Chuyên đề 3: Đường trung bình của tam giác, của hình thang - Bồi dưỡng HSG Toán hình 8

 Chương I
Chuyờn đề 3
ĐƯỜNG TRUNG BèNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HèNH THANG
A.Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa
 • Đường trung bỡnh của tam giỏc là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giỏc (h.3.1)
 • Đường trung bỡnh của hỡnh thang là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bờn của hỡnh thang 
 (h.32)
 Hỡnh 3.1 Hỡnh 3.2
2. Tớnh chất
 • Đường trung bỡnh của tam giỏc thỡ song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
 BC
 Trờn hỡnh 3.1 thỡ MN //BC và MN 
 2
 • Đường trung bỡnh của hỡnh thang thỡ song song với hai cạnh đỏy và bằng nửa tổng hai đỏy.
 AB CD
 Trờn hỡnh 3.2 thỡ MN //AB//CD và MN 
 2
3. Định lớ
 • Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giỏc và song song với cạnh thứ hai thỡ đi qua 
 trung điểm của cạnh thứ ba
 • Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bờn của hỡnh thang và song song với hai đỏy thỡ đi qua 
 trung điểm của cạnh bờn thứ hai
B. Một số vớ dụ
Vớ dụ 1. Cho tứ giỏc ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Gọi G là trọng tõm 
của tam giỏc BCD . Chứng minh rằng AG chia đụi MN .
 Giải (h.3.3)
* Tỡm cỏch giải
Kết luận của bài toỏn gợi ý cho ta dựng định lý đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giỏc và 
song song với cạnh thứ hai thỡ đi qua trung điểm của cạnh thứ ba. Gọi H là trung điểm của BG thỡ ta cú 
thể dựng định lý đường trung bỡnh để chứng minh.
* Trỡnh bày lời giải
Gọi O là giao điểm của AG và MN .
Gọi H là trung điểm của BG . Vẽ FH //BC H AC .
Xột AFH cú DE//FH và AD DF nờn AE EH .
Xột hỡnh thang DECB cú FH //BC và DF FB nờn EH HC .
Ta đặt DE x .
 1
Ta cú DE là đường trung bỡnh của AFH DE FH FH 2x .
 2
Ta cú FH là đường trung bỡnh của hỡnh thang DECB
 DE BC x 6
 FH 2x x 2( cm ) .
 2 2
Vậy DE 2cm .
Nhận xột: Phương phỏp vẽ hỡnh phụ trong vớ dụ này là ngoài việc vẽ trung điểm của một đoạn thẳng ta 
cũn thờm đường thẳng song song với một cạnh của tam giỏc.
Vớ dụ 4: Cho hỡnh thang ABCD , AB là đỏy nhỏ. Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BC,
BD và AC .
 a) Chứng minh rằng bốn điểm M, N , P, Q thẳng hàng;
 CD AB
 b) Chứng minh PQ//CD và PQ ;
 2
 c) Hỡnh thang ABCD phải cú điều kiện gỡ để MP PQ QN
 Giải (h.3.6)
* Tỡm cỏch giải
Trong hỡnh vẽ cú nhiều đường thẳng cựng đi qua một điểm và cựng song song với một đường thẳng nờn 
cú thể vận dụng tiờn đề Ơ-clit để chứng minh thẳng hàng.
* Trỡnh bày lời giải
a) Xột ABD cú MP là đường trung bỡnh MP//AB MP//CD .
Xột ADC cú MQ là đường trung bỡnh MQ//CD .
Xột hỡnh thang ABCD cú MN là đường trung bỡnh MN //CD .
Qua điểm M cú cỏc đường thẳng MP,MQ,MN cựng song song với CD nờn cỏc đường thẳng này trựng 
nhau, suy ra bốn điểm M ,N ,P,Q thẳng hàng.
 CD AB CD AB
b) Ta cú: MN //CD nờn PQ//CD;PQ MQ MP .
 2 2 2
 AB AB CD AB
c) Ta cú: MP NQ .MP PQ 
 2 2 2
 AB CD AB 2AB CD (đỏy lớn gấp đụi đỏy nhỏ).
