Chuyên đề 22 bài tập cực trị của hàm số - Đại số 12

 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ- CÓ GIẢI CHI TIẾT 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 1. Định nghĩa: Cho hàm số y f() x xác định và liên tục trên khoảng (;)ab (có thể a là 
 ; b là ) và điểm x0 (;) a b . 
 Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x f x0 với mọi x (;) x00 h x h và xx 0 thì ta nói 
 hàm số fx() đạt cực đại tại x0 . 
 Nếu tồn tại số sao cho f x f x0 với mọi và thì ta nói 
 hàm số đạt cực tiểu tại . 
 2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y f() x liên tục trên 
 K (;) x00 h x h và có đạo hàm trên K hoặc trên Kx\{}0 , với h 0 . 
 Nếu fx'0 trên khoảng (;)x00 h x và fx'( ) 0 trên (;)x00 x h thì x0 là một điểm 
 cực đại của hàm số fx(). 
 Nếu fx 0 trên khoảng và fx ( ) 0 trên thì là một điểm 
 cực tiểu của hàm số . 
 Minh họa bằng bảng biến thiến 
  Chú ý. 
  Nếu hàm số y f() x đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì được gọi là điểm cực đại 
 (điểm cực tiểu) của hàm số; fx()0 được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của 
 hàm số, kí hiệu là ffCÑ ()CT , còn điểm M( x00 ; f ( x )) được gọi là điểm cực đại (điểm 
 cực tiểu) của đồ thị hàm số. 
  Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá 
 trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số. 
B. Cách tìm cực trị của hàm số 
 1. Quy tắc tìm cực trị của hàm số 
 CÁCH 1: 
 Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. 
 Bước 2. Tính fx . Tìm các điểm tại đó fx bằng 0 hoặc fx không xác định. 
 Bước 3. Lập bảng biến thiên. 
 Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. 
 Cách 2 
 Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. 
 Bước 2. Tính fx . Giải phương trình fx và ký hiệu xi i 1,2,3,... là các 
 nghiệm của nó. 
 Bước 3. Tính fx và fx i . ba3 8
 Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC là R 
 8 ab
 bb2
 42aa b2
 Bán kính đường tròn nội tiếp là r 
 b4 b b4 a 16 a 2 2 ab 3
 16a2 2 a 2 a
 22 22 
 Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC là: x y c y c 0 
 b44 a b a 
C. BÀI TẬP 
Câu 1. Cho hàm số y x32 32 x . Khẳng định nào sau đây là đúng? 
 A. Hàm số đạt cực đại tại x 2 và đạt cực tiểu tại x 0 . 
 B. Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 và đạt cực đại x 0 . 
 C. Hàm số đạt cực đại tại x 2và cực tiểu tại x 0 . 
 D. Hàm số đạt cực đại tại x 0 và cực tiểu tại x 2. 
 Hướng Dẫn 
 Giải tự luận 
 2 x 0
 y' 3 x 6 x 0 
 x 2
 Lập bảng biến thiên ta được hàm số đạt cực đại tại x 2 và đạt cực tiểu tại x 0 
 Sử Dụng Máy Tính Casio 
 Dựa vào đáp án các em thử y’(x). Ví dụ thử y’(2) 
 qyQ)^3$p3Q)d+2$2= 
 → A hoặc B đúng. Nhận thấy hệ số của x3 là 1 >0 →chọn B. 
 P/S những bài dễ này các em không nên bấm máy giải tay nhanh và chính xác hơn 
 nhé. Bấm máy kiểu này áp dụng cho những bài mà các em không nhìn ra đạo hàm 
 hoặc phương trình y ' = 0 phức tạp 
Câu 2. Cho hàm số y x42 23 x . Khẳng định nào sau đây là đúng? 
 A. Hàm số có ba điểm cực trị. B. Hàm số chỉ có đúng 2 điểm cực trị. 
 C. Hàm số không có cực trị. D. Hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị. 
 Hướng Dẫn 
 Chọn A 
 x 0
 3 
 y' 4 x 4 x 0 x 1 
 x 1
 y(0) 3; y (1) y ( 1) 2 nên hàm số có hai cực trị. Bấm máy tính: 
 xx2 33
 d 
 x 2 2
Bước 1: . 100 2 10403 10022 400 3 xx 4 3 
 dx
 x 100
 xx2 43
y ' ( bước này để tìm y’ thôi các em có thể đạo hàm tay) 
 (x 2)2
 2 xA 1 
Bước 2: Giải phương trình bậc hai : xx 43 
 xB 3 
 xx2 33
Bước 3: Nhập vào máy tính 
 x 2
Cacl x A C 
Cacl x B D 
Bước 4: Tính CD2 27 
Thực hiện 
qyaQ)d+3Q)+3RQ)+2$$100$O(100+2)d= 
→ 
w531=4=3==qJz=qJx 
w1aQ)d+3Q)+3RQ)+2rQz=qJc 
ErQx=qJj 
Qcdp2Qj= 
 y' B A
 Giờ lấy y '' 
 x 0.0001
 aQxpQzR0 
 Như vậy là y’’(3*2) = 6.5 rồi vậy loại A. 
