Chuyên đề 4: Chia hết của đa thức - Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 8

 CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC
 A. LÝ THUYẾT 
1. Định nghĩa:
 - Cho A và B là hai đa thức (B 0) , Khi đó tồn tại duy nhất một cặp hai đa thức P và R sao cho:
 A B.Q R , Trong đó: R 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B. Q là đa thức thương, R là dư.
 - Nếu R = 0 thì phép chia A cho B là phép chia hết.
2. Mở rộng:
 - Có thể dử dụng thêm các phương pháp:
 + Sử dụng hằng đẳng thức: a3 b3 : a b a2 ab b2 hoặc a2 b2 : a b a b 
 + Sử dụng thêm phương pháp phân tích thành nhân tử, nhẩm nghiệm.
 + Sử dụng các định lý: Bơzu. Lược đồ Horner. 
 B. LUYỆN TẬP
 Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ BOWZU TÌM SỐ DƯ
1. Định nghĩa: 
 - Định lý Bơ-zu: ” Dư của phép chia f(x) cho nhị thức bậc nhất x - a là 1 hằng số có giá trị là f(a)”.
2. Hệ quả: 
 - Nếu a là nghiệm của đa thức f x thì f x  x a .
Bài 1: Không thực hiện phép chia, hãy xét xem, f x 3x3 2x2 9x 2 có chia hết cho x-2 không, có 
chia hết cho x+2 không?
HD:
 Theo định lý Bơ- zu thì dư của f x 3x3 2x2 9x 2 khi chia cho nhị thức bậc nhất x - 2 
 có giá trị là: f 2 2.23 2.22 9.2 2 0 . Vậy f x  x 2 
 Tương tự:
 Số dư của f x 3x3 2x2 9x 2 khi chia cho x + 2 có giá trị là:
 f 2 2. 2 3 2. 2 2 9. 2 2 4
 Vậy f x  x 2 
Bài 2: Tìm số a để 2x3 3x2 x ax 2
HD:
 Theo định lý Bơ- zu thì dư của f x 2x3 3x2 x a khi chia cho nhị thức bậc nhất x+2, 
 có giá trị là: f 2 2. 8 3.4 2 a a 22
 Để f(x) chia hết cho x+2 thì a-22=0 hay a=22
Bài 3: Tìm hế số a để: 4x2 6x ax 3
HD:
 Theo định lý Bơzu thì dư của f x 4x2 6x a khi chia cho nhị thức bậc nhất x - 3, 
 có giá trị là: f 3 4.9 6.3 a a 18
 Để f(x) chia hết cho x - 3 thì a + 18 = 0 hay a = -18 Bài 13: Tìm hế số a để: x4 ax3 bx 1x2 1
HD :
 x4 ax3 bx 1x 1
 Để x4 ax3 bx 1x2 1 thì 
 4 3
 x ax bx 1x 1
 Áp dụng định Bơzu ta có: f x x4 ax3 bx 1 f 1 1 a b 1 0
 Và: f 1 1 a b 1 0 , Giải hệ ta được a tùy ý và b = - a
Bài 14: Tìm hế số a để: x3 ax bx2 2x 2
HD :
 Hạ phép chia ta có : x3 ax b x2 2x 2 x 2 a b x b 4
 Để phép chia là phép chia hết thì : a+b=0 và b-4=0=> b=4 và a=-4
Bài 15: Tìm hế số a để: x4 ax2 bx2 x 1
HD :
 Hạ phép chia ta có : x4 ax2 b x2 x 1 x2 x a a 1 x a b
 Để là phép chia hết thì a-1=0 và a-b=0=> a=b=1
Bài 16: Tìm hế số a để: ax3 bx2 5x 50x2 3x 10
HD :
 Hạ phép chia ta có :
