Chuyên đề 25: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức - Bồi dưỡng HSG Đại số 8

 Chuyên đề 25. 
 GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Xét trong tập xác định (D):
a) Hằng số a là giá trị lớn nhất của A(x) với x xo nếu:
x, A(x) A(xo ) a . Ký hiệu: max A(x) a x xo 
b) Hằng số b là giá trị nhỏ nhất của B(x) với x xo nếu:
x, B(x) B(xo ) b . Ký hiệu: min B(x) b x xo 
c) Hằng số a là giá trị lớn nhất của A(x, y,_) với x xo ; y yo ;... 
nếu x, y,... A(x, y,....) A(xo , yo ,....) a 
Ký hiệu: max A(x, y,...) a x xo; y yo;...
d) Hằng số b là giá trị nhỏ nhất của B(x, y,...) với x xo ; y yo ;... 
nếu x, y,...B(x, y,...) B(xo ; yo ,...) b 
Ký hiệu: min B(x, y,...) b x xo ; y yo ;... 
2. Định lý về cực trị:
a) Nếu tổng hai số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
b) Nếu tích của hai số dương không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
3. Một số bất đẳng thức hay dùng: (đã nêu trong chuyên đề 21)
a. Bất đẳng thức Cauchy.
b. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki.
c. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối.
d. Bất đẳng thức tam giác.
B. Một số ví dụ
1. Dạng tam thức bậc hai và đưa về tam thức bậc hai
Ví dụ 1: 
a) Tìm giá trị lớn nhất của A(x) 2015 2x x2 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của B(x) 2x2 2(x 5). 
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của C(y) (y 2)2 (y 5)2 
* Tìm lời giải: 
Để tìm giá trị lớn nhất của A(x) ta phân tích A(x) thành một số a trừ đi bình phương một tổng (hoặc hiệu). 
Từ đó tìm xo để x A(x) A(xo ) a. 
Khi ấy max A(x) a x xo y 3; y 8 
3. Dạng đa thức nhiều biến bậc hai
Ví dụ 3: 
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A(x; y) x2 2x 9y2 6y 2018 
b) Tìm x, y, z để đa thức B(x, y,z) có giá trị lớn nhất.
B(x, y, z) 1 (2x2 2y2 z2 2xy 2xz 2yz 2x 4y) 
* Tìm cách giải: 
a) Biến đổi biểu thức thành tổng các bình phương các nhị thức với một hằng số
b) Dùng tách, thêm bớt các hạng tử làm xuất hiện bình phương các biểu thức. Sử dụng hằng đẳng thức:
a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc (a b c)2 
 Giải
a) A(x, y) x2 2x 1 9y2 6y 1 2016 (x 1)2 (3y 1)2 2016 
Do (x 1)2 0,x và (3y 1)2 0,y 
Nên (x 1)2 (3y 1)2 2016 2016,x; y 
 1
Do đó min A(x, y) 2016 (x 1; y ) 
 3
 2 2 2 2 2 
b) B(x, y, z) 1 x 2x 1 y 4y 4 x y z 2xy 2xz 2yz 5 
 6 x 1 2 y 2 2 x y z 2 6,x, y, z 
 x 1 0 x 1
Do đó max B(x, y, z) 6 y 2 0 y 2 
 x y z 0 z 3
4. Dạng phân thức
Ví dụ 4: 
 16
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . 
 x2 2x 19
 x2 9
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B .
 x2 3
 1 2x x2
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C 
 x2 2x 2
 Giải
a) Do x2 2x 19 (x 1)2 18 18,x 
 1 1 16 16 8
 ,x A ,x 
 (x 1)2 18 18 (x 1)2 18 18 9 Tìm cách giải: Biến đổi biểu thức M để có a M b,x (a, b là các hằng số).
