Chuyên đề 2: Hình thang, hình thang cân - Bồi dưỡng HSG Toán hình 8

 Chuyên đề 2.
 HÌNH THANG . HÌNH THANG CÂN.
 DỰNG HÌNH THANG
A. Kiến thức cần nhớ
 1. Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song (h.2.1)
 Đặc biệt : Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông (h.2.2)
 2. Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau (h.2.3)
 3. Trong hình thang cân :
 - Hai cạnh bên bằng nhau ;
 - Hai đường chéo bằng nhau ( h.2.4)
 4. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân :
 - Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân ;
 - Hình thang có hai đối bù nhau là hình thang cân ;
 - Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
 5. Dựng hình
 • Dụng cụ dựng hình : Thước và compa.
 • Các bước giải một bài toán dựng hình :
 - Phân tích ;
 - Cách dựng;
 - Chứng minh;
 - Biện luận.
 Đối với một bài toán dựng hình đơn giản ta có thể không trình bày bước phân tích .
 • Để dựng hình thang ta cần biết bốn yếu tố của nó, trong đó số góc cho trước không quá hai. Ví dụ 3. Một hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên và góc kề với đáy lớn bằng 60 . Biết chiều cao của 
hình thang cân này là a 3 . Tính chu vi của hình thang cân.
 Giải(h.2.7)
 * Tìm cách giải
 Ta đã biết hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau. Từ đó 
ta vẽ thêm hình phụ để tìm sự liên hệ giữa đáy lớn và ba cạnh còn lại. Ta vẽ AM / /BC M CD . Mặt khác, 
đề bài có cho góc 60 , gợi ý cho ta vận dụng tính chất của tam giác đều để tính độ dài mỗi cạnh theo chiều 
cao của nó .
 *Trình bày lời giải
 Ta đặt AD AB BC x.
 Vẽ AM / /BC M CD , ta được 
 AM BC x và MC AB x
 VADM cân, có Dµ 60 nên là tam giác đều.
 suy ra: DM AD x.
 Vẽ AH  CD thì AH là đường cao của hình thang cân, cũng là đường cao của tam giác đều: 
 AD 3 x 3
 AH . Vì AH a 3 nên a 3 x 2a.
 2 2
 Do đó chu vi của hình thang cân là : 2a.5 10a.
Nhận xét: Qua một đỉnh vẽ đường thẳng song song với một cạnh bên của hình thang là một cách vẽ hình phụ 
 để giải bài toán về hình thang.
Ví dụ 4. Dựng hình thang ABCD AB / /CD biết: 
 AB 2cm,CD 5cm,Cµ 40; Dµ 70.
 Giải(h.2.8)
a) Phân tích 
 Giả sử ta đã dựng được hình thang ABCD thỏa mãn đề bài. 
 Vẽ AE / /BC E CD ta được 
 ·AED Cµ 40, EC AB 2cm và DE DC EC 5 2 3cm.
- VADE dựng được ngay g.c.g .
- Điểm C thỏa mãn hai điều kiện: C nằm trên tia DE và C cách D là 5cm.
- Điểm B thỏa mãn hai điều kiện: B nằm trên tia Ax / /DE ( hai tia Ax và DE cùng nằm trên một nửa mặt 
phẳng bờ AD ) và B cách A là 2cm.
b) Cách dựng 
-Dựng VADE sao cho DE 3cm; Dµ 70; Eµ 40 Nhận xét : Đề bài có cho đoạn thẳng 2cm nhưng trên hình vẽ chưa có 
 đoạn thẳng nào như vậy. Ta đã làm xuất hiện đoạn thẳng DC 2cm 
 bằng cách trên AC ta đặt AD AB . Khi đó DC chính là hiệu 
 AC AB . Cũng có thể làm xuất hiện đoạn thẳng 2cm bằng cách trên tia 
 AB ta đặt AE AC (h.2.10).
 Khi đó : BE AE AB AC AB 2cm .
 VAEC cân, có µA 700
 Eµ 1800 700 : 2 550 .
 VBEC xác định được.
 Khi đó điểm A thỏa mãn hai điều kiện : A nằm trên tia EB và A nằm trên đường trung trực của EC .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG 
 • Hình thang
 2.1 Cho tứ giác ABCD . Các tia phân giác của góc A , góc D cắt nhau tại M . Các tia phân giác 
 của góc B , góc C cắt nhau tại N .
 Cho biết ·AMD 900 , chứng minh rằng :
 a) Tứ giác ABCD là hình thang.
 b) NB  NC .
 2.2 Cho hình thang ABCD vuông tại A và D . Gọi M là trung điểm của AD . Cho biết 
 MB  MC .
 a) Chứng minh rằng: BC AB CD .
 b) Vẽ MH  BC . Chứng minh rằng tứ giác MBHD là hình thang.
 2.3. Chứng minh rằng trong một hình thang vuông, hiệu các bình phương của hai đường chéo bằng 
 hiệu các bình phương của hai đáy.
 2.4. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D . Cho biết AD 20, AC 52 và BC 29 . Tính độ 
 dài AB .
 • Hình thang cân
 2.5. Cho tam giác đều ABC , mỗi cạnh có độ dài bằng a . Gọi O là một điểm bất kì ở trong tam 
 giác. Trên các cạnh AB, BC,CA lần lượt lấy các điểm M , N, P sao cho 
 OM / / BC; ON / / CA và OP / / AB . Xác định vị trí của điểm O để tam giác MNP là tam 
 giác đều. Tính chu vi của tam giác đều đó.
