Chuyên đề 22: Bất phương trình bậc nhất một ẩn - Bồi dưỡng HSG Đại số 8

 Chương IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
 Chuyên đề 22. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
A. Kiến thức cần nhớ
1. Bất phương trình ẩn x: có dạng A x B x (hoặc A x B x ; A x B x ; A x B x ), trong đó 
A x và B x là hai biểu thức chứa biến x.
2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn: có dạng ax b 0 (hoặc ax b 0; ax b 0; ax b 0 ) trong đó a 
và b là hai số đã cho, a 0 .
3. Nghiệm của bất phương trình là giá trị của ẩn, khi thay vào bất phương trình được một khẳng định đúng. 
Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình là tập nghiệm của nó. Giải một bất phương trình là tìm 
tập nghiệm của bất phương trình đó.
4. Hai bất phương trình tương đương: Có cùng tập nghiệm.
5. Quy tắc biến đổi bất phương trình:
a) Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển vế một hạng tử của bất phương trình phải đổi dấu hạng tử đó.
b) Quy tắc nhân với một số: Khi nhân hai vế của bất phương trình với một số khác không ta phải: Giữ 
nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương, đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.
 b b
6. Bất phương trình dạng (hoặc đưa về dạng): ax b 0 a 0 có nghiệm x nếu a 0 ; x nếu 
 a a
a 0
Các bất phương trình ax b 0; ax b 0; ax b 0 a 0 giải tương tự.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn. Kiểm tra 
xem giá trị x 4 là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình bậc nhất một ẩn.
a) 2x 3y 6y 7 ; b) 5x 4 2 3x ;
c) 5y 8y 4 3 2,5y (ẩn y);
d) 8x 3 1 6x 15x ; e) x2 6x 5 0.
* Tìm cách giải: - Dựa vào định nghĩa, bất phương trình nào đưa được về dạng ax b 0 (hoặc 
ax b 0; ax b 0; ax b 0 ) trong đó a và b là hai số đã cho, a 0 . Có thể chỉ cần căn cứ bậc cao nhất 
của ẩn trong bất phương trình là bậc 1.
- Nghiệm của bất phương trình là giá trị của ẩn, khi thay vào bất phương trình được một khẳng định đúng. 
Do đó xét bất phương trình f x g x 1 . Thay x x0 vào (1). Nếu f x0 g x0 thì x x0 là nghiệm 
của (1).
Nếu f x0 g x0 thì x x0 không là nghiệm của (1).
(xét tương tự với các bất phương trình khác). b) 4 1,5x 2,5 x 3 2 5 x x 5 ;
 x 4 x 3 x 2
c) x 2 ;
 5 4 3
 3 1 3x 2
d) 4x x 1,25 2x 3 .
 2
* Tìm cách giải: Sử dụng các quy tắc biến đổi bất phương trình đưa các bất phương trình về dạng ax b 0 .
 Giải
a) 5x 7 3 x 2 2x 5x 7 3x 6 2x
 5x 3x 2x 6 7 0x 1.
Bất phương trình vô nghiệm.
b) 4 1,5x 2,5 x 3 2 5 x x 5 
 6x 10 x2 6x 9 25 x2 6x 6x 25 9 10
 0x 24 nghiệm đúng x .
Nghiệm của bất phương trình là x ¡ .
 x 4 x 3 x 2
c) x 2 
 5 4 3
 12 x 4 60x 120 15 x 3 20 x 2 
 12x 48 60x 120 15x 45 20x 40
 12x 60x 20x 15x 45 120 40 48
 13
 43x 13 x .
 43
 3 1 3x 2
d) 4x x 1,25 2x 3 
 2
 8x x 1,25 3 1 3x 2 4x2 12x 9 
 8x2 10 3 9x 8x2 24x 18
 5
 24x 9x 18 10 3 15x 25 x .
 3
Ví dụ 4: Tìm x sao cho: 2 3x 4 8x 10 7x 2 .
* Tìm cách giải: Giải bất phương trình kép này thực chất là giải đồng thời hai bất phương trình 
2 3x 4 8x 10 và 8x 10 7x 2 .
Giá trị của x thỏa mãn đồng thời cả hai bất phương trình là nghiệm.
 Giải
 6x 8 8x 10 6x 8x 8 10
2 3x 4 8x 10 7x 2 
 8x 10 7x 2 8x 7x 10 2 2 2
 x 3 x 3 1
A . 
 x 3 x2 3x 9 x2 9 3 x x2 3x 9
 2
 2 2 3 9 27 3 27
Do x 3x 9 x 2.x. x 0,x .
 2 4 4 2 4
Do đó A 0 với x 3.
Ví dụ 7: Giải bất phương trình sau với a, b là các hằng số dương.
 a a2 x b b2 x
* Tìm cách giải: Bất phương trình bậc nhất có hệ số bằng chữ. Khi giải lưu ý biện luận cho hệ số của ẩn.
