Chuyên đề 20: Hình chóp đều - Bồi dưỡng HSG Toán hình 8

 Chuyên đề 20
 HÌNH CHÓP ĐỀU
A. Kiến thức cần nhớ
1. Mô tả hình chóp - hình chóp đều
• Hình chóp có đáy là một đa giác.
Các mặt bên là những tam giác chung đỉnh.
Đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với
mặt phẳng đáy gọi là đường cao của hình chóp.
• Hình chóp đều là hình chóp có mặt đáy là một đa giác đều, các mặt 
bên là những tam giác cân bằng nhau (h.20.1).
• Trong hình chóp đều, chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy, ví dụ SH. Đường cao của mỗi mặt 
bên vẽ từ đỉnh S gọi là trung đoạn của hình chóp, ví dụ SM.
2. Hình chóp cụt đều
Cắt hình chóp đều bằng một mặt phẳng song song với đáy.
 Phần hình chóp nằm giữa mặt phẳng đó và mặt phẳng đáy
 gọi là hình chóp cụt đều (h.20.2).
Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là 
một hình thang cân.
3. Diện tích xung quanh của hình chóp đều
• Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn.
 Sxq=p.d
 (p là nửa chu vi đáy; d là trung đoạn).
• Diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều bằng:
- Diên tích một mặt bên nhân với số mặt bên;
- Diện tích xung quanh của hình chóp đều lớn trừ đi diện tích xung quanh
của hình chóp đều nhỏ; hoặc:
 Sxq = (p + p').d
 (Trong đó: - p, p' là nửa chu vi đáy lớn, đáy nhỏ.
 - d là trung đoạn của mặt bên.)
4. Thể tích của hình chóp đều
 1
 V S.h
 3
 (S là diện tích đáy; h là chiều cao). Vì BC  mp SBC nên muốn chứng minh mp SBC  mp SAM 
ta chỉ cần chứng minh BC vuông góc với AM và SM.
* Trình bày lời giải
a) SA  mp ABC SA  AB;SA  AC.
 SAB SAC (c.g.c) SB SC.
Xét ∆SBC cân tại S SM  BC;
Xét ∆ABC đều AM  BC . Suy ra BC  mp SAM ..
Mặt khác BC  mp SBC nên mp SBC  mp SAM .
 1
b) Xét ∆SAM vuông tại A, S· MA 30o nên SA SM hay SM 2SA
 2
 1 1
Diện tích ∆BCS là: BC.SM BC.2SA BC.SA. (1)
 2 2
Tổng diện tích các ∆ABS và ∆ACS là:
1 1 1
 AB.SA AC.SA SA BC BC SA.BC (2)
2 2 2
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Ví dụ 3: Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD.A'B'C'D'. Một mặt phẳng song song với đáy của hình chóp 
cụt cắt các cạnh A A' B B' C C', DD' lần lượt tại M, N, P, Q. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình 
vuông.
 Giải (h.20.5) 
Gọi S là đỉnh của hình chóp sinh ra hình chóp cụt.
 Vì mp MNPQ / /mp ABCD nên hình chóp cụt ABCD.MNPQ là hình chóp cụt đều. Các mặt bên của 
nó đều là hình thang cân.
Suy ra: NP / /BC; MQ / / AD.
Mặt khác BC / / AD nên NP / /MQ
Chứng minh tương tự ta được MN / /PQ . 
Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành.
 BC SB
Xét ∆SBC có NP / /BC nên . 1 
 NP SN
 AB SB
Xét ∆SAB có MN / / AB nên (2)
 MN SN
 BC AB
Từ (l) và (2) mà BC AB nên NP MN.
 NP MN
Hình bình hành MNPQ có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi. 2
 Stp 36 7 36 3 36 7 3 157,6 (cm ).
Ví dụ 5. Cho hình chóp cụt tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh bên bằng 17cm, cạnh đáy lớn bằng 28cm, 
cạnh đáy nhỏ bằng 12cm. Tính diện tích xung quanh của hình chóp cụt.