 ax3 bx2 5x 50 x2 3x 10 ax 3a b a 3b 5 x 30a 10b 50 
 Để là phép chia hết thì a+3b+5=0 và 30a-10b+50=0
Bài 17: Tìm hế số a để: ax4 bx3 1 x 1 2
HD :
 Hạ phép chia ta có :
 4 3 2 2
 ax bx 1 x 2x 1 a.x 2a b x 3a 2b 8a 5b x 3a 2b 1 
 Để là phép chia hết thì : 8a + 5b = 0 và 3a + 2b - 1=0
Bài 18: Tìm hế số a để: x4 4 x2 ax b 
HD :
 Tách: x4 4 x2 2x 2 x2 2x 2 
 Vậy b = 2 và a = 2 hoặc a = -2
Bài 19: Tìm hế số m để: x4 3x3 6x2 7x mx2 2x 1
HD :
 Ta có: x4 3x3 6x2 7x m x2 2x 1 x2 x 3 m 3
 Để là phép chia hết thì m – 3 = 0 => m = 3
Bài 20: Tìm hế số a để: 10x2 7x a2x 3
HD :
 Hạ phép chia ta có: 10x2 7x a 2x 3 5x 4 a 12
 Để là phép chia hết thì a + 12 = 0 hay a = -12
Bài 21: Tìm hế số a để: 2x2 ax 4x 4
HD :
 Theo định lý Bơ- Zu ta có, Dư của f x 2x2 a.x 4 khi chia cho x + 4 là:
 f 4 2.16 4a 4 28 4a
 Để là phép chia hết thì 28 - 4a = 0 => a = 7
Bài 22: Tìm hế số a để: x3 ax2 5x 3x2 2x 3
HD :
 3 2 2
 Hạ phép chia ta có: x a.x 5x 3 x 2x 3 x a 2 2a 6 x 3a 3
 Để là phép chia hết thì -3a - 3 = 0 => a = -1 Bài 33: Tìm các số x nguyên để: 3n3 8n2 15n 63n 1
HD :
 Hạ phép chia ta có : 3n3 8n2 15n 6 3n 1 n2 3n 4 2
 Để 3n3 8n2 15n 63n 1 23n 1 3n 1 U 2 1; 2
Bài 34: Tìm các số x nguyên để: 4n3 2n2 6n 52n 1
HD :
 Hạ phép chia ta có : 4n3 2n2 6n 5 2n 1 2n2 3 2
 Để 4n3 2n2 6n 52n 1 22n 1 2n 1 U 2 1; 2
3. Bài tập chưa làm :
Bài 1: Tìm phần dư của phép chia f x x2012 x2011 1 cho đa thức :
a, x2 1
b, x2 x 1
HD:
Bài 2: Cho đa thức: P(x) x4 x3 6x2 40x m 1979
a, Tìm m sao cho P(x) chia hết cho x-2
b, Với m tìm được, hãy giải thích phương trình P(x)=0
HD:
Bài 3: Tìm số nguyên n sao cho: 3n3 10n2 5 chia hết cho 3n 1 
HD: 4a 2b c 32
 Cho x 1 2 a b c 2 . Khi đó ta có hệ : a b c 0
 a b c 4
Bài 7: Xác định a, b sao cho: P x ax4 bx3 1Q x x 1 2
HD :
 Đặt phép chia: P x a.x4 bx3 1 x 1 2 .A x 4a 3b x 1 3a 2b
 4a 3b 0
 Để P x Q x 
 1 3a 2b 0
Bài 8: Xác định a, b sao cho: 6x4 7x3 ax2 3x 2x2 x b
HD :
 Đặt phép chia 6x4 7x3 a.x2 3x 2 x2 x b A x a 5b 2 x 6b2 ab b 2 
 a 5b 2 0
 Để là phép chia hết thì 2
 6b ab b 2 0
Bài 10: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x + 4 dư là 9, còn f(x) chia cho x - 3 dư là 2, và 
f x : x2 x 12 có thương là x2 3 và còn dư
HD :
 f x x2 x 12 x2 3 ax b x 3 x 4 x2 3 ax b
 f x 4a b 9 4a b 9
 Cho x 4, x 3 . Khi đó ta có hệ : 
 f x 3a b 2 3a b 2
Bài 11: Xác định đa thức A x ax3 bx2 c , biết: A(x) chia hết cho x - 2 và A x : x2 x 2 
