Chuyên đề 3: Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) - Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 8

 BẤT ĐẲNG THỨC Cauchy (AM – GM)
 A: LÝ THUYẾT
1. Tên gọi: 
 Bất đẳng thức Cauchy (AM- GM) hay còn gọi là BĐT Trung bình cộng và Trung bình Nhân. 
 Ngoài ra còn 1 số sách và 1 số giáo viên thường gọi là Cô si.
2. Định nghĩa:
 Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của 
 chúng và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.
3. Tổng quát:
 Ở cấp THCS, Tài liệu Toán xin phép chỉ đưa ra hai công thức tổng quát sau:
 a b
 - Với a,b 0 thì ab , Dấu “ = “ khi và chỉ khi a b 
 2
 a b c
 - Với a,b,c 0 thì 33 abc , Dấu “ = “ khi và chỉ khi a b c 
 3
 B: CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG
 Dạng 1: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP CÔNG THỨC
Bài 1: Cho x, y, z 0 , CMR : x y y z z x 8xyz
HD:
 Áp dụng Cô si cho hai số x, y 0 , ta có: x y 2 xy ,
 y z 2 yz
 Làm tương tự ta sẽ có : , Nhân theo vế ta được: x y y z z x 8xyz
 z x 2 zx
 x y
 Dấu “ = “ khi và chỉ khi: y z x y z 
 z x
Bài 2: Cho a,b,c 0 và abc 1 , CMR: a 1 b 1 c 1 8
HD :
 Áp dụng Cô si cho hai số không âm a,1 , ta có : a 1 2 a 
 b 1 2 b
 Tương tự ta sẽ có : a 1 b 1 c 1 8 abc 8 
 c 1 2 c
 Dấu “ = “ khi và chỉ khi: a b c 1 
Bài 3: Cho a,b không âm. CMR: a b ab 1 4ab
HD :
 Áp dụng Cô si cho hai số không âm a,b , ta có : a b 2 ab 
 Tương tự : ab 1 2 ab , nhân theo vế ta được : a b ab 1 4ab
 a b
 Dấu “ = “ khi và chỉ khi a b 1 
 ab 1 1 1 1 
Bài 10: CMR: Với mọi a,b,c 0 , thì a b c 9
 a b c 
HD:
 1 1 1 1
 Áp dụng Cô si cho ba số a,b,c 0 , ta có : a b c 33 abc và 33
 a b c abc
 1 1 1 
 Nhân theo vế ta có: a b c 9
 a b c 
 a b c
 Dấu “ = “ khi và chỉ khi : 1 1 1 a b c 
 a b c
Bài 11: Cho a,b,c 0 và a b c 3 , 
 a b c 3 1 1 1
 CMR : 
 1 a2 1 b2 1 c2 2 1 a 1 b 1 c
HD:
 1 a2 2a
 2 a b c a b c 3
 Ta có: 1 b 2b 
 1 a2 1 b2 1 c2 2a 2b 2a 2
 2
 1 c 2c
 1 a x
 1 1 1 3
 Đặt 1 b y x y z a b c 3 6 => B , 
 x y z 2
 1 c z
 1 1 1 1 1 1 9 9 3
 Khi đó: x y z 9 
 x y z x y z x y z 6 2
 a b c 3
Bài 12: Cho a,b,c là ba số dương, CMR: 
 b c c a a b 2
HD:
 1 1 1 
 Ta có : Áp dụng bất đẳng thức : x y z 9
 x y z 
 x a b
 1 1 1 
 Đặt y b c 2 a b c 9
 a b b c c a 
 z c a
 a b c a b c a b c 9 a b c 9 3
 3 
 a b b c c a 2 b c c a a b 2 2
 a b 1 3
Bài 13: Cho a,b > 0, CMR: 
 b 1 a 1 a b 2
HD :
 a b 1 1 1 1 
 VT 1 1 1 3 a b 1 3
 b 1 a 1 a b b 1 a 1 a b 
 1 1 1 1 9 3
 a 1 b 1 a b 3 3 
 2 a 1 b 1 a b 2 2 Dạng 2: TÌM ĐIỂM RƠI CỦA BĐT AM - GM
1. Nhận dạng xử lý: 
 - Với bài toán có điều kiện của ẩn, thì điểm rơi thường là điểm biên của ẩn
 - Với các ẩn có vai trò như nhau trong biểu thức thì điểm rơi là các ẩn đó có giá trị bằng nhau.
