 32 82 92 1
 Góc lớn nhất tương ứng với cạnh lớn nhất: cos .
 2.3.8 6
Câu 17: Hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Gọi E là trung điểm cạnh BC , F là trung điểm cạnh AE
 . Tìm độ dài đoạn thẳng DF .
 a 13 a 5 a 3 3a
 A. . B. . C. . D. .
 4 4 2 4
 Lời giải
 Chọn A
 Page 9