Chuyên đề 23: Bất phương trình dạng tích, thương - Bồi dưỡng HSG Đại số 8

 Chương IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
 Chuyên đề 23. BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TÍCH, THƯƠNG
A. Kiến thức cần nhớ
1. Bất phương trình dạng tích: A x .B x 0 ;
 (hoặc A x .B x 0; A x .B x 0; A x .B x 0);
 A x 
2. Bất phương trình dạng thương: 0
 B x 
 A x A x A x 
 (hoặc 0; 0; 0 ).
 B x B x B x 
3. Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất ax b a 0 :
 b
Nhị thức bậc nhất cùng dấu với a khi x 
 a
 b
Nhị thức bậc nhất trái dấu với a khi x 
 a
 b
Do là nghiệm của nhị thức ax b nên định lý được phát biểu:
 a
Nhị thức ax b a 0 cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức, trái dấu với a với 
các giá trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức.
4. Phương pháp giải các bất phương trình dạng tích, thương: Phân tích thành nhân tử chứa các nhị thức bậc 
nhất. Lập bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất ax b
 b
 x 
 a
 ax b trái dấu với a 0 cùng dấu với a
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2x 9 1945 x 0 .
* Tìm cách giải: Với tích A.B 0 xảy ra khi A và B cùng dấu. Do đó A 0 và B 0 hoặc A 0 và B 0. 
Ta có cách giải:
 Giải
Cách 1: Bất phương trình đã cho tương đương với:
 2x 9 0 2x 9 x 4,5
 1945 x 0 x 1945 x 1945 x 4,5
 2x 9 0 2x 9 x 4,5 x 1945
 1945 x 0 x 1945 x 1945
Vậy nghiệm của bất phương trình là x 4,5; x 1945 . x 3
Nghiệm của bất phương trình là: 2 x 2. Biểu diễn nghiệm:
 x 3
 2016 6x
Ví dụ 4: Giải bất phương trình: 0 .
 x x 8 
* Tìm cách giải: Đây là bất phương trình dạng thương của 2016 6x chia cho x x 8 . Ta có 
2016 6x 0 x 336; x 8 0 x 8 .
 Giải
 2016 6x
ĐKXĐ: x 0 và x 8. Đặt A . Lập bảng xét dấu:
 x x 8 
 x 8 0 336
 2016 6x +  +  + 0 
 x  0 +  +
 x 8 0 +  +  +
 A +   + 0 
 8 x 0
A 0 khi .
 x 336
 x2 5x 28
Ví dụ 5: Giải bất phương trình 2 1 
 x2 2x 15
Và biểu diễn nghiệm trên trục số.
* Tìm cách giải: Nếu chuyển vế, rút gọn vế trái ta được bất phương trình dạng thương. Phân tích các tử, mẫu 
thành nhân tử rồi lập bảng xét dấu.
 Giải
ĐKXĐ: x 3; x 5
 x2 5x 28 x2 x 2 x 1 x 2 
 1 2 0 0 0
 x2 2x 15 x2 2x 15 x 3 x 5 
Lập bảng xét dấu ta có:
 x 5 1 2 3
 x 1  0 +  +  +
 x 2   0 +  +
 x 3    0 +
 x 5 0 +  +  +  +
 Vế trái +  0 + 0  + Biến đổi bất đẳng thức thành:
 1 1 1 1
 ... 0
x x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 19 x 20 
 1 1 1 1 1 1
 ... 0
 x 1 x x 2 x 1 x 20 x 19
 1 1 20
 0 0 .
 x 20 x x x 20 
 20
Đặt A . Lập bảng xét dấu
 x x 20 
 x 0 20
 x 0 +  +
 x 20  0 +
 A +   +
A 0 khi x 1;2;3;...;19và 0 x 20 .
 m 5
Ví dụ 8: Giải bất phương trình 3 với m là tham số.
 x 2
* Tìm cách giải: Bất phương trình có ẩn ở mẫu là có tham số nên phải lưu ý ĐKXĐ và biện luận tham số m 
khi giải bất phương trình.
 Giải
ĐKXĐ: x 2
m 5 m 5 m 1 3x
 3 3 0 0
x 2 x 2 x 2
 m 1
Ta thấy m 1 3x 0 x .
 3
 m 1 m 1 m 1 3x
Ta có 2 m 5 và 2 m 5 . Đặt B .
 3 3 x 2
Lập bảng xét dấu: khi m 5
 m 1
 x 2
 3
 m 1 3x +  + 0 
 x 2 0 +  +
 B  + 0 
 m 1
Với m 5 ta có nghiệm của bất phương trình là: 2 x .
 3 23.2. Giải các bất phương trình sau:
a) 19x 8 2 9x 3x 2 30 4x 0 ;
b) 10 x 5x 2001 3x2 25x 50 100 x2 .
