Chuyên đề 3: Phân tích đa thức thành nhân tử - Bồi dưỡng HSG Đại số 8

 Chương I. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
Chuyên đề 3. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
A. Kiến thức cần nhớ
1. Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của các đa thức khác.
2. Các phương pháp thường dùng:
- Đặt nhân tử chung
- Dùng hằng đẳng thức
- Nhóm các hạng tử
- Phối hợp nhiều phương pháp. Có khi ta phải dùng những phương pháp đặt biệt khác (xem chuyên đề 6)
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a)12x3 y 6x2 y 3x2 y2 b)5x2 y x 7 5xy 7 x 
 Giải
Tìm cách giải. Quan sát đề bài, chúng ta thấy các đa thức trên đều có nhân tử chung
Bước 1. Chọn hệ số là ƯCLN của các hệ số.
Bước 2. Phần biến gồm tất cả các biến chung, mỗi biến lấy với số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng tử. 
Nếu trong đó có hai nhân tử đối nhau, chúng ta đổi dấu một trong hai nhân tử và dấu đứng trước nó.
Trình bày lời giải.
a)12x3 y 6x2 y 3x2 y2 3x2 y2 4x 2 y 
b)5x2 y x 7 5xy 7 x 5x2 y x 7 5xy x 7 5xy x 7 x 1 
Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)100x2 9y2 b)9 a b 2 4 a 2b 2
c)8x3 27y3 d)125 75x 9x2 x3
 Giải
Tìm cách giải. Nhận thấy trong ví dụ này mỗi đa thức đều có dạng hằng đẳng thức. Do vậy chúng ta vận 
dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử.
Trình bày lời giải
a)100x2 9y2 10x 3y 10x 3y 
b)9 a b 2 4 a 2b 2
 3 a b 2 a 2b 3 a b 2 a 2b a 7b 5a b 
c)8x3 27y3 2x 3y 4x2 6xy 9y2 
d)125 75x 15x2 x3 5 x 3
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: Trình bày lời giải
Ta có :
a2 b c b2 c a a2b a2c b2c b2 a 0
 ab a b c a2 b2 0
 a b ab bc ca 0
Vì a b nên:
 ab bc ca 0
 b c ab bc ca 0 b2 a b2c bc2 ac2
 b2 a b2c bc2 ac2 c2 a b b2 a c 
Vậy M 2012
C. Bài tập vận dụng
3.1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a)ab x 2 a2 x 2 b)4x3 y2 8x2 y3 12x3 y
 Hướng dẫn giải – đáp số
a)ab x 2 a2 x 2 a x 2 a b 
b)4x3 y2 8x2 y3 12x3 y 4x2 y xy 2y2 3x 
3.2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) xy 1 2 x y 2 b) a b c 2 a b c 2 4c2
 2
c) a2 9 36a2
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) xy 1 2 x y 2 xy 1 x y xy 1 x y 
 x y 1 1 y x y 1 y 1 
 x 1 y 1 x 1 y 1 
b) a b c 2 a b c 2c a b c 2c 
 a b c 2 a b c a b 3c 
 a b c a b c a b 3c 
 a b c 2a 2b 2c 2 a b c a b c 
 2
c) a2 9 36a2 a2 9 6a a2 9 6a a 3 2 a 3 2
3.3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a)3a 3b a2 2ab b2 b)a2 2ab b2 2a 2b 1 c)C 4xy x2 y2 6 x2 y2 x y 9 x2 y2 
 x2 y2 4xy 6x 6y 9 
 2 2
 x y 2x 2y 3 3 2y 3 
 x2 y2 2x 3 2y 3 
d)D 25 a2 2ab b2 25 a b 2
 5 a b 5 a b 
3.6. Phân tích đa thức thành nhân tử :
a)x3 3x2 y 4xy2 12y3 b)x3 4y2 2xy x2 8y3
c)3x2 a b c 36xy a b c 108y2 a b c 
d)a x2 1 x a2 1 
 Hướng dẫn giải – đáp số
a)x3 3x2 y 4xy2 12y3
 x2 x 3y 4y2 x 3y 
 x 2y x 2y x 3y 
b)x3 8y3 x2 2xy 4y2
 x 2y x2 2xy 4y2 x2 2xy 4y2 
 x 2y 1 x2 2xy 4y2 
c)3 a b c x2 12xy 36y2 
 3 a b c x 6y 2
d)ax2 a xa2 x
 ax x a x a 
 x a ax 1 
3.7. Phân tích đa thức thành nhân tử :
a)x3 1 5x2 5 3x 3 b)a5 a4 a3 a2 a 1
c)x3 3x2 3x 1y3 d)5x3 3x2 y 45xy2 27y3
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) x 1 x2 x 1 5 x 1 x 1 3 x 1 
 x 1 x2 x 1 5x 5 3 a3 3a2 5a 17 0
3.10. Cho các số a, b lần lượt thỏa mãn các hệ thức : 
 3 2
 b 3b 5b 11 0
Tính a b
 Hướng dẫn giải – đáp số
Cộng vế theo vế của hai hẳng đẳng thức ta được :
a3 3a2 5a 17 b3 3b2 5b 11 0
 a3 3a2 3a 1 b3 3b2 3b 1 2 a b 2 0
 a 1 3 b 1 3 2 a 1 b 1 0
 a b 2 a2 a 1 b2 b 1 2 0
 2 2
 2 2 1 1 1
Vì a a 1 b b 1 2 a b 3 0 a b 2
 2 2 2
3.11. Cho a, b, c thỏa mãn a b c abc . Chứng minh rằng:
a b2 1 c2 1 b a2 1 c2 1 c a2 1 b2 1 4abc
 Hướng dẫn giải – đáp số
Xét vế trái, ta có :
a b2 1 c2 1 b a2 1 c2 1 c a2 1 b2 1 
 a b2c2 b2 c2 1 b a2c2 a2 c2 1 c a2b2 a2 b2 1 
 ab2c2 ab2 ac2 a a2bc2 a2b bc2 b a2b2c a2c b2c a
 a b c a2b ab2 a2b2c ac2 a2c a2bc2 bc2 b2c ab2c2 
 abc ab a b abc ac c a abc bc c b abc 
 abc abc abc abc 4abc