Chuyên đề 21: Bất đẳng thức - Bồi dưỡng HSG Đại số 8

 Chương IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
 Chuyên đề 21. BẤT ĐẲNG THỨC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa
* Hệ thức dạng a b (hay a b; a b; a b ) gọi là bất đẳng thức.
* a b a b 0; a b a b 0 .
2. Tính chất
a) a b b a d) Tính chất nhân:
b) Tính chất bắc cầu: * a b ac bc nếu c 0
 a b; b c a c a b ac bc nếu c 0
 a b; b c a c a b ac bc nếu c 0
c) Tính chất cộng: * a b ac bc nếu c 0
 a b a c b c a b ac bc nếu c 0
 a b a c b c a b ac bc nếu c 0
e) Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức cùng chiều được một bất đẳng thức cùng chiều.
f) Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức 
thứ nhất. (Không được trừ vế với vế của hai bất đẳng thức cùng chiều)
g) a b 0 an bn n ¥ ;
 a b a2n b2n ;
 a b a2n 1 b2n 1 .
h) Với m n 0 nếu a 1 am an ;
 a 1 am an ;
 0 a 1 am an .
 1 1
i) Nếu ab 0 và a b thì 
 a b
3. Các phương pháp chứng minh A B ; ( A B tương tự):
1) Dùng định nghĩa chứng minh A B 0 (Xét hiệu hai vế).
2) Biến đổi tương đương: A B A1 B1 A2 B2 ... An Bn ;
 Nếu An Bn đúng thì A B đúng.
3) Phản chứng: Giả sử A B dẫn tới một điều vô lý. Vậy A B .
4) Chứng minh bằng quy nạp toán học:
 + Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức đúng với n n0 . Ví dụ 1: Cho a và b là hai số bất kỳ chứng minh rằng
 2
 a b a2 b2
 ab 
 2 2
* Tìm cách giải: Bài toán này thực chất gồm hai bài toán: Chứng minh
 2 2
 a b a2 b2 a b 
1) 1 ; 2) ab 2 .
 2 2 2 
Từ (1) và (2) ta suy ra kết quả.
Với mỗi câu 1) hoặc 2) ta đều có thể dùng 4 cách: Biến đổi tương đương; Xét hiệu hai vế; phản chứng và 
tổng hợp.
 Giải
Ta chứng minh 
 2
 a b a2 b2
1) bằng cả 4 cách:
 2 2
Cách 1: Biến đổi tương đương:
 2
 a b a2 b2 a2 2ab b2 a2 b2
 2 2 4 2
 a2 2ab b2 2a2 2b2 a2 2ab b2 0
 a2 2ab b2 0 a b 2 0 (hiển nhiên đúng).
Dấu “=” xảy ra a b .
Cách 2: Xét hiệu
 2 2
 a b a2 b2 a2 2ab b2 2a2 2b2 a b 
 0
 2 2 4 4
 2
 a b a2 b2
Vậy . Dấu “=” xảy ra a b .
 2 2
Cách 3: Phản chứng
 2 2 2
 a b a b 2 2 2 2
Giả sử a 2ab b 2a 2b
 2 2
 a2 2ab b2 0 a2 2ab b2 0 a b 2 0 vô lý.
 2
 a b a2 b2
Vậy . 
 2 2
Dấu “=” xảy ra a b .
Cách 4: Tổng hợp:
Ta có: a b 2 0 a2 2ab b2 0 a2 2ab b2 0 b) Xét hiệu a2 b2 x2 y2 ax by 2
 a2 x2 a2 y2 b2 x2 b2 y2 a2 x2 2axby b2 y2
 a2 y2 2aybx b2 x2 ay bx 2 0
Vậy a2 b2 x2 y2 ax by 2 a,b và x, y . Dấu “=” xảy ra ax by .
Áp dụng: Ta viết bất đẳng thức 2x 3z 3t 2 13 x2 z2 t 2 2zt 
 2 2 2 2 2 2 
Dưới dạng 2x 3 z t 2 3 x z 2zt t 
 2
Hay 2x 3 z t 22 32 x2 z t 2 
Đặt z t y thì 22 32 x2 y2 2x 3y 2 đúng theo bất đẳng thức vừa chứng minh ở trên.
Ví dụ 3: 
a) Chứng minh tổng các bình phương của hai số bất kỳ không nhỏ hơn hai lần tích hai số đó.
 1
b) Chứng minh với x 0 thì x 2 (tổng một số dương với nghịch đảo của nó không nhỏ hơn 2).
 x
c) Chứng minh với a,b,c,d là các số dương và thỏa mãn abcd 1 thì ab cd 2 và a2 b2 c2 d 2 4 .
* Tìm cách giải: a) Lưu ý a b 2 0
b) Khử mẫu, chuyển vế xuất hiện hằng bất đẳng thức.
 1
c) Lưu ý do abcd 1 nên cd , sử dụng kết quả b) để chứng minh.
 ab
 Giải
a) Gọi hai số a và b. Hiển nhiên a b 2 0 a2 2ab b2 0
 a2 b2 2ab
 1 2
b) Với x 0; x 2 x2 2x 1 0 x 1 0 đúng.
 x
Dấu “=” xảy ra x 1.
 1
c) Đặt ab x . Do a,b,c,d 0 và abcd 1 nên cd 
 ab
 1 1
 ab cd ab x 2
 ab x
* Ta luôn có a2 b2 2ab và c2 d 2 2cd
 Nên a2 b2 c2 d 2 2 ab cd 4 .
Dấu “=” xảy ra a b c d 1.
Ví dụ 4: b) Khó chứng minh trực tiếp. Ta đổi biến để chứng minh.