 Với phương án B 
 qqyszQ)d+3Q)p2$$3P2=qJz 
 Giờ thử y’’(0) 
 E!!+0.0001=qJxaQxpQzR0.0001= 
 Vậy y’’(0) = -2 < 0 vậy chọn đáp án B 
 32
Câu 6. Cho hàm số y x 36 x x . Hàm số đạt cực trị tại hai điểm xx12, . Khi đó giá trị 
 của 
 22
 biểu thức S x12 x bằng: 
 A. 10 . B. 8. C.10. D. 8. 
 Hướng Dẫn 
 Giải Tự Luận 
 D 
 y' 3 x2 6 x 6 
 xA 13 
 Giải phương trình bậc hai : 3xx2 6 6 
 xB 13 
 Tính AB22 8 
 Sử Dụng Máy Tính Casio 
 w53z3=6=6==qJz=qJxw1Qzd+Qxd= 
 Câu 8. Hàm số bậc ba có thể có bao nhiêu điểm cực trị? 
 A. 0 hoặc 1 hoặc 2. B. 1 hoặc 2. C. 0 hoặc 2. D. 0 hoặc 1. 
 Hướng Dẫn 
 Giải Tự Luận 
 Hàm số bậc ba: y ax32 bx cx d,( a 0) có TXĐ: D 
 y' 3 ax2 2 bx c 
 '3 b2 ac 
 Nếu '0 thì y ' không đổi dấu trên nên hàm số không có cực trị. 
 Nếu '0 thì phương trình y '0 luôn có hai nghiệm phân biệt xx12, và y ' đổi dấu 
 khi x chạy qua xx12, nên hàm số đạt cực trị tại xx12, . 
Câu 9. Cho hàm số y f() x . Hàm số y f'( x ) có đồ thị như hình vẽ: 
 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 
 A. Đồ thị hàm số y f() x cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. 
 B. Đồ thị hàm số y f() x có hai điểm cực trị. 
 C. Đồ thị hàm số y f() x có ba điểm cực trị. 
 D. Đồ thị hàm số y f() x có một điểm có một điểm cực trị. 
 Hướng Dẫn 
 Chọn C 
 Các em quan sát thấy đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt nên y’ = 0 có 
 ba nghiệm phân biệt, và y’ đều đổi dấu khi đi qua ba nghiệm đó 
Câu 10. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ 
 thị hàm số: y x3 32 mx cắt đường tròn tâm I 1;1 bán kính bằng 1 tại 2 điểm 
 AB, mà diện tích tam giác IAB lớn nhất . 
 2 3
 A. m 1. B. m 1. 
 2 2
 5 6
 C. m 1. D. m 1. 
 2 2
 Hướng Dẫn Hướng Dẫn 
 Giải Tự Luận 
 Chọn C 
 Ta có : y 6 x2 6 m 1 x 6 m 
 x 1
 y '0 
 xm 
 Điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị là : m 1 
 Ta có : Am 1;3 1 B m;3 m32 m 
 Hệ số góc đt AB là : km 1 2 
 m 0 
 Đt AB vuông góc với đường thẳng yx 2 khi và chỉ khi k 1 
 m 2
 Sử Dụng Máy Tính Casio 
 Bước 1 : Bấm Mode 2 (CMPLX) 
 2
 yy'. '' 6x 6 M 1 x 6 M 12 x 6 M 1 
 Bước 2 : y 2 x32 3 M 1 x 6 Mx 
 18a 18.2
 Bước 3 : Cacl xi , M 100 
 Thực hiện 
 2Q)qdp3(Qm+1)Q)d+6QmQ)pa(6Q)dp6(Qm+1)Q)+6Qm)O(12Q)p6(Qm+
 1))R18O2 
 rqb=100= 
 Kết quả : 10100 9801.i . Hay : yx 10100 9801. 
 Nhận thấy 10100 mm2 và 9801 (m 1)2 
 Vậy phương trình đt qua 2 điểm cực trị là : y m2 m m 1 2 x 
 Có đt vuông góc với đường thẳng khi và chỉ khi 
 2 2 m 0
 k12 k 1 m 1 .1 1 ( m 1) 1 . 
 m 2
Câu 12. Cho hàm số y f() x . Hàm số y f'( x ) có đồ thị như hình vẽ: