Chuyên đề 2: Bất đẳng thức - Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 8

docx 23 trang thanh nguyễn 14/07/2024 820
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề 2: Bất đẳng thức - Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 8", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

Tóm tắt nội dung tài liệu: Chuyên đề 2: Bất đẳng thức - Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 8

Chuyên đề 2: Bất đẳng thức - Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 8
 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
 A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
 - Các mệnh đề “ A > B ” hoặc “ A < B ” được gọi là bất đẳng thức. (BĐT)
 - Các mệnh đề: “ A B ” hoặc “ A B “ được gọi là các bất đẳng thức suy rộng.
2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương:
 - Nếu từ BĐT A > B mà ta biến đổi được thành C > D thì ta nói rằng BĐT C > D là BĐT hệ quả 
 của BĐT A > B. kí hiệu A > B => C > D
 - Nếu BĐT A > B là hệ quả của BĐT C > D và C > D cũng là BĐT hệ quả của BĐT A > B thì ta 
 nói hai BĐT trên tương đương với nhau, Kí hiệu A > B C > D 
3. Tính chất:
 - A B A C B C ( Cộng hai vế của BĐT với cùng một số)
 A B A.C B.C, C 0 
 - (Nhân hai vế của BĐT với cùng một số)
 A B A.C B.C, C 0 
 - A B,C D A C B D ( Cộng hai BĐT cùng chiều)
 - A B,C D AC BD, A,C 0 (Nhân hai BĐT cùng chiều)
 - A B A2n 1 B2n 1 hoặc A2n B2n Với A > 0, (Nâng hai vế của BĐT lên một lũy thừa)
 - A B A B, A 0 (Khai căn hai vế của một BĐT)
 - a b a b a b (Tính chất giá trị tuyệt đối).
 B. LUYỆN TẬP
 Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A > B TA XÉT HIỆU A – B > 0, CHÚ Ý BĐT A2 0
Bài 1: CMR : với mọi x, y, z thì x2 y2 z2 xy yz zx
HD:
 2 2 2
 Xét hiệu ta có: 2 x2 y2 z2 xy yz zx 0 x y y z z x 0
 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
Bài 2: CMR : với mọi x, y, z thì x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx
HD:
 2
 Xét hiệu ta có: x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 0 x y z 0
 Dấu bằng xảy ra khi x + z = y
Bài 3: CMR : với mọi x, y, z thì x2 y2 z2 3 2 x y z 
HD:
 2 2 2
 Xét hiệu ta có: x 1 y 1 z 1 0 , Dấu bằng khi x = y = z = 1
 2
 a2 b2 a b 
Bài 4: CMR : với mọi a, b ta có : 
 2 2 
HD :
 a2 b2 a2 2ab b2
 Xét hiệu ta có : 0 2a2 2b2 a2 2ab b2 0
 2 4
 2
 a2 2ab b2 0 a b 0 , Dấu bằng khi a = - b 1 1 
Bài 11: Cho a, b thỏa mãn: a + b = 1, a > 0, b > 0. CMR: 1 1 9
 a b 
HD:
 a b a b b a a b 
 Ta có: VT 1 1 2 2 4 2 1
 a b a b b a 
 a b a b 2 2 1
 5 2 5 2.2 9 . Dấu bằng khi a b a b 
 b a b a 2
 2
 x y 
Bài 12: Cho x, y 0,CMR : xy
 2 
HD:
 2
 Ta có: x2 y2 2xy 4xy x2 2xy y2 0 x y 0 , Dấu bằng khi x = y
Bài 13: Cho a > 0, b > 0. CMR: a3 b3 a2b ab2
HD:
 Ta có: a3 a2b b3 ab2 0 a2 a b b2 a b 0
 a b a2 b2 0 a b 2 a b 0
 Dấu bằng khi a = b
 1 1 2
Bài 14: Cho a b 1, CMR: 
 1 a2 1 b2 1 ab
HD:
 1 1 1 1 a b a b a b 
 Xét hiệu: 2 2 0 0
 1 a 1 ab 1 b 1 ab 1 a2 1 ab 1 b2 1 ab 
 b a 2 ab 1 
 0 , Dấu bằng khi a = b hoặc a.b = 1
 1 ab a2 1 b2 a 