 Giải
 2
 a b c 2
a) ab bc ca a b c 3ab 3bc 3ca
 3
Xét hiệu
 a b c 2 3ab 3bc 3ca a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 3ab 3ac 3bc
 1
 a2 b2 c2 ab ac bc 2a2 2b2 2c2 2ab 2ac 2bc 
 2
 1
 a2 2ab b2 b2 2bc c2 c2 2ac a2 
 2
 2
 1 2 2 2 a b c 
 a b b c c a 0 . Chứng tỏ ab bc ca .
 2 3
Dấu “=” xảy ra a b c .
* Chú ý: a) Có thể biến đổi tương đương tiếp từ a b c 2 3ab 3bc 3ca
 a2 b2 c2 2 ab ac bc 3 ab ac bc 
 a2 b2 c2 ab ac bc bất đẳng thức đã được chứng minh ở ví dụ 4.
Ta có thể dùng các cách khác (phản chứng, tổng hợp đều được).
b) Cách 1: Đặt 3a 1 3x; 3b 1 3y; 3c 1 3z .
Do a b c 1 mà 3 a b c 3 3 x y z . Suy ra x y z 0 .
Ta có: 3a 2 3b 2 3c 2 1 3x 2 1 3y 2 1 3z 2
 1 6x x2 1 6y y2 1 6z z2 3 6 x y z x2 y2 z2 
 3 x2 y2 z2 3 (do x y z 0 )
 2 2 2 1
Vậy 3a 3b 3c 3 . Dấu “=” xảy ra a b c .
 3
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có:
 32 32 32 a2 b2 c2 3a 3b 3c 2 9 a b c 2 9
 27 a2 b2 c2 9 9a2 9b2 9c2 3
 2 2 2 1
Hay 3a 3b 3c 3 . Dấu “=” xảy ra a b c .
 3
Ví dụ 6: Chứng minh nếu a 1 thì với mọi số nguyên dương n, ta đều có 
 1 a n 1 na (Bất đẳng thức Becnuli) 1 1 1 1 2
 a1 a2 a3 ... an ... n , n 2;n ¥ 
 a1 a2 a3 an 
Chứng minh:
 1 1 1 1 
Ta có: a1 a2 a3 ... an ... 
 a1 a2 a3 an 
 a a a a a a a a a a a a 
 n 1 2 1 3 ... 1 n 2 3 ... 2 n ... n 1 n 
 a2 a1 a3 a1 an a1 a3 a2 an a2 an an 1 
 n 2 n 1 2 n 2 2 n 3 ... 2.2 2 
 n n 1 
n 2 1 2 ... n 1 n 2 n n2 n n2
 2
Dấu “=” xảy ra a1 a2 a3 ... an .
Ví dụ 8: Cho x; y; z 0 . Chứng minh rằng:
 x y z 3
y z z x x y 2
* Tìm cách giải: Ta thấy nếu cộng 1 vào mỗi hạng tử ở vế trái, sau khi quy đồng mẫu ta thấy xuất hiện nhân 
tử chung x y z . Vì thế ta biến đổi vế trái bằng cách thêm bớt cùng số 3 đưa về các dạng toán đã chứng 
minh.
 Giải
Biến đổi vế trái ta có:
 x y z x y z 
 1 1 1 3
y z z x x y y z z x x y 
 x y z x y z x y z 1 1 1 
 3 x y z 3
 y z z x x y y z z x x y 
 1 1 1 1 9 3
 x y y z z x 3 3 
 2 y z z x x y 2 2
[Áp dụng kết quả ví dụ 7b với x y a; y z b; z x c ].
Ví dụ 9: Cho a,b,c 0 chứng minh rằng:
a) a b b c c a 8abc
 2
 1 1 1 1 1 1 
b) 3 4 
 ab bc ca a b b c c a 
* Tìm cách giải: Để có a b b c c a thử xét a b 2 b c 2 c a 2 vì ta có x y 2 4xy (bất 
đẳng thức Cauchy).
 Giải 1 1 4k 5 4k 1 1 1 1 
 4k 1 4k 5 4 4k 1 4k 5 4 4k 1 4k 5 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Do đó: A ... 
 4 5 9 9 13 4n 1 4n 5 4 5 4n 5 20
Ví dụ 11: Chứng minh rằng x ¡ :
 x 1012 x 1004 2016
 Giải
Áp dụng bất đẳng thức a b a b
x 1012 x 1004 x 1012 1004 x x 1012 1004 x 2016 .
Dấu “=” xảy ra 1012 x 1004 .
C. Bài tập vận dụng
21.1.
 a b
a) Cho A . Chứng minh A 2 nếu ab 0 và A 2 nếu ab 0 ;
 b a
 2
 a2 b2 c2 a b c 
b) Chứng minh a,b,c thì ;
 3 3 
 3
 a b a3 b3
c) Chứng minh a,b 0 .
 2 2
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) Với ab 0 . Ta có a b 2 0 a2 b2 2ab
Chia hai vế của bất đẳng thức cho ab 0 ta có
a2 b2 2ab a b
 2 . Dấu “=” xảy ra a b .
 ab ab b a
Với ab 0 . Ta có a b 2 0 a2 b2 2ab . Chia hai vế của bất đẳng thức cho ab 0 ta có
a2 b2 2ab a b
 2 .
 ab ab b a
Dấu “=” xảy ra a b .
b) Chứng minh: Từ a b 2 b c 2 c a 2 0
 2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc
 3 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc
 3 a2 b2 c2 a b c 2
Chia 2 vế của bất đẳng thức này cho 9 ta có đpcm.