 Giải
 2 2
 x 10x 25 x 5 (x 5)2
M 1 1,x 
 x2 5 x2 5
Do đó min M 1 x 5 
 5(x2 5) 5(x2 2x 1) (x 1)2
* M 5 5,x 
 x2 5 x2 5
Do đó max M 5 x 1 
7. Dạng bài tập áp dụng định lý, tính chất về cực trị
Ví dụ 7: Chứng minh định lý:
1) Nếu tổng hai số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
2) Nếu tích của hai số dương không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
Áp dụng:
 16 x
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của T , với x 2 
 x 2 4
b) Cho 7a 9b 42 với a,b 0 . Tìm giá trị lớn nhất của tích P ab 
 Giải
Gọi 2 số dương là a và b
Ta có a b 2 0 a2 2ab b2 0 (a b)2 4ab 
 k 2
1) Nếu a b k 0 không đổi thì 4ab k 2 ab 
 4
 k 2 k
Vậy max(a.b) a b 
 4 2
2) Nếu a.b h 0 không đổi ta có (a b)2 4h 
 a b 2 h. Do đó min(a b) 2 h a b h 
Áp dụng:
 16 x 16 x 2 2
a) T 
 x 2 4 x 2 4 4
 16 x 2 16 x 2
Ta có với x 2 thì ; là 2 số dương có tích . 4 không đổi nên tổng của chúng nhỏ 
 x 2 4 x 2 4
 16 x 2
nhất 
 x 2 4
 (x 2)2 64. Phương trình có 2 nghiệm x 10 và x 6. 
Nghiệm x 10 thỏa mãn điều kiện của bài. Vậy min A 4,5 x 2. 
b) Xét 63P 7a.9b trong đó 7a 9b 42 không đổi nên tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó 
bằng nhau. Cách 2:Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho bộ 3 số 1, 1, 1 và x, y, z ta có x 2,5 5,5
 2x 5 5 2x 0 2x 5 | 2x 5 
 2x 11 11 2x | 11 2x 0 2x 11 
* Với x 2,5 ta có B 16 4x 6 (1) 
* Với 2,5 x 5,5 thì B 6 (2)
* Với x 5,5 ta có B 4x 16 6 (3)
Từ (1), (2), (3) ta có min B 6 2,5 x 5,5 
c) Đặt 5x 8 y thì
C 4 5x 8 16 (5x 8)2 4 5x 8 16 5x 8 2
 (y2 4y 4) 12 (y 2)2 12 12
Vậy max C 12 y 2 5x 8 2 x 2; x 1,2. 
C. Bài tập vận dụng
Dạng tam thức bậc hai và đưa về tam thức bậc hai
25.1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) A(x) 4x2 8x 15. 
b) A(y) (y 1)2 (y 2)2 (y 3)2 (y 4)2. 
c) A(z) (z 2)3 (z 2)(z2 2z 4). 
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) A(x) 4 x 1 2 11 11,x. Vậy min A(x) 11 x 1 
b) A(y) 2y2 16y 2 2(y 4)2 34 34,y. Vậy min A(y) 34 y 4. 
c) A(z) 6z2 12z 16 6(z 1)2 10 10,z. Vậy min A(z) 10 z 1. 
25.2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) B(x) 15 6x x2. 
b) B(y) (y2 2)2 2(y 1)2 (2 y2 )(2 y2 ) 
 11z2 22z 33
c) B(z) 
 1 1 1 1 
 2 1 2 1 2 1 ... 2 1 
 2 3 4 10 
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) B(x) 24 (x2 6x 9) 24 (x 3)2 24,x. 
Vậy max B(x) 24 x 3. 
b) B(y) 2y2 4y 10 12 2(y 1)2 12,y. M (x, y) x2 2xy 4y2 12y 22. 
b) Tìm x, y để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó:
N(x, y) 2006 x2 3y2 2xy 2x 6y 
c) Tìm x, y, z để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó:
P(x, y, z) 1 x2 y2 z2 2x 4y 6z 
d) Tìm x, y, z,t để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị đó:
Q(x, y, z,t) (x y z)2 x2 y2 2t 2 2xt 4y 6t 113. 