 Hướng dẫn giải – đáp số
 8 2 2 30
a) Lập bảng xét dấu. Nghiệm là x ; x hoặc x .
 19 9 3 4
b) Nhận xét: 3x2 25x 50 3x 5 x 10 10 x 3x 5 .
Mặt khác 100 x2 10 x 10 x . Do đó ta biến đổi
BPT 10 x 5x 2001 10 x 3x 5 10 x 10 x 0
 10 x x 2016 0
 x 10
Giải bất phương trình được .
 x 2016
23.3. Giải các bất phương trình và biểu diễn nghiệm trên trục số.
a) x3 9x2 26x 24 0 ;
b) x4 7x2 22x 36 4 x3 3 .
 Hướng dẫn giải – đáp số
Đây là các bất phương trình bậc ba và bốn. Ta chuyển vế rồi sử dụng hệ quả định lý Bézout (nhẩm nghiệm) 
để phân tích vế trái thành nhân tử.
a) BPT x 2 x 3 x 4 0
 3 x 4
Lập bảng xét dấu tìm được nghiệm: 
 x 2
b) Chuyển vế và biến đổi BPT x 1 x 2 x 3 x 4 0
 x 2
Lập bảng xét dấu tìm được nghiệm: 1 x 3 . Biểu diễn nghiệm:
 x 4
23.4. Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm trên trục số.
a) 2x 1 4x 3 8x 5 2 9 ; y2 112 0 y 11 y 11 0
 2 7 49 39
Do y 11 4x2 14x 22 2x 2.2x. 
 2 4 4
 2
 7 39
 2x 0, x
 2 4
Do đó y 11 0 hay 4x2 14x 0 2x 2x 7 0 .
 x 3,5
Giải bất phương trình được . (Bạn đọc tự biểu diễn nghiệm).
 x 0
23.5. Giải các bất phương trình:
a) x2 2 x2 2 x4 8 96 ;
b) x4 4 26 x2 2x 2 3x3 6x2 6x ;
c) x x3 27 x 1 6 x3 27 .
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) BPT x4 4 x4 8 96
 x8 12x4 32 96 0 x8 4x4 16x4 64 0
 x4 16 x4 4 0
Do x4 4 0, x nên x4 16 0 x 2 x 2 x2 4 0
Do x2 4 0, x nên x 2 x 2 0 2 x 2 .
* Chú ý: Câu a) có thể dùng phương pháp đặt biến phụ: Đặt x4 6 y ta có
 y 2 y 2 96 y2 4 96 0
 y2 100 0 y 10 y 10 0
Do y 10 x4 6 10 x4 4 0, x nên y 10 0
hay x4 16 0 rồi giải như trên ta được 2 x 2 .
 2
b) Để ý rằng x4 4 x4 4x2 4 4x2 x2 2 2x 2
 x2 2x 2 x2 2x 2 
Do đó có x4 4 x2 2x 2 3x 26 0
 x2 2x 2 x2 2x 2 x2 2x 2 3x 26 0
 x2 2x 2 x2 5x 24 0 x2 2x 2 x 8 x 3 0
Do x2 2x 2 x 1 2 1 0, x nên ta chỉ xét x 3
Lập bảng xét dấu, nghiệm là 1 x 2
 x 3
 x 3
23.8. Tìm x để 3 5 .
 x 5
 Hướng dẫn giải – đáp số
 x 3
 3 5 x 9
 x 3 x 5 
3 5 x 7 7 x 9 .
 x 5 x 3
 5 x 5
 x 5 
 x 3 x 1 
 x 2016 
 x 1 x 3
23.9. Cho A 
 x 3 x 1 
 x 1 x 3 
Rút gọn A sau đó tìm giá trị của x để A 0.
 Hướng dẫn giải – đáp số
ĐKXĐ x 3; x 1. Rút gọn:
 x 2016 2x2 4x 10 x 2016 x2 2x 5 
A 
 8 8x 4 1 x 
 2 x 2016
Do x2 2x 5 x 1 4 0, x nên A 0 0 . 
 4 1 x 
 x 2016
Giải được và x 1.
 x 1
 x x3 27 x2 3x 9 9
23.10. Cho B 3 . 2 : 2
 x 3 x 27 x 9 x x 6
Tìm x để B 2015.
 Hướng dẫn giải – đáp số
 2 x
ĐKXĐ: x 3; x 2 . Rút gọn được B .
 x 3
 2 x 2 x 2016x 6043
B 2015 2015 2015 0 0
 x 3 x 3 x 3
 6043
Giải bất phương trình này được: 3 x .
 2016
23.11. Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm không âm
 3
 5 m .
 x 2
 Hướng dẫn giải – đáp số