Chuyên đề 3 - Chương III, Bài 2: Hàm số bậc hai (Phần 1) - Toán 10 Chân trời sáng tạo

 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ
 HÀM SỐ BẬC HAI
 III VÀ ĐỒ THỊ
 CHƯƠNG
 BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI
 I LÝ THUYẾT.
 =
1. ĐỊNH= NGHĨA
 = Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức: y ax2 bx c,
 I
 trong đó x là biến số, a,b,c là các hằng số và a 0 . 
 Tập xác định của hàm số bậc hai là ¡ .
 Chú ý :
 + Khi a 0 , b 0 , hàm số trở thành hàm số bậc nhất y bx c .
 + Khi a b 0 , hàm số trở thành hàm hằng y c .
2. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI
 a) Đồ thị hàm số y ax2 ,a 0 là một parabol có đỉnh là gốc tọa độ, có trục đối xứng là trục 
 tung (là đường thẳng x 0 ). Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a 0 , xuống dưới nếu 
 a 0 .
 b) Đồ thị hàm số y ax2 bx c,a 0 là một parabol có:
 b 
 + Đỉnh I ; .
 2a 4a 
 b
 + Trục đối xứng là đường thẳng x .
 2a
 + Bề lõm hướng lên trên nếu a 0 , hướng xuống dưới nếu a 0 .
 + Giao điểm với trục tung là M 0;c . 
 + Số giao điểm với trục hoành bằng số nghiệm của phương trình ax2 bx c 0 . 
 a 0 a 0
 Page 1 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ
 VÍ DỤ 2. Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc O (được chọn là điểm ném) trong mặt phẳng 
 3
 toạ độ Oxy là một parabol có phương trình y x2 x , trong đó x (mét) là khoảng cách 
 1000
 theo phương ngang trên mặt đất từ vị trí của vật đến gốc 0, y (mét) là độ cao của vật so với mặt 
 đất (H.6.15).
 a) Tìm độ cao cực đại của vật trong quá trình bay.
 b) Tính khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc O . Khoảng cách này gọi là 
 tầm xa của quỹ đạo.
 II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.
 =
VẤN= ĐỀ 1. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ y ax2 bx c ĐỒNG BIẾN TRÊN KHOẢNG (a;b)
 =I
 1 PHƯƠNG PHÁP.
 =
 = a 0
 + Trường hợp a 0 : Yêu cầu của bài toán .
 =I b 0
 Page 3 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ
 Kết luận: m 1.
Câu 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y mx2 (m2 1)x 3 đồng biến trên 1; . 
 Lời giải
 b m2 1
 Ta có a m , với m 0 .
 2a 2m
 + Trường hợp m 0 : Hàm số đã cho trở thành y x 3 , là hàm số nghịch biến trên ¡ nên 
 không thể đồng biến trên 1; . Tức m 0 không thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
 + Trường hợp m 0 : Ta có a m 0 nên hàm số có BBT như sau: 
 m2 + 1
 x - ¥ + ¥ 
 2m
 y
 - ¥ - ¥ 
 Dựa vào BBT thấy hàm số không thể đồng biến trên 1; . Tức m 0 bị loại.
 + Trường hợp m 0 : Ta có a m 0 nên hàm số có BBT như sau: 
 2
 m + 1 
 x - ¥ 2m + ¥ 
 + ¥ + ¥ 
 y
 m 0
 m 0
 Dựa vào BBT thấy yêu cầu của bài toán 2 m 1. 
 1 m 2
 1 1 m 2m
 2m
 Tóm lại: m 1.
Câu 5. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y mx2 2(m 1)x 2m 1 nghịch biến trên 1;2 .
 Lời giải
 b 1 m
 Ta có a m , với m 0 .
 2a m
 + Trường hợp m 0 : Hàm số đã cho trở thành y 2x 1, là hàm số nghịch biến trên ¡ nên 
 cũng nghịch biến trên 1;2 . Tức m 0 thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
 1 m 
 + Trường hợp m 0 : Ta có a m 0 nên hàm số nghịch biến trên ; 
 m 
 Page 5 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ
 2m 1 1
 Do đó: f (x) đồng biến trên 2;3 3 2m 1 6m m (Không thỏa mãn 
 2m 4
 m 0 ).
 1
 Từ các trường hợp trên, suy ra m .
 2
 1
 Vậy m .
 2
Câu 8. Cho hàm số: y f (x) ax2 bx c với a, b, c là các tham số, a 0 . Biết rằng f (x) đồng 
 6a2
 biến trên khoảng 2; , hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P .