 dư là 3x + 2
HD :
 Ta có : x2 x 2 x 1 x 2 
 Khi đó ta có : A x a.x3 bx2 c x 2 B x 
 Và A x a.x3 bx2 c x 1 x 2 C x 3x 2
 Cho x 2 8a 4b c 0 , Cho x 1 a b c 5 , Cho x 2 8a 4b c 4
 8a 4b c 0
 Khi đó ta có hệ : 8a 4b c 4
 a b c 5
Bài 12: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x - 3 dư 2, f(x) chia cho x + 4 dư 9, và f x : x2 x 12 được 
 thương là x2 3 và còn dư
HD :
 Do f(x) chia cho x2 x 12 x 3 x 4 được thương là x2 3 còn dư nên ta có :
 f x x 4 x 3 x2 3 a.x b
 Cho x 4 f x 4a b 9
 Cho x 3 f x 3a b 2
 4a b 9
 Khi đó ta có hệ: 
 3a b 2 Bài 18: Tìm đa thức bậc hai biết: P(0) = 19, P(1) = 85, P(2) = 1985
HD :
 Đặt P x a.x x 1 bx c
 Cho x 0 P 0 19 c c 19
 Cho x 1 P 1 85 b c b 66
 Cho x 2 P 2 1985 2a 2b c a 917
 Vậy đa thức bậc hai cần tìm là: P x 917x x 1 66x 19
Bài 19: Cho đa thức: P x x4 ax2 1 và Q x x3 ax 1, xác định a để P(x) và Q(x) có nghiệm 
chung
HD :
 Giả sử nghiệm chung là c => P x xQ x x 1 P c cQ c c 1 
 vì x = c là nghiệm , Nên P c Q c 0 c 1 0 c 1, 
 Khi c = 1 => P(1) = Q(1) = a + 2 = 0 = > a = - 2 
 Vậy a = - 2 thì P(x) và Q(x) có nghiệm chung
1. Bài tập chưa làm:
Bài 1: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia x-2 dư 3, chia cho x-5 dư 6 và chia cho x2 7x 10 được thương là 
x2 4 và còn dư
Bài 2: Xác định các số hữ tỉ a, b sao cho x3 ax b chia hết cho x2 2x 3
Bài 3: Cho đa thức bậc hai : P x ax2 bx c biết P(x) thỏa mãn cả hai điều kiện sau : P(0)=-2, 4.P(x)-
P(2x-1)=6x-6. CMR :a+b+c=0 và xác định đa thức P(x)
Bài 4: Cho đa thức: f x ax2 bx c , Xác định a,b,c biết f(0)=2, f(1)=7,f(-2)=-14
Bài 5: Cho đa thức bậc nhất f(x)=ax+b, Hãy tìm điều kiện của b để thỏa mãn hệ thức: 
f x1 x2 f x1 f x2 với mọi x
Bài 6: Cho đa thức: f x ax2 bx c , Xác định các hệ số f 0 2 , f 1 7, f 2 14
Bài 7: Cho đa thức: f x x8 x5 x2 x 1, CMR f x luôn dương với mọi giá trị của x
Bài 8: Cho a và b là hai số tự nhiên. Số a chia 5 dư 1, số b chia 5 dư 2, CMR: ab chia 5 dư 2
Bài 9: Cho đa thức: f x x 3 2ax 2 4x 3b . Tìm các hệ số a, b biết khi chia đa thức cho x-3 ta được 
đa thức dư là -5 và khi chia đa thức cho x+1 thì được dư là -1
Bài 10: Xác định các hệ số của a, b để x4 a.x2 b chia hết cho x2 x 1 
Bài 11: Cho đa thức: A x4 2x3 2x m 1 và đa thức: B x2 2x 1 , Tìm m để đa thức A chia 
cho đa thức B có dư là giá trị của ẩn làm cho đa thức B bằng 0