Chuyên đề 2: Các hằng đẳng thức đáng nhớ - Bồi dưỡng HSG Đại số 8

 Chương I. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
Chuyên đề 2. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
A. Kiến thức cần nhớ
 • A B 2 A2 2AB B2 (1)
 • A B 2 A2 2AB B2 (2)
 • A2 B2 A B A B (3)
 • A B 3 A3 3A2B 3B2 A B3 A3 B3 3AB A B (4)
 • A B 3 A3 3A2B 3AB3 B3 A3 B3 3AB A B (5)
 • A3 B3 A B A2 AB B2 (6)
 • A3 B3 A B A2 AB B2 (7)
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức :
a)A x 2 2 4 x 2 x 2 x 4 2
 2
b)B 3x2 2x 1 3x2 2x 1 3x2 1 
 2
c)C x2 5x 2 2. 5x 2 x2 5x 2 5x 2 2
 Giải
Tìm cách giải. Rút gọn biểu thức là biến đổi viết biểu thức ấy dưới dạng đơn giản hơn. Trong mỗi biểu thức 
đều ẩn chứa hẳng đẳng thức, vì vậy chúng ta dùng hằng đẳng thức để khai triển và thu gọn các đơn thức 
đồng dạng.
Trình bày lời giải
a) Ta có:
A x 2 2 4 x 2 x 2 x 4 2
 x2 4x 4 4 x2 4 x2 8x 16
 6x2 4x 4
b) Ta có :
 2
B 3x2 2x 1 3x2 2x 1 3x2 1 
 2 2
 3x2 1 2x 2 3x2 1 
 2x 2 4x2
c) Ta có :
 2
C x2 5x 2 2. 5x 2 x2 5x 2 5x 2 2 2
 20203 1 2020 1 2020 2020 1 
a)A 2021
 20202 2019 20202 2020 1
 2
 20203 1 2020 1 2020 2020 1 
b)B 2019 
 20202 2021 20202 2020 1
Ví dụ 5: Cho x y 2 . Tính giá trị A 2 x3 y3 3. x y 2
 Giải
Tìm cách giải. Dựa vào giả thiết và kết luận ta nghĩ tới hai hướng sau:
• Biến đổi biểu thức A nhằm xuất hiện x y để thay bằng số 2.
• Từ giả thiết, suy ra x y 2 thay vào kết luận, ta được biểu thức chỉ chứa biến y. Sau đó rút gọn biểu 
 thức.
Trình bày lời giải
Cách 1. Ta có :
A 2 x3 y3 3 x y 2
 2 x y x2 y2 xy 3 x y 2 4xy 
 4 x2 y2 2xy 3xy 3 x y 2 12xy
 4 x y 2 3 x y 2 12xy 12xy x y 2 4
Cách 2. Từ giả thiết, suy ra x y 2 thay vào biểu thức A ta có :
A 2 y 2 3 y3 3 y 2 y 2
 2 y3 6y2 12y 8 y3 3 2y 2 2
 12y2 24y 16 12y2 12y 12 4
Ví dụ 6: Tìm các số thực x, y thỏa mãn x2 26y2 10xy 14x 76y 58 0
 Giải
Tìm cách giải. Để tìm số thực x, y thỏa mãn đa thức hai biến bậc hai bằng 0, chúng ta định hướng biến đổi 
đưa đa thức đó thành tổng bình phương của hai biểu thức. Sau đó áp dụng A2 B2 0 khi và chỉ khi A 0 
và B 0 . Từ đó tìm được x, y.