 Giải (h.20.7)
* Tìm hướng giải
Để tính diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều khi đã biết độ dài của cạnh đáy lớn, độ dài cạnh đáy 
nhỏ còn phải tính chiều cao của mặt bên.
* Trình bày lời giải 
Trong mặt bên A’B’BA vẽ A’H  AB ta được:
 AB A' B ' 28 12
AH 8 (cm).
 2 2
Xét A' AH vuông tại H, ta có:
A' H 2 AA'2 AH2 172 82 225 A' H 15 (cm).
Diện tích xung quanh của hình chóp cụt là: 
 12 28 15
S .3 900 (cm2)
 xq 2
C. Bài tập vân dụng
• Chứng minh song song, vuông góc. Tính chiều cao
20.1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Trên các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt lấy các điểm A', B', C', 
D' sao cho SA' SB ' SC ' SD ' . Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm A', B', C, D' cùng thuộc một mặt phẳng. Có nhận xét gì về mặt phẳng (A'B'C'D') và 
mp(ABCD).
b) mp SAC  mp SBD . 
20.2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Cho biết SA  SC.Chứng minh rằng các mặt bên là những tam 
giác đều. 
20.3. Cho hình chóp S.ABC, cả bốn mặt là những tam giác đều có cạnh bằng a. Gọi M, N, P, Q lần lượt là 
trung điểm của SC, SB, AB, AC. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.
20.4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, các mặt bên là những tam giác vuông cân tại S.
a) Chứng minh rằng mỗi mặt bên vuông góc với hai mặt bên còn lại.
b) Gọi độ dài của mỗi cạnh đáy là a, Tính chiều cao của hình chóp.
20.5. Một hình chóp cụt tứ giác đều có diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy. Biết cạnh đáy 
lớn bằng 6cm, cạnh đáy nhỏ bằng 4cm. Tính chiều cao của hình chóp cụt đều.
20.6. Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD.A1 B1 C1 D1 có cạnh AB a, A1 B1 b a b . Một mặt phẳng 
song song với hai đáy của hình chóp cụt cắt các cạnh AA1 , BB1 ,CC1 và CC1 lần lượt tại A2 , B2 ,C2 , D2 và 
chia hình chóp cụt lớn thành hai hình chóp cụt nhỏ có diện tích xung quanh bằng nhau. Gọi c là cạnh Chứng minh tương tự, ta được:CD '/ /CD .
Mặt khác AB / /CD nên A' B '/ /C ' D '. 
Từ đó suy ra bốn điểm A', B ',C ', D 'cùng nằm trên một mặt phẳng.
Ta có: A' B '/ / AB; B 'C '/ /BC mà A'B' và B'C' cắt nhau tại B'; AB và 
BC cắt nhau tại B.
Từ đó suy ra: mp A' B 'C ' D ' / /mp ABCD .
 b) Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Vì S.ABCD là hình chóp đều nên 
AO  SO; AO  DO AO  mp SOD . 
Vì AO  mp SAC nên mp SAC  mp SBD .
20.2. (h.20.9) 
Ta đặt 
 a 2
AB a AC a 2 OA 
 2
Xét ∆SAC có SA SC; ·ASC 90o
nên ∆SAC vuông cân S· AO 45o
Xét ∆SOA có S· OA 90o , S· AO 45o
nên ∆SOA vuông cân SO OA
 2 2
 2 2
 2 2 2 a 2 a 2 a a 2
Ta có: SA SO OA a 
 2 2 2 2
Do đó SA a .
Xét mặt bên SAB có SA SB AB a nên là tam giác đều. Do đó các mặt bên là những tam giác đều.
20.3. (h.20.10)
 BC
Xét ∆SBC có MN là đường trung bình nên MN / /BC MN (1) 
 2
 BC
Xét ∆ABC có PQ là đường trung bình nên PQ / /BC và MN (2)
 2
Từ (1) và (2) suy ra MN / /PQ và MN PQ .
Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành. Ta có:
 BC a SA a
MN ;MQ .
 2 2 2 2
Vậy MN MQ , suy ra hình bình hành MNPQ là hình thoi.
 a 3
Xét QBS có QB QS nên ∆QBS cân NQ  SB .