 2.6. Cho hình thang ABCD (AB / / CD), ·ADC B· CD .
 Chứng minh rằng : AC BD . VHCM VDCM (cạnh huyền – góc nhọn) CH CD VCHD cân .
 CM  DH . (2)
 Từ (1) và (2) suy ra BM / / DH do đó tứ giác MBHD là hình thang.
2.3. (h.2.13)
 Xét hình thang ABCD vuông tại A và D . Giả sử AB CD . 
 áp dụng định lý Py-ta-go, ta có : AC 2 AD2 DC 2 ; BD2 AD2 AB2 .
 Suy ra AC 2 BD2 (AD2 DC 2 ) (AD2 AB2 ) .
 Do đó AC 2 BD2 CD2 AB2 .
2.4. (h.2.14)
 Vẽ BH  CD ta được AB DH; BH AD 20 .
 Xét VBHC vuông tại H có:
 HC 2 BC 2 BH 2 292 202 441 HC 21.
 Xét VADC vuông tại D có:
 CD2 AC 2 AD2 522 202 2304 CD 48.
 Do đó: DH CD HC 48 21 27 AB 27 .
 Nhận xét: Bài này đã vẽ thêm đường cao BH của hình thang. Đó là một cách vẽ hình phụ thường dùng 
 khi giải toán về hình thang.
2.5. (h.2.15)
 Tứ giác MONB có OM / / BC nên là hình thang. Hình thang này có M· BN O· NB ( ·ACB) nên là hình 
 thang cân.
 Chứng minh tương tự ta được các tứ giác ONCP, OMAP cũng là hình thang cân.
 Suy ra: MN OB; NP OC; MP OA .
 Do đó VMNP là tam giác đều MN NP PM .
 OB OC OA O là giao điểm của ba đường trung trực của VABC .
 Trong tam giác đều, giao điểm của ba đường trung trực cũng là giao điểm 
 của ba đường cao, ba đường trung tuyến.
 a 3
 Chiều cao h của tam giác đều cạnh a được tính theo công thức: h .
 2
 2 2 a 3 a 3
 OA h . .
 3 3 2 3
 a 3
 Do đó chu vi của VMNP là: .3 a 3 .
 3
2.6. (h.2.16) Qua A vẽ một đường thẳng song song với CD cắt tia CB tại B '
 . Hình thang AB 'CD có hai góc ở đáy bằng nhau nên là hình 
 thang cân.
 - Vậy nếu B ' trùng với B thì tứ giác ABCD là hình thang cân.
 - Nếu B ' không trùng với B , ta có: AC B ' D .
 Mặt khác, AC BD nên B ' D BD .
 Do đó VDBB ' cân D· B ' B D· BB ' 900 , vô lí.
 Vậy B ' trùng với B và tứ giác ABCD là hình thang cân.
2.9. (h.2.20)
 a) Phân tích:
 Vẽ BE / / AC ( E tia DC ), ta được:
 D· BE 1100 , BE AC 4cm, CE AB 2cm .
 - VBDE dựng được ngay (c.g.c);
 - Điểm A thỏa mãn hai điều kiện: A nằm trên tia Bx / / DE 
 và cách B là 2cm .
 - Điểm C thỏa mãn hai điều kiện: C nằm trên tia ED và cách 
 E là 2cm .
 b) Cách dựng:
 - Dựng VBDE sao cho D· BE 1100 , BD 3cm, BE 4cm .
 - Dựng tia Bx / / DE và trên đó đặt BA 2cm (hai tia Bx và ED cùng nằm trên một nửa mặt phẳng 
 bờ BE ).
 - Trên tia ED đặt EC 2cm .
 - Nối AD, BC ta được hình thang ABCD phải dựng.
 c) Chứng minh:
 Tứ giác ABCD theo cách dựng có AB / / CD nên là hình thang.
 Xét hình thang ABEC có AB EC 2cm nên AC / / BE và AC BE 4cm .
 D· OC D· BE 1100 B· OC 700
 Hình thang ABCD theo cách dựng có:
 AB 2cm, BD 3cm, AC 4cm và B· OC 700 .
 d) Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình.
2.10. (h.2.21)
 Cách dựng:
 - Dựng VABD sao cho µA 1200 , AD 2, DB 4 .
 - Dựng tia Dx / / AB (hai tia Dx và AB cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AD ). VABD vuông cân tại B nên Dµ 450 .
 m0
 Góc ACB là góc ngoài của tam giác cân CAE nên ·ACB 2Eµ Eµ .
 2
 - VADE dựng được (g.c.g).
 - Điểm B thỏa mãn hai điều kiện: B nằm trên đoạn thẳng DE và AB  DE .
 - Điểm C thỏa mãn hai điều kiện: C nằm trên đoạn thẳng DE và nằm trên đường trung trực của AE 
 (vì C cách đều hai đầu đoạn thẳng AE ).
b) Cách dựng:
 m0
 - Dựng VADE sao cho DE 8cm; Dµ 450 và Eµ .
 2
 - Dựng AB  DE (B DE) .
 - Dựng đường trung trực của AE cắt DE tại C .
 - Nối AC ta được VABC phải dựng.
c) Chứng minh :
 VABD vuông tại B có Dµ 450 nên là tam giác vuông cân BA BD .
 Điểm C nằm trên đường trung trực của AE nên CA CE .
 mo
 VABC có AB BC CA BD BC CE DE 8cm; Bµ 900 và ·ACB 2.Eµ 2. mo .
 2
d) Biện luận :
 - Nếu m 90 thì bài toán không có nghiệm hình.
 - Nếu 0 m 90 thì bài toán có một nghiệm hình.