Trình bày lời giải 
Ta có :
x2 26y2 10xy 14x 76y 58 0
 x2 10xy 25y2 14 x 5y 49 y2 6y 9 0
 (x 5y)2 14(x 5y) 49 (y 3)2 0 
 x 5y 7 2 y 3 2 0 a 2 2 b 2 2 c 2 2 0
Dấu bằng xảy ra khi a b c 2
 P 1 2020 1 2020 1 2020 3
Ví dụ 9: Cho a2 b2 4c2 . Chứng minh rằng:
 5a 3b 8c 5a 3b 8c 3a 5b 2
 Giải
Tìm cách giải . Quan sát đẳng thức cần chứng minh, chúng ta nhận thấy vế trái có chứa c, vế phải không 
chứa c. Do vậy chúng ta cần biến đổi vế trái của đẳng thức, sau đó khử c bằng cách thay 4c2 a2 b2 từ giả 
thiết. Để thực hiện nhanh và chính xác, chúng ta nhận thấy vế trái có dạng hằng đẳng thức (3).
Trình bày lời giải
Biến đổi vế trái :
 5a 3b 8c 5a 3b 8c 
 5a 3b 2 64c2 25a2 30ab 9b2 64c2
 25a2 30ab 9b2 16 a2 b2 do 4c2 a2 b2 
 9a2 30ab 25b2 3a 5b 2
Vế trái bằng vế phải. Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 10: Phân tích số 27000001 ra thừa số nguyên tố.
Tính tổng các ước số nguyên tố của nó.
 Giải
Tìm cách giải . Chúng ta có thể vận dụng hằng đẳng thức để phân tích một số ra thừa số nguyên tố.
Trình bày lời giải
Ta có:
27000001 3003 1 300 1 3002 300 1 
301 300 1 2 302 301 300 1 30 300 1 30
 301.271.331 7.43.271.331
Tổng các ước số nguyên tố của nó là : 7 43 271 331 652
Ví dụ 11: Cho các số x, y thỏa mãn đẳng thức x4 x2 y2 y4 4; x8 x4 y4 y8 8
hãy tính giá trị biểu thức A x12 x2 y2 y12
 Giải
Ta có :
 2
 x4 x2 y2 y4 x4 x2 y2 y4 x4 y4 x4 y4 Với x 19 thì B 19 1 3 1 8000 1 8001
c) Ta có :
C x4 2x3 3x2 2x 2
 x4 2x3 x2 2x2 2x 2
 2
 x2 x 2. x2 x 1 1
 2
 x2 x 1 1
Với x2 x 8 C 8 1 2 1 81 1 82 .
2.3. Tính hợp lý :
 3562 1442
a)A b)B 2532 94.253 472
 2562 2442
c)C 1632 92.136 462 d)D 1002 982 ... 22 992 972 ... 12 
 Hướng dẫn giải – đáp số
 3562 1442 356 144 356 144 500.212 53
a)A 
 2562 2442 256 244 256 244 500.12 3
b)B 2532 94.253 472 2532 2.47.253 472 253 47 2 3002 90000
c)C 1362 92.136 462 1362 2.46.136 462 136 46 2 902 8100
d)D 1002 982 ... 22 992 972 ... 12 
 1002 992 982 972 ... 22 12 
 100 99 100 99 98 97 98 97 ... 2 1 2 1 
 1. 100 99 1. 98 97 ... 1. 2 1 
 100 99 ... 1 100 1 99 2 ... 51 50 
 101 101 ... 101 101.50 5050
2.4. Tính giá trị biểu thức :
 20212 2020 2019 20192 20202 2021 
A .
 2020 1 20203 1 20203 1
 Hướng dẫn giải – đáp số
 20212 20202 2019 20192 2020 2021 
A .
 20202 1 20203 1 20203 1
 20212 20202 2020 1 20192 20202 2020 1 
 .