Bài 15: CMR : với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có : x2 y2 z2 t 2 x y z t 
HD:
 Ta có: x2 y2 z2 t 2 xy xz xt 0 4x2 4y2 4z2 4t 2 4xy 4xz 4xt 0
 x2 4xy 4y2 x2 4xz 4z2 x2 4xt 4t 2 x2 0
 Dấu bằng khi x = 2y = 2z = 2t = 0
 a2
Bài 17: CMR : b2 c2 ab ac 2bc
 4
HD:
 Ta có: a2 4b2 4c2 4ab 4ac 8bc 0 a2 4a b c 4 b2 c2 2bc 0
 2 2
 a2 4a b c 4 b c 0 a 2a 2c 0
Bài 19: CMR : x2 y2 z2 2xy 2zx 2yz
HD:
 Ta có: x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 0 x2 2x y z y2 2 yz z2 0
 x2 2x y z y z 2 0 x y z 2 0
Bài 20: CMR : x4 y4 z4 1 2x xy2 x z 1 
HD:
 Ta có: x4 y4 z4 1 2x2 y2 2x2 2xz 2x 0
 x4 y4 2x2 y2 x2 2xz z2 x2 2x 1 0
 2
 x2 y2 x z 2 x 1 2 0 , Dấu bằng khi x = z = 1, y = 1 Bài 29: Cho a, b, c > 0, CMR: a3 b3 abc ab a b c 
HD:
 Ta có: a3 b3 abc a2b ab2 abc
 2
 a3 a2b b3 ab2 0 a2 a b b2 b a 0 a b a b 0
 2
Bài 30: CMR: a2 b2 ab a b 2
HD:
 Ta có: a4 2a2b2 b4 ab a2 2ab b2 a3b 2a2b2 ab3
 a4 a3b b4 ab3 0 a3 a b b3 b a 0
 a3 b3 a b 0 a b 2 a2 ab b2 0
Bài 31: CMR: a2 b2 c2 a b c 
HD:
 Ta có: a2 b2 c2 ab ac 0 4a2 4b2 4c2 4ab 4ac 0
 a2 4ab 4b2 a2 4ac 4c2 2a2 0 a 2b 2 a 2c 2 2a2 0
Bài 32: CMR: a2 b2 c2 d 2 a b c d 
HD:
 Ta có: a2 b2 c2 d 2 ab ac ad 0 4a2 4b2 4c2 4d 2 4ab 4ac 4ad 0
 a2 4ab 4b2 a2 4ac 4c2 a2 4ad 4d 2 a2 0
 a 2b 2 a 2c 2 a 2d 2 a2 0
 3
Bài 33: CMR: a2 b2 c2 a b c 
 4
HD:
 2 2 2 3 2 1 2 1 2 1 
 Ta có: a a b b c c 0 a a b b c c 0
 4 4 4 4 
 2 2 2
 1 1 1 
 a b c 0
 2 2 2 
Bài 34: CMR: a4 b4 2 4ab
HD:
 Ta có: a4 b4 4ab 2 0 a4 b4 2a2b2 2a2b2 4ab 2 0
 2 2
 a2 b2 2 a2b2 2ab 1 0 a2 b2 2 ab 1 2 0
Bài 35: CMR: x4 4x 5 0
HD:
 2
 Ta có: x4 4x2 4 4x2 4x 1 0 x2 2 2x 1 2 0
 Không xảy ra dấu bằng.
 1
Bài 36: CMR: x4 x 0
 2
HD:
 2 2
 4 2 1 2 1 2 1 1 
 Ta có: x x x x 0 x x 0
 4 4 2 2 
Bài 37: CMR: x3 4x 1 3x2 (x 0)
HD:
 2
 Ta có: x3 3x2 4x 1 0 x x2 x 4 x2 1 0 x x 2 x2 1 0 , Vì x > 0 Bài 46: Cho a, b, c > 0, CMR : ab bc ca a2 b2 c2
HD:
 2 2 2
 Ta có: a2 b2 c2 ab bc ca 0 a b b c c a 0
 a2 a 1
Bài 47: CMR : 0
 a2 a 1
HD:
 2 2 1 3 2 2 1 3
 Ta có: a a 1 a a 0,a a a 1 a a 0,a
 4 4 4 4
Bài 48: CMR : 4a a b a 1 a b 1 b2 0
HD:
 Ta có: 4a a b 1 a 1 a b b2 0 4 a2 ab a a2 ab a b b2 0 . 
 2
 a ab a x 2
 Đặt Khi đó: 4x x y y2 0 4x2 4xy y2 0 2x y 0 , 
 b y
 2a a 1 
 Dấu bằng khi 2x y 2a2 2ab 2a b b 
 2a 1
 x y 2
Bài 49: CMR : x2 y2 2xy
 2
HD:
 2
 x y 2
 x2 y2 2x2 2y2 x2 y2 2xy x y 0
 Ta có: 2
 2
 x y 2
 2xy x2 y2 2xy 4xy x y 0
 2
 1 1 4
Bài 50: CMR : , Với a,b > 0
 a b a b
HD:
 a b 4 2 2
 Ta có: a b 4ab a b 0
 ab a b
Bài 51: CMR : a4 b4 ab a2 b2 
HD:
 2
 Ta có: a4 b4 a3b ab3 0 a3 a b b3 a b 0 a b a2 ab b2 0
 4
 a4 b4 a b 
Bài 52: CMR : 
 2 2 
HD:
 Ta có: 8a4 8b4 a4 b4 4a2b2 2a2b2 4a3b 4ab3
 7a4 7b4 4a2b2 2a2b2 4a3b 4ab3 0
 a4 b4 2a2b2 6a4 6b4 4ab a2 b2 8a2b2 0
 2
 a2 b2 4ab a2 b2 4a2b2 6 a4 b4 12a2b2 0
 2 2
 a2 b2 2ab 6 a4 b4 2a2b2 0 a b 4 6 a2 b2 0
Bài 53: Cho a + b + c = 0, CMR : ab bc ca 0
HD:
 Ta có: a2 b2 c2 2 ab bc ca 0
 2 ab bc ca a2 b2 c2 0
 Dấu bằng khi a = b = c = 0

File đính kèm:

  • docxchuyen_de_2_bat_dang_thuc_boi_duong_hoc_sinh_gioi_toan_8.docx