 Giải
a) a a2 x b b2 x b2 a2 x b a
 b a b a x b a 1 
 1
Nếu b a thì b a 0 . Nghiệm của bất phương trình là x ;
 b a
 1
Nếu b a thì b a 0 . Nghiệm của bất phương trình là a ;
 b a
Nếu b a thì (1) trở thành 0x 0 bất phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 8: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm dương
2 x m x 2 x 2 x m
 m 2 1 
 2 m 2 m 2 m 2 m
* Tìm cách giải: Ta giải phương trình có hệ số bằng chữ lại nằm ở mẫu, do đó đặc biệt lưu ý ĐKXĐ và sau 
khi tìm nghiệm lập luận để có nghiệm dương.
 Giải
(1) biến đổi thành 2 x m 2 m 2 m x 2 x 2 2 m x m 2 m 
 4x 2mx 4m 2m2 2x mx 4 2m 2x mx 4 2m 2x mx 2m m2
 2x mx 3m2 6m x m 2 3m m 2 
Với m 2 thì m 2 0 ta có x 3m
Để x 0 thì 3m 0 hay m 0 .
Vậy với m 0 và m 2 thì phương trình có nghiệm dương.
Ví dụ 9: Giải các bất phương trình:
 2x 1016 2x 1000 2x 16 2x 1
a) 1 
 1000 1016 2000 2015
 5x 100 5x 200 5x 500
b) 2 
 900 800 250 c) 4 2,5x2 1 9 x 3 x 3 2 x 2 1;
d) x3 2x 56 .
 Hướng dẫn giải – đáp số
Sử dụng các quy tắc biến đổi bất phương trình đưa các bất phương trình về dạng ax b 0 .
a) 3x 2 5 x 2 2 3 x 0x 2 nghiệm đúng x .
Nghiệm của bất phương trình là x ¡ .
b) 5 x 2 2 2x 3 2x 3 x 5 2 30x 0x 4
Bất phương trình vô nghiệm.
c) 4 2,5x2 1 9 x 3 x 3 2 x 2 1 4x 80
 x 20
d) Thêm vào hai vế 64 làm xuất hiện dạng x3 43 ở vế trái và 2 x 4 ở vế phải. 
Ta có x3 2x 56 x3 64 2x 56 64
 x 4 x2 4x 16 2 x 4 0 x 4 x2 4x 14 0
Do x2 4x 14 x 2 2 10 0, x nên ta có x 4 0 hay x 4 .
22.3. Giải bất phương trình:
 x 1 x 2 x 3 x 4
 2 3 4 5
 Hướng dẫn giải – đáp số
x 1 x 2 x 3 x 4
 2 3 4 5
 30 x 1 20 x 2 15 x 3 12 x 4 
 23x 23 x 1.
* Chú ý: d) Nhận xét: Nếu thêm 1 vào mỗi hạng tử ở hai vế rồi quy đồng từng cặp ta thấy xuất hiện nhân 
tử chung là x 1 . Do đó còn cách sau:
x 1 x 2 x 3 x 4
 2 3 4 5
 x 1 x 2 x 3 x 4 
 1 1 1 1 
 2 3 4 5 
 1 1 1 1 1 1 1 1 
 x 1 0 x 1 do 0 .
 2 3 4 5 2 3 4 5 
22.4. Tìm giá trị của x thỏa mãn bất phương trình:
 2
 x 2 2 x 1 x2 2x 3 2x 1 
a) 5 x 1 và x 2 .
 3 4 3 6 12 a) ĐKXĐ: x 2,5
 4x2 10x 25 5 2x 5 5 2x 
A . 2x 5 
 5 2x 5 4x2 10x 25
b) Để A 2 ta có: 2x 5 2 2x 5 2 2x 3
 x 1,5 .
c) A ax tức là 2x 5 ax ax 2x 5 a 2 x 5
 5 5
Nếu a 2 thì x ; Nếu a 2 thì x ;
 a 2 a 2
Nếu a 2 ta có 0x 5 vô lý.
 a2 4
22.8. Tìm giá trị của a để nghiệm của phương trình 2 a là số dương nhưng nhỏ hơn 2.
 2x 5
 Hướng dẫn giải – đáp số
 a2 4
ĐKXĐ: x 2,5 ta có 2 a
 2x 5
 a 2 a 2 2 a 2x 5 0 a 2 a 2x 3 0
 a 3
Nếu a 2 thì a 2x 3 0 x 
 2
 x 0 thì a 3 0 a 3
 a 3
 x 2 thì 2 a 3 4 a 1.
 2
Vậy để nghiệm của bất phương trình sau là số dương nhưng nhỏ hơn 2: 3 a 1 và a 2 .
(Nếu a 2 thì ta có 0x 0 phương trình có vô số nghiệm do đó có vô số nghiệm dương trừ x 2,5 ).
22.9. Giải các bất phương trình với a,b là các hằng số a 0 .
 ax b 2b
a) a x a 5 x 5 ; b) a b 1 x .
 a a
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) a x a 5 x 5 ax a2 5x 25
 a 5 x a 5 a 5 
Nếu a 5 thì nghiệm của bất phương trình là x a 5
Nếu a 5 thì nghiệm của bất phương trình là x a 5
Nếu a 5 thì bất phương trình trở thành 0x 0 , vô nghiệm.
b) Biến đổi bất phương trình ta có:
 b 2b 3b
x a b 1 x a b 2 x 
 a a a