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) M (x, y) x y 2 3 y 2 2 10 10,x, y. 
Do đó min M (x, y) 10 x 2; y 2 . 
b) N(x, y) 2015 x y 1 2 2 y 2 2 2015,x, y. 
Do đó max N(x, y) 2015 x 3; y 2 . 
c) P(x, y, z) 15 x 1 2 y 2 2 z 3 2 15,x, y, z 
Do đó max P(x, y, z) 15 x 1; y 2; z 3 . 
d) Q(x, y, z,t) x y z 2 x t 2 y 2 2 t 3 2 100 100,x, y,z, t. 
Do đó min Q(x, y, z,t) 100 x 3; y 2;z 1;t 3 . 
25.5. 
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 2 2 2 2
R x1 x2 x3 ... x10 4(x1 x2 x3 ... x10 ) 
b) Với n N và n 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
 2 2 2 2 2 2 2
S x1 2 x2 3 x3 ... n xn 2(x1 2x2 3x3 ... nxn ) 2n 
c) Với n N và n 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 2 2 3 2 2 2 2 2
T 2(50 x1 2x2 3x3 ... nxn ) (1 2 3 ... n ) (x1 x2 x3 .. xn ) 
 Hướng dẫn giải – đáp số
 2 2 2 2
a) R x1 2 x2 2 x3 2 ... x10 2 40 40,xi (i 1;2;...;10) 
minR 40 x1 x2 ... x10 2 
 2 2 2
b) Ta có i xi 2ixi 1 ixi 1 
 2 2 2 2
Do đó S x1 1 2x2 1 3x3 1 ... (nxn 1) n n,xi (i 1;2;....;n) 
 1 1 1
Do đó minS n x 1; x ; x ;...; x . 
 1 2 2 3 3 n n 6 6
d) Q 4 4 ,x max Q 5,5 x 2. 
 (x 2)2 4 4
25.8. 
 x
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức f (x) . 
 x2 2x 1
 x2 12x 13 2(x 2)
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức g(x) với x 2. 
 x2 4x 4
 Hướng dẫn giải – đáp số
 3(x 1) 3 3 3 1
a) Với x 1; f (x) . Đặt y 
 (x 1)2 x 1 (x 1)2 x 1
 2
 2 2 1 1 1 1 3 3
Ta có f (x) 3y 3y 3 y 2y 3 y ,y 
 2 4 4 2 4 4
 3 1
Vậy max f (x) y hay x 1. 
 4 2
 1 2 1
b) g(x) 3 y2 2y 1 2 (y 1)2 2 2 y với y và với x 2. Vậy 
 (x 2)2 x 2 x 2
min g(x) 2 y 1 hay x 3. 
Dạng chứng minh giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức
25.9. 
a) Chứng minh giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 6x 15 là 6 khi và chỉ khi x 3. 
 x2 4x 4
b) Chứng minh giá trị lớn nhất của biểu thức B là 8 x 2. 
 x2 4x 5
  2y
c) Cho C chứng minh rằng: max C 1 y 1 và min C 0,5 y 2. 
 2 y2
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta chứng minh A 6,x. Thật vậy
x2 6x 15 6 x2 6x 9 0 (x 3)2 0 đúng x. 
Dấu “=” xảy ra x 3. 
b) Ta chứng minh B 8,x. Thật vậy: x, ta có:
 x2 4x 4 x2 4x 4 8(x2 4x 5) 9(x 2)2
 8 0 0 
 x2 4x 5 x2 4x 5 (x 2)2 1
Hiển nhiên đúng. Dấu “=’ xảy ra x 2. 
 1 2y 1 2y 2 y2 (y 1)2
c) Xét C 1 1 0,y. Như vậy C 1,y, dấu “=” xảy ra y 1 
 2 y2 2 y2 2 y2
nghĩa là max C 1 y 1.