 5a2 2ab b2
 Lời giải
 b 
 Do a 0 nên f (x) đồng biến trên ; 
 2a 
 b b
 Từ đây ta có: f x đồng biến trên 2; 2 4 .
 2a a
 6a2 6 6 b
 Ta có P 2 2 2 2 , với t 4 .
 5a 2ab b b b t 2t 5 a
 2 5
 a a 
 Có t 2 2t 5 t 1 2 4 29 , t 4 . Dấu bằng xảy ra khi t 4.
 6 b
 Do đó MaxP , đạt được khi 4 . 
 29 a
 Page 7 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ
 2 1
 2a 2 a 2
 Ta có : .
 4 8c 11 c 5
 8 2 
 Vậy P có phương trình là y 2x2 2x 5 .
Câu 3. Tìm parabol P : y ax2 bx c , biết rằng P đi qua ba điểm A 1; 1 , B 2;3 , C 1; 3 . 
 Lời giải
 a.12 b.1 c 1 a 1
 2 2
 Ta có: a.2 b.2 c 3 b 1 P : y x x 3 .
 2 c 3
 a. 1 b 1 c 3 
 Vậy P có phương trình là y x2 x 3 .
Câu 4. Xác định hàm số y ax2 bx c với a, b , c là các tham số, biết rằng hàm số ấy đạt giá trị lớn 
 nhất bằng 5 tại x 2 và có đồ thị đi qua điểm M 1; 1 . 
 Lời giải
 Tập xác định D ¡ . 
 Trên ¡ , do hàm số A 1 ; 1 đạt giá trị lớn nhất nên a 0 . 
 2
 b a 
 2 3
 2a 
 8
 Do đó theo giả thiết, ta có: 4a 2b c 5 b (nhận).
 3
 a b c 1 
 7
 c 
 3
 2 8 7
 Vậy hàm số cần tìm là y x2 x . 
 3 3 3
Câu 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để parabol P : y mx2 2mx 3m 2 m 0 cắt đường 
 thẳng y 3x 1 tại đỉnh của nó.
 Lời giải
 Đỉnh của P là I 1; 4m 2 .
 Theo giả thiết, I thuộc đường thẳng y 3x 1 nên 4m 2 3.1 1 m 1.
 Vậy m 1.
Câu 6. Tìm parabol P : y ax2 4x c biết rằng hoành độ đỉnh của P bằng 3 và P đi qua điểm 
 M 2;1 .
 Page 9 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ
Câu 9. Cho hàm số y f x 4x2 4mx m2 2m . Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị 
 nhỏ nhất của f x 3.
 Lời giải
 Ta có a 4 0 nên đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm hướng lên và có hoành độ đỉnh 
 m
 x .
 I 2
 m
 Nếu 2 m 4 thì xI 2 0 . Suy ra f x đồng biến trên đoạn  2;0.
 2
 2
 Do đó min f x f 2 m 6m 16.
  2;0
 Theo yêu cầu bài toán: m 2 6m 16 3 (vô nghiệm).
 m m
 Nếu 2 0 4 m 0 thì xI 0;2. Suy ra f x đạt giá trị nhỏ nhất tại x .
 2 I 2
 m 
 Do đó min f x f 2m .
  2;0 2 
 3
 Theo yêu cầu bài toán 2m 3 m (thỏa mãn 4 m 0 ).
 2
 m
 Nếu 0 m 0 thì xI 0 2. Suy ra f x nghịch biến trên đoạn  2;0.
 2
 2
 Do đó min f x f 0 m 2m.
  2;0
 m 1
 Theo yêu cầu bài toán: m2 2m 3 m 3 ( Vì m 0).
 m 3
 3 
 Từ các trường hợp trên, ta được m ;3.
 2 
VẤN ĐỀ 3. ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI 
 Dạng 1. Cho parabol (P) : y ax2 bx c .
 + Xác định trục đối xứng, tọa độ đỉnh của (P) . 
 + Tương giao của (P) với trục Ox .
 + Tìm điều kiện để các giao điểm của (P) và trục Ox thỏa mãn điều kiện nào đó. 
 1 PHƯƠNG PHÁP.
 =
 = Thường dùng đến các kết quả sau:
 =I b b 
 + Đường thẳng x là trục đối xứng của (P) , điểm I ; là đỉnh của (P) . 
 2a 2a 4a 
 Page 11