 3 6 4 .MM '
Diện tích xung quanh là: S .4 20MM '(cm2 ).
 xq 2
Theo đề bài ta có: 20MM ' 52 MM ' 2,6 (cm).
Xét M ' HM vuông tại H, ta có:
M ' H M 'M 2 HM 2 2.6 2 12 2,4 (cm).
Do đó chiều cao của hình chóp cụt đều là 2,4cm.
20.6. (h.20.13) 
Gọi S là đỉnh hình chóp sinh ra hình chóp cụt.
Gọi diện tích xung quanh của hình chóp S.ABCD và hình chóp 
S.A2 B2C2 D2 lần lượt là S và S2 .
Gọi các độ dài trung đoạn cùa hình chóp S.ABCD và hình chóp 
S.A2 B2C2 D2 lần lượt là d và d2. Ta có:
 4a 4c
S .d 2ad;S .d 2cd . 
 2 2 2 2 2
Xét ∆SBC có BC / /B2C2 nên:
d SB BC a
 .
d2 SB2 B2C2 c
 S 2ad a a a2
Do đó . 2
 S2 2cd2 c c c
 2
 S1 b
Chứng minh tương tự, ta được: 2
 S2 c
Theo đề bài ra ta có: S S2 S2 S1
 S S1
Suy ra: 2S2 S S1 , do đó 2 .
 S2
 2 2 2 2 2 2
 S S1 a b a b 2 a b
Vậy 2 hay 2 2 2 2 2 c .
 S2 S2 c c c 2
20.7. (h.20.14) 
* Tìm cách giải
Để tìm thể tích của hình chóp đều khi đã biết cạnh đáy ta cần tính chiều 
cao của hình chóp. Có thể vận dụng định lý Py-ta-go để tính.
* Trình bày lời giải
ABCD là hình vuông cạnh a 2 nên BD a 2. 2 2a OB a.
Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO  mp ABCD SOB vuông tại 
O. Theo định lý Py-ta-go đảo thì ∆SAB vuông SA  SB..
Chứng minh tương tự, ta có: SB  SC;SC  SA.
 3
Vậy max S a2 khi SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một.
 xq 2
20.10. (h.20.17) 
Ta đặt BC 2a và trung đoạn SM d(a d) .
 2a.4
Khi đó S .d 4ad.
 xq 2
Theo đề bài ta có: 4ad 48 ad 12 (1)
Xét ∆SMC vuông tại M, ta có: MC 2 SM 2 SC 2 .
Do đó a2 d 2 25 . Suy ra a2 d 2 2ad 25 24
 a d 2 49 a d 7 .(2)
 a d 7 a 4;d 3 (lo¹i)
Từ (1) và (2) ta được: 
 ad 12 a 3;d 4 (Tháa m·n).
Khi đó SO2 SM 2 OM 2 d 2 a2 16 9 7 h SO 7 (cm). 
 1 1
Vậy thể tích hình chóp là: V S.h .62. 7 12 7 (cm3).
 3 3
20.11. (h.20.18) 
Xét ∆SOC vuông tại O, ta có:
OC 2 SC 2 SO2 172 152 64 OC 8 cm CM 12 cm 
Gọi độ dài cạnh đáy là a.
 a 3 24
Ta có: CM a 3 24 a (cm)
 2 3
Diện tích đáy của hình chóp S.ABC là:
 2 2
 a 3 24 3 2
S1 . 48 3 (cm )
 2 3 4
Thể tích của hình chóp S.ABC là: 
 1 1
V .S .h .48. 3.15 240 3 (cm3)
 1 3 1 1 3
Theo tính chất đường trung bình của tam giác ta có
A' B '/ / AB; A'C '/ / AC ; suy ra mp(A' B 'C ') / /mp(ABC).
Do đó hình chóp cụt A' B 'C '.ABC là hình chóp cụt đều.
 SO ' SC ' 1
Xét ∆SOC có SO 7,5 cm.
 SO SC 2
 1 12
Ta có: A'C ' AC (cm). Do đó diện tích tam giác A'B'C là: 
 2 3