Nhận xột: Đường trung bỡnh MN của hỡnh thang và đoạn thẳng PQ nối trung điểm hai đường chộo cú 
tớnh chất giống nhau là cựng song song với hai đỏy, cú tớnh chất khỏc nhau là MN bằng nửa tổng hai đỏy 
cũn PQ bằng nửa hiệu hai đỏy. 3.12. Cho hỡnh thang cõn ABCD AB CD . Vẽ AH  CD . Chứng minh rằng:
a) HD bằng đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chộo;
b) HC bằng đường trung bỡnh của hỡnh thang.
3.13. Cho tam giỏc ABC . Gọi M là trung điểm của AB . Trờn tia đối của tia BC lấy điểm O sao cho 
 1 1
BO BC . Đường thẳng OM cắt OC tại N . Chứng minh rằng: AN AC .
 2 4
3.14. Cho tam giỏc ABC , cạnh BC cố định. Vẽ ra ngoài tam giỏc này cỏc tam giỏc ABM vuụng cõn tại 
B , tam giỏc CAN vuụng cõn tại C . Chứng minh rằng khi A di động trờn một nửa mặt phẳng bờ BC thỡ 
đường thẳng MN luụn đi qua một điểm cố định.
3.15. Cho điểm M nằm giữa hai điểm A và B nhưng khụng là trung điểm của đoạn thẳng AB . Trờn 
cựng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ cỏc tam giỏc CAM và DBM cõn tại C và D sao cho Cà Dà . Gọi 
 1
H và F lần lượt là trung điểm của AD và BC . Chứng minh rằng: HF CD .
 2
3.16. Chứng minh rằng trong cỏc tam giỏc cú một gúc bằng nhau, xen giữa hai cạnh cú tổng bằng nhau thỡ 
tam giỏc cõn cú chu vi nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
3.1. (h.3.7)
Gọi O là giao điểm của AC và BD .
Ta cú: AC  BD và OA OC .
Xột ABD cú MN là đường trung bỡnh
 MN //BD và OA  MN (vỡ OA  BD ).
Xột ABC cú ON là đường trung bỡnh
 ON //BC và ON  ME (vỡ ME  BC ).
Xột ACD cú OM là đường trung bỡnh
 OM //CD và OM  NF (vỡ NF  CD ).
Xột OMN cú OA,ME,NF là ba đường cao nờn chỳng đồng quy.
3.2. (h.3.8)
Gọi O là trung điểm của BC .
Xột EBC cú OM là đường trung bỡnh
 CE
 OM //CE và OM .
 2
Xột DBC cú ON là đường trung bỡnh
 BD
 ON //BD và ON .
 2
 ả ã ả ã
Ta cú: M1 AQP,N1 APQ (so le trong). Vậy ABC cú Bà Cà 36; àA 108 .
3.6. (h.3.12)
 ABD và ACE cú:
 à ả
AB AC; A1 A2 (cựng phụ với gúc DAC );
AD AE .
Do đú ABD ACE c.g.c 
 à à
 BD CE và B1 C1 .
Gọi H và K lần lượt là giao điểm của đường thẳng BD với CE và CA .
 à ã à ã à
Ta cú: B1 BKA 90 C1 CKH 90 H 90.
 1
Xột CBD cú MN là đường trung bỡnh MN //BD và MN BD
 2
 1
Xột CED cú NP là đường trung bỡnh NP//CE và NP= CE .
 2
Vỡ BD CE nờn MN NP .
Ta cú: Mã NP Hà 90 (hai gúc cú cạnh tương ứng song song).
Do đú MNP vuụng cõn tại N Nà 90;Mả Pà 45 .
3.7. (h.3.13)
 ADC và BCD cú AD BC,AC BD, CD chung.
Do đú ADC BCD c.c.c 
 ãACD Bã DC COD cõn.
Mặt khỏc Cã OD 60 nờn COD đều.
Ta cú: OE ED nờn CE là đường trung tuyến 
của tam giỏc đều, do đú CE cũng là đường cao.
Vậy CE  BD .
 1
Xột EBC vuụng tại E cú EF là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nờn EF BC .
 2
 1
Chứng minh tương tự, ta cú: GF BC .
 2
 1
Xột AOD cú EG là đường trung bỡnh nờn EG AD
 2
 1
 EG BC (vỡ AD BC )
 2
 1 à à à
Vậy EF FG EG BC GEF đều G E F 60 .
 2 OA OB
 chứng minh được OM . 1 
 2
 • Trường hợp O khụng thẳng hàng với A và B (h.3.17).