 2020 1 2020 1 2020 1 20202 2020 1 2020 1 20202 2020 1 2
 20x x 2 x 3 19
 20x 1 19
 9
 20x 18 x 
 10
b) x 2 x2 2x 4 x x2 5 15
 x3 8 x3 5x 15
 7
 5x 8 15 5x 7 x 
 5
c) x 1 3 2 x 4 2x x2 3x x 2 17
 x 1 3 8 x3 3x2 6x 17
 x3 3x2 3x 1 8 x3 6x 17
 9x 7 17
 10
 9x 10 x 
 9
2.7. Biết xy 11 và x2 y xy2 x y 2016 . Hãy tính giá trị : x2 y2
 Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có: x2 y xy2 x y 2016
 xy x y x y 2016
 11 x y x y 2016
 12 x y 2016 x y 168
Mà x2 y2 x y 2 2xy 1682 2.11 28202
2.8. Cho a b 7 . Tính giá trị biểu thức :
A a2 a 1 b2 b 1 3ab a b 1 ab
 Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có : A a3 a2 b3 b2 3ab a b 3ab ab
 a3 3ab a b b3 a2 b2 2ab
 a b 3 a b 2 73 72 392
2.9. Chứng minh rằng với mọi x ta có :
a)x x 6 10 0 b) x 3 x 5 3 0
c)x2 x 1 0
 Hướng dẫn giải – đáp số 2 1
 x ; y 
 3 2
2.11. Chứng minh không tồn tại x; y thỏa mãn:
a)x2 4y2 4x 4y 10 0 b)3x2 y2 10x 2xy 29 0
c)4x2 2y2 2y 4xy 5 0
 Hướng dẫn giải – đáp số
a)x2 4y2 4x 4y 10 0
 x2 4x 4 4y2 4y 1 5 0
 x 2 2 2y 1 2 5 0
Mà x 2 2 2y 1 2 5 5 0
Suy ra không có x, y thỏa mãn đề bài.
b)3x2 y2 10x 2xy 29 0
 x2 2xy y2 2x2 10x 29 0
 x y 2 2 x 2,5 2 16,5 0
Mà x y 2 2 x 2,5 2 16,5 16,5 0
Suy ra không có x, y thỏa mãn đề bài.
c)4x2 2y2 2y 4xy 5 0
 4x2 4xy y2 y2 2y 1 4 0
 2x y 2 y 1 2 4 0
Mà 2x y 2 y 1 2 4 4 0
Suy ra không có x, y thỏa mãn đề bài.
2.12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
a)A 15 8x x2 b)B 4x x2 2
c)C x2 y2 4x 4y 2
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có : A 15 8x x2 31 16 8x x2 31 4 x 2 31
Vậy giá trị lớn nhất của A là 31 khi x 4
b) Ta có B 6 4 4x x2 6 2 x 2 6
Vậy giá trị lớn nhất của B là 6 khi x 2
c) Ta có : C 10 x2 4x 4 y2 4y 4 10 x 2 2 y 2 2 10 Ta có :
 2020 2 2020 2
A 9 9...9 10 1 nên A 10 1 
 2020 ch÷ sè 9
 4040 2020
 10 2.10 1 99...9800...01
 2019 2019
Tổng các chữ số của A2 là : 9 2019 8 1 18180
Tổng các chữ số của A là : 9 2020 18180
Vậy tổng các chữ số của A2 và tổng các chữ số của A bằng nhau.
2.17. Chứng minh rằng:
Nếu a b 2 b c 2 c a 2 a b 2c 2 b c 2a 2 c a 2b 2
thì a b c .
 Hướng dẫn giải – đáp số
Từ giả thiết ta có :
 a b 2c 2 a b 2 b c 2a 2 b c 2 c a 2b 2 c a 2 0(*)
Áp dụng hằng đẳng thức : x2 y2 x y x y ta có :
 a b 2c 2 a b 2 2a 2c 2b 2c 4 a c b c 
 b c 2a 2 b c 2 2b 2a 2c 2a 4 b a c a 
 c a 2b 2 c a 2 2c 2b 2a 2b 4 c b a b 
Kết hợp với (*) ta có :
4 a c b c 4 b a c a 4 c b a b 0
 a c b c b a c a c b a b 0
 ab ac bc c2 bc ba ac a2 ac bc ab b2 0
 a2 b2 c2 ab bc ac 0
 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 0
 a2 2ab b2 b2 2bc c2 c2 2ca a2 0
 a b 2 b c 2 c a 2 0
 a b 0
 b c 0 a b c
 c a 0
2.18. Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n4 4n là hợp số 
 (Thi học sinh giỏi toán 9, tỉnh Quảng Bình, năm học 2012-2013)
 Hướng dẫn giải – đáp số