2. Phương pháp :
 - Thay giá trị điểm rơi vào 1 biểu thức muốn AM – GM, để tách biểu thức đó sao cho Cô si xảy ra 
 dấu bằng.
 - Ta có thể hạ bậc hoặc nâng bậc của biểu thức để Cô si để biểu thức sau khi Cô si được như ý.
 Dạng 2.1: Điểm rơi cho Cô - si hai số
 1 5
Bài 1: Cho a 2,CMR : a 
 a 2
HD :
 1 1 1
 Dự đoán dấu bằng khi : a = 2 => k.a k.2 k 
 a 2 4
 1 1 a 3a a 3a 3a 3 5
 Khi đó ta có : a 2 1 1 
 a a 4 4 4a 4 4 2 2
 1 a
 Dấu bằng khi a 4 a 2 
 a 2
 1
Bài 2: Cho a 3 , Tìm GTNN của: S a 
 a
HD :
 1 1 1
 Dự đoán dấu bằng khi : a 3 k.3 k 
 a 3 9
 1 a 8a 2 8.3 2 8 10
 Khi đó ta có : S 
 a 9 9 9 9 3 3 3
 10
 Vậy Min S 
 3
 1
Bài 3: Cho x 1, Tìm GTNN của: A 3x 
 2x
HD :
 1 1 1
 Dự đoán dấu bằng khi x 1 k.3 k 
 2x 2 6
 1 3x 5x 2 5.1 5 7
 Khi đó : A 1 
 2x 6 2 4 2 2 2
 1 1
Bài 4: Cho a, b > 0, a b 1,CMR : a b 5
 a b
HD :
 a b 1 1 1 1
 Dự đoán dấu bằng khi a b 2 k. k 4
 a b 2 a 2
 1 1 1 1 
 Khi đó : VT a b 4a 4b 3 a b 
 a b a b 
 2 4 2 4 3 a b , Mà a b 1 3 a b 3
 VT 4 4 3 5 1
Bài 11: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn: a b 1, Tìm GTNN của: S ab 
 ab
HD :
 1 1
 Dự đoán dấu bằng khi : a b 4 16ab
 2 ab
 1 
 Khi đó ta có : S 16ab 15ab 2 16 15ab
 ab 
 1 15
 mà a b 2 ab 1 2 ab ab 15ab 
 4 4
 15 15 17
 Vậy S 2.4 8 
 4 4 4
 33
Bài 12: Cho x, y dương thỏa mãn: x y 4 , Tìm GTNN của: P x2 y2 
 xy
HD :
 33 k
 Dự đoán dấu = khi: x y 2 khi đó: P 2xy , nên 2xy 8 k 32 khi đó:
 xy 4
 32 1 1 1 4 1 1
 P 2xy 2 64 , Mà: P 2.8 
 xy xy xy xy x y 2 4 4
 1 1
Bài 13: Cho a,b 0,a b 1 , Tìm GTNN của P a2 b2 
 a2 b2
HD:
 1
 Dấu = khi a b 
 2
 1 1 2 1 15 1 15
 P a2 b2 ab ab 
 Ta có: 2 2 2 2 2. 
 a b ab 8ab 8ab 4 8ab
 1 1 15 15
 Mà 1 a b 2 ab ab 4 , Thay vào P ta được:
 4 ab 8ab 2
 15 17
 P 1 
 2 2
 a b ab
Bài 14: Cho a,b 0 . Tìm GTNN của: P 
 ab a b
HD :
 a b ab
 Dự đoán dấu bằng khi : m ab a b m 4
 a b
 a b ab 3 a b 1 3.2 ab 3.2 5
 Khi đó ta có : P . 2 1 
 4 ab a b 4 ab 4 4 ab 4 2
 1
Bài 15: Cho x 0 , Tìm GTNN của A 4x2 3x 2019 
 4x
HD :
 1
 Bấm máy, Cho x chạy từ 0 đến 5, Tìm ra điểm rơi x 
 2
 1 2 1
 Biến đổi A 4x2 4x 1 x 2018 2x 1 2 2018 2019 
 4x 4