 Gọi N là trung điểm của OB , khi đú MN là
 OA
 đường trung bỡnh của OAB, MN .
 2
 Xột OMN , ta cú: OM MN ON
 OA OB
 OM . 2 
 2
 OA OB
 Từ 1 và 2 suy ra: OM . * 
 2
 Áp dụng hệ thức * đối với n điểm O1 ,O2 ,,On ta cú:
 O A O B O A O B O A O B
 O M 1 1 ;O M 2 2 ;;O M n n .
 1 2 2 2 n 2
 Cộng từng vế cỏc bất đẳng thức trờn ta được:
 O A O B O A O B O A O B
 O M O M O M 1 1 2 2  n n
 1 2 n 2 2 2
 O A O A  O A O B O B  O B a a
 1 2 n 1 2 n a .
 2 2 2 2
 Như vậy điểm cần tỡm chớnh là trung điểm M của AB .
3.11. (h.3.18)
Vỡ AA ,BB ,CC là ba đường cao của
 ABC . Gọi M ,N ,P là trung điểm của cỏc 
đường cao đú. Gọi D,E,F thứ tự là trung
 điểm của BC,CA và AB .
Ta cú: EF ,FD,DE là cỏc đường trung bỡnh
 của ABC
 EF //BC,FD//CA,DE//AB.
Vỡ M là trung điểm của AA nờn M FE .
Vỡ N là trung điểm của BB nờn N FD . Vỡ P là trung điểm của CC nờn P DE .
Theo đề bài ra, ba điểm M ,N ,P thẳng hàng nờn cỏc điểm này chỉ cú thể nằm trờn một trong cỏc cạnh 
DE,DF hoặc EF của DEF .
 • Nếu ba điểm M ,N ,P cựng nằm trờn DE thỡ N trựng với D , M trựng với E , khi đú ABC 
 vuụng tại C , trỏi với giả thiết gúc C là gúc nhỏ nhất của ABC
 • Nếu ba điểm M ,N ,P cựng nằm trờn DF thỡ cũng lập luận như trờn, ABC vuụng tại B , trỏi với 
 giả thiết Bà àA. Dễ thấy OF là đường trung bỡnh của hỡnh thang MDEN
 MD NE BH CH BC
 OF (khụng đổi).
 2 2 2
Ta cú: FD FE;BD CE FB FC .
 BC
Vậy O nằm trờn đường trung trực của BC và cỏch BC một khoảng khụng đổi là . Do đú O là một 
 2
điểm cố định.
Suy ra MN đi qua một điểm cố định là điểm O .
3.15. (h.3.22)
* Tỡm hướng giải
 1
Điều phải chứng minh là HF CD gợi ý cho ta nghĩ đến định lớ đường trung bỡnh của tam giỏc. Ta vẽ 
 2
 1
đường trung bỡnh EG của MCD thỡ EG CD . Chỉ cũn phải chứng minh HF EG .
 2
* Trỡnh bày lời giải
Gọi E là trung điểm của CM ,G là trung điểm
của DM . Khi đú EG là đường trung bỡnh của 
 1
 MCD EG CD. 1 
 2
 CAM và DBM cõn tại C và D mà Cà Dà nờn
cỏc gúc ở đỏy của chỳng bằng nhau:
Cã AM Cã MA Dã MB Dã BM .
 CA//DM và CM //DB (vỡ cú cỏc cặp gúc đồng vị bằng nhau).
Xột CMB cú EF là đường trung bỡnh EF //MB .
Xột DAM cú HG là đường trung bỡnh HG//AM .
Suy ra: EF //HG (vỡ cựng song song với AB ). Vậy tứ giỏc EFGH là hỡnh thang.
Xột hỡnh thang ACDM cú EH là đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chộo nờn EH //AC .
Tương tự, xột hỡnh thang CDBM cú: FG//DB .
Do đú Eã HG Cã AM ,Fã GH Dã BM .
Mặt khỏc Cã AM Dã BM (chứng minh trờn) nờn Eã HG Fã GH .
Vậy hỡnh thang EFGH là hỡnh thang cõn HF EG. 2 
 1
Từ 1 và 2 suy ra: HF CD .
 2
3.16. (h.3.23)
Vẽ ABC cõn tại A .
Trờn cạnh AB lấy điểm M , trờn tia đối của tia CA lấy