Chuyên đề 24: Phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối - Bồi dưỡng HSG Đại số 8

 Chuyên đề 24.
 PHƯƠNG TRÌNH. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
A. Kiến thức cần nhớ
 A nÕu A 0
1. Định nghĩa về giá trị tuyệt đối: A 
 A nÕu A < 0
2. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
a) Dạng 1: * f (x) f (x) ( 0) 
 * f (x) g(x) g(x) f (x) g(x) 
 f (x) 
b) Dạng 2: * f (x) ( 0)
 f (x) 
 f (x) g(x)
 * f (x) g(x) 
 f (x) g(x)
 2 2
c) Dạng 3: f (x) g(x)  f (x) g(x) 
3. Một số bất đẳng thức quan trọng về giá trị tuyệt đối:
a b a b xảy ra dấu đẳng thức: ab 0 
và a b a b xảy ra dấu đẳng thức: ab 0 và a b 
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Giải các phương trình:
a) 2x 9 2015. b) 2x 3 3x 4. 
c) (x 3)2 2x 5 (x 4)(x 4) 0. 
* Tìm cách giải: Các phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng đơn (có một dấu | |). Ta sử dụng định 
nghĩa về giá trị tuyệt đối để giải.
 Giải
a) Cách 1:
 
* Nếu 2x 9 0 x thì 2x 9 2x 9 
 2
Ta có 2x 9 2015 2x 2024 x 1012 (Thỏa mãn)
 9
* Nếu 2x 9 0 x thì 2x 9 9 2x. 
 2
Ta có 9 2x 2015 2x 2006 x 1003 (thỏa mãn)
Nghiệm của phương trình là: x 1003;x 1012. 
 2x 9 2015 x 1012
Cách 2: 2x 9 2015 
 2x 9 2015 x 1003
b) * Với x 1,5 thì 2x 3 2x 3 c) Do x2 2x 4 (x 1)2 3 0,x nên 
x2 2x 4 x2 2x 4. Do đó PT x2 2x 4 8x x2 8 
 2 x 3
 x 5x 6 0 (x 3)(x 2) 0 
 x 2
Ví dụ 3: 
a) Giải phương trình: 2x 5 7 9 21. 
b) Giải phương trình: 2x 1 4 8 10 15. 
* Tìm cách giải: Các phương trình trên có nhiều dấu giá trị tuyệt đối lồng vào nhau (Dạng lồng): 
 ax b c d e hoặc ax b c d e h 
Ta sử dụng phương pháp bỏ dần các dấu giá trị tuyệt đối từ ngoài vào trong. 
 Giải
 2x 5 7 12 2x 5 5 (lo¹i)
a) PT 2x 5 7 9 21 
 2x 5 7 12 2x 5 19
 2x 5 19 x 7
 2x 5 19 x 12
 2x 1 4 8 25
b) PT 2x 1 4 8 25 
 2x 1 4 8 25
 2x 1 4 33 (lo¹i) 2x 1 4 17
 2 1 4 17
 2x 1 4 17 x
 2x 1 13 (lo¹i) 2x 1 21 x 10
 2x 1 21 2x 1 21 x 11
Ví dụ 4: Giải các phương trình:
a) x 3 3x 6 5 2x 8 .
b) x2 9 x2 25 26. 
c) x 1 x 2 2x 5 10x 
* Tìm cách giải: Các phương trình có nhiều dấu giá trị tuyệt đối nhưng rời nhau (dạng rời) 
ax b cx d ... px q m 
Ta lập bảng xét các giá trị tuyệt đối rồi giải phương trình. Câu c) ta nhận xét vế trái không âm nên suy ra 
ngay x 0. 
 Giải
a) Lập bảng xét giá trị tuyệt đối (hay bảng phá dấu GTTĐ): (1) 3x 4 5 1 x 2 
 3x 4 5 1 x 2 3x 4 x 2 6
 3x 4 5 1 x 2 3x 4 x 2 4
a) Với 3x 4 x 2 6 ta lập bảng xét giá trị tuyệt đối:
 x 4
 -2 
 3
 3x 4 4 3x | 4 3x 0 3x 4 
 x 2 2 x 0 x 2 | x 2 
 Vế trái 6 2x | 4x 2 | 2x 6 
Với x 2; 6 2x 6 x 0 (thỏa mãn)
 4
Với 2 x ; 4x 2 6 x 1 (thỏa mãn)
 3
 4
Với x ; 2x 6 6 x 6 (thỏa mãn)
 3
b) Với 3x 4 x 2 4 lập bảng xét giá trị tuyệt đối:
 x 4
 -2 
 3
 3x 4 4 3x | 4 3x 0 3x 4 
 x 2 2 x 0 x 2 | x 2 
 Vế trái 2 4x | 2x 6 | 4x 2 
Với x 2; 2 4x 6 x 1 (không thỏa mãn).
 4
Với 2 x ; 2x 6 4 x 1 (thỏa mãn).
 3
 4 3
Với x ; 4x 2 4 x (thỏa mãn).
 3 2
 3 
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1; 0; 1; ; 6 
 2 
Ví dụ 6: Giải các bất phương trình:
a) 4x 5 25. b) 2x 6 x 2 
Tìm lời giải: Các bất phương trình có dạng f (x) và f (x) g(x). Do đó ta sử dụng định nghĩa về giá 
trị tuyệt đối để giải hoặc giải theo cách giải sau.
* f (x) f (x) ( 0) Sau khi giải xong lưu ý khi tập hợp nghiệm: nghiệm bất phương trình f (x) chỉ cần thỏa mãn một trong 
hai bất phương trình f (x) hoặc f (x) ; nghiệm bất phương trình f (x) g(x) chỉ cần thỏa mãn một 
trong hai bất phương trình f (x) g(x) hoặc f (x) g(x).
 Giải
 2x 7 15 2x 22 x 11
a) 2x 7 15 
 2x 7 15 2x 8 x 4
 2x 3 2x 3 x 4
 1 1 0 0 (*)
 2x 3 x 1 x 1 x 1
b) 1 
 x 1 2x 3 2x 3 3x 2
 1 1 0 0 (**)
 x 1 x 1 x 1
 x 4
 x 4 2 
Giải (*) có . Giải (**) có x 1. Hợp nghiệm 2 
 x 1 3 x 
 3
 x 4
 * 
 x 1
 2
 ** x 1 
 3
 x 4
 2 
 x 
 3
 x 4
Nghiệm của bất phương trình đã cho là 2 
 x 
 3
 x2 3 5 2x x2 2x 8 0(*)
c) x2 3 5x 2 
 2 2
 x 3 2x 5 x 2x 2 0(**)
 2 x 2
Giải (*): x 2x 8 0 (x 4)(x 2) 0 
 x 4
Giải (**): Do x2 2x 2 (x 1)2 1 0,x nên (**) vô nghiệm.
Biểu diễn nghiệm: 
Ví dụ 8: Giải các bất phương trình:
a) x 4 3x 9 ; 5x 10 x 2 
* Với x 2,5. BPT x x 1 2x 5 3x 6 
 3x 0 (đúng với mọi x )
Vậy nghiệm của bất phương trình là x 2 .
C. Bài tập vận dụng
24.1. Giải các phương trình:
 x 6 16 2x 1 3x 4
a) x . b) x 2 . 
 2 5 5 5 2
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) Biến đổi PT 5x 12 10x 32 
Ta có vì 5x 12 0 nên 10x 32 0 x 3,2 
Khi ấy 5x 12 5x 12. Phương trình trở thành 5x 12 10x 32 ta tìm được x 4 (thỏa mãn); Vậy 
nghiệm của phương trình là x 4. 
b) Biến đổi PT 5 3x 4 22 6x 
 4 4 2
Xét với x ta tìm được x 2 . Xét với x ta tìm được x 
 3 3 9
24.2. Giải các phương trình:
a) 2x 3 1 1. b) x 2 2x 6. 
 Hướng dẫn giải – đáp số
 2x 5 x 2,5
a) PT 2x 3 2 
 2x 1 x 0,5
b) * Với x 2 thì x 2 x 2 
Phương trình trở thành x 2 2x 6 x 2x 4 
Với x 0 , ta có x 2x 4 x 4 (thỏa mãn)
 4
Với x 0, ta có x 2x 4 x (loại)
 3
* Với x 2 thì x 2 2 x 
Phương trình trở thành 2 x 2x 6 x 8 2x 
 8
Với x 0, ta có: x 8 2x x (loại vì x 2) 
 3
Với x 0, ta có: x 8 2x x 8 (loại)
Phương trình có nghiệm duy nhất là x 4 
24.3. Giải các phương trình: