Chuyên đề 2: Bất đẳng thức - Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 8
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề 2: Bất đẳng thức - Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 8", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
Tóm tắt nội dung tài liệu: Chuyên đề 2: Bất đẳng thức - Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 8
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa: - Các mệnh đề “ A > B ” hoặc “ A < B ” được gọi là bất đẳng thức. (BĐT) - Các mệnh đề: “ A B ” hoặc “ A B “ được gọi là các bất đẳng thức suy rộng. 2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương: - Nếu từ BĐT A > B mà ta biến đổi được thành C > D thì ta nói rằng BĐT C > D là BĐT hệ quả của BĐT A > B. kí hiệu A > B => C > D - Nếu BĐT A > B là hệ quả của BĐT C > D và C > D cũng là BĐT hệ quả của BĐT A > B thì ta nói hai BĐT trên tương đương với nhau, Kí hiệu A > B C > D 3. Tính chất: - A B A C B C ( Cộng hai vế của BĐT với cùng một số) A B A.C B.C, C 0 - (Nhân hai vế của BĐT với cùng một số) A B A.C B.C, C 0 - A B,C D A C B D ( Cộng hai BĐT cùng chiều) - A B,C D AC BD, A,C 0 (Nhân hai BĐT cùng chiều) - A B A2n 1 B2n 1 hoặc A2n B2n Với A > 0, (Nâng hai vế của BĐT lên một lũy thừa) - A B A B, A 0 (Khai căn hai vế của một BĐT) - a b a b a b (Tính chất giá trị tuyệt đối). B. LUYỆN TẬP Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A > B TA XÉT HIỆU A – B > 0, CHÚ Ý BĐT A2 0 Bài 1: CMR : với mọi x, y, z thì x2 y2 z2 xy yz zx HD: 2 2 2 Xét hiệu ta có: 2 x2 y2 z2 xy yz zx 0 x y y z z x 0 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z Bài 2: CMR : với mọi x, y, z thì x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx HD: 2 Xét hiệu ta có: x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 0 x y z 0 Dấu bằng xảy ra khi x + z = y Bài 3: CMR : với mọi x, y, z thì x2 y2 z2 3 2 x y z HD: 2 2 2 Xét hiệu ta có: x 1 y 1 z 1 0 , Dấu bằng khi x = y = z = 1 2 a2 b2 a b Bài 4: CMR : với mọi a, b ta có : 2 2 HD : a2 b2 a2 2ab b2 Xét hiệu ta có : 0 2a2 2b2 a2 2ab b2 0 2 4 2 a2 2ab b2 0 a b 0 , Dấu bằng khi a = - b 1 1 Bài 11: Cho a, b thỏa mãn: a + b = 1, a > 0, b > 0. CMR: 1 1 9 a b HD: a b a b b a a b Ta có: VT 1 1 2 2 4 2 1 a b a b b a a b a b 2 2 1 5 2 5 2.2 9 . Dấu bằng khi a b a b b a b a 2 2 x y Bài 12: Cho x, y 0,CMR : xy 2 HD: 2 Ta có: x2 y2 2xy 4xy x2 2xy y2 0 x y 0 , Dấu bằng khi x = y Bài 13: Cho a > 0, b > 0. CMR: a3 b3 a2b ab2 HD: Ta có: a3 a2b b3 ab2 0 a2 a b b2 a b 0 a b a2 b2 0 a b 2 a b 0 Dấu bằng khi a = b 1 1 2 Bài 14: Cho a b 1, CMR: 1 a2 1 b2 1 ab HD: 1 1 1 1 a b a b a b Xét hiệu: 2 2 0 0 1 a 1 ab 1 b 1 ab 1 a2 1 ab 1 b2 1 ab b a 2 ab 1 0 , Dấu bằng khi a = b hoặc a.b = 1 1 ab a2 1 b2 a Bài 15: CMR : với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có : x2 y2 z2 t 2 x y z t HD: Ta có: x2 y2 z2 t 2 xy xz xt 0 4x2 4y2 4z2 4t 2 4xy 4xz 4xt 0 x2 4xy 4y2 x2 4xz 4z2 x2 4xt 4t 2 x2 0 Dấu bằng khi x = 2y = 2z = 2t = 0 a2 Bài 17: CMR : b2 c2 ab ac 2bc 4 HD: Ta có: a2 4b2 4c2 4ab 4ac 8bc 0 a2 4a b c 4 b2 c2 2bc 0 2 2 a2 4a b c 4 b c 0 a 2a 2c 0 Bài 19: CMR : x2 y2 z2 2xy 2zx 2yz HD: Ta có: x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 0 x2 2x y z y2 2 yz z2 0 x2 2x y z y z 2 0 x y z 2 0 Bài 20: CMR : x4 y4 z4 1 2x xy2 x z 1 HD: Ta có: x4 y4 z4 1 2x2 y2 2x2 2xz 2x 0 x4 y4 2x2 y2 x2 2xz z2 x2 2x 1 0 2 x2 y2 x z 2 x 1 2 0 , Dấu bằng khi x = z = 1, y = 1 Bài 29: Cho a, b, c > 0, CMR: a3 b3 abc ab a b c HD: Ta có: a3 b3 abc a2b ab2 abc 2 a3 a2b b3 ab2 0 a2 a b b2 b a 0 a b a b 0 2 Bài 30: CMR: a2 b2 ab a b 2 HD: Ta có: a4 2a2b2 b4 ab a2 2ab b2 a3b 2a2b2 ab3 a4 a3b b4 ab3 0 a3 a b b3 b a 0 a3 b3 a b 0 a b 2 a2 ab b2 0 Bài 31: CMR: a2 b2 c2 a b c HD: Ta có: a2 b2 c2 ab ac 0 4a2 4b2 4c2 4ab 4ac 0 a2 4ab 4b2 a2 4ac 4c2 2a2 0 a 2b 2 a 2c 2 2a2 0 Bài 32: CMR: a2 b2 c2 d 2 a b c d HD: Ta có: a2 b2 c2 d 2 ab ac ad 0 4a2 4b2 4c2 4d 2 4ab 4ac 4ad 0 a2 4ab 4b2 a2 4ac 4c2 a2 4ad 4d 2 a2 0 a 2b 2 a 2c 2 a 2d 2 a2 0 3 Bài 33: CMR: a2 b2 c2 a b c 4 HD: 2 2 2 3 2 1 2 1 2 1 Ta có: a a b b c c 0 a a b b c c 0 4 4 4 4 2 2 2 1 1 1 a b c 0 2 2 2 Bài 34: CMR: a4 b4 2 4ab HD: Ta có: a4 b4 4ab 2 0 a4 b4 2a2b2 2a2b2 4ab 2 0 2 2 a2 b2 2 a2b2 2ab 1 0 a2 b2 2 ab 1 2 0 Bài 35: CMR: x4 4x 5 0 HD: 2 Ta có: x4 4x2 4 4x2 4x 1 0 x2 2 2x 1 2 0 Không xảy ra dấu bằng. 1 Bài 36: CMR: x4 x 0 2 HD: 2 2 4 2 1 2 1 2 1 1 Ta có: x x x x 0 x x 0 4 4 2 2 Bài 37: CMR: x3 4x 1 3x2 (x 0) HD: 2 Ta có: x3 3x2 4x 1 0 x x2 x 4 x2 1 0 x x 2 x2 1 0 , Vì x > 0 Bài 46: Cho a, b, c > 0, CMR : ab bc ca a2 b2 c2 HD: 2 2 2 Ta có: a2 b2 c2 ab bc ca 0 a b b c c a 0 a2 a 1 Bài 47: CMR : 0 a2 a 1 HD: 2 2 1 3 2 2 1 3 Ta có: a a 1 a a 0,a a a 1 a a 0,a 4 4 4 4 Bài 48: CMR : 4a a b a 1 a b 1 b2 0 HD: Ta có: 4a a b 1 a 1 a b b2 0 4 a2 ab a a2 ab a b b2 0 . 2 a ab a x 2 Đặt Khi đó: 4x x y y2 0 4x2 4xy y2 0 2x y 0 , b y 2a a 1 Dấu bằng khi 2x y 2a2 2ab 2a b b 2a 1 x y 2 Bài 49: CMR : x2 y2 2xy 2 HD: 2 x y 2 x2 y2 2x2 2y2 x2 y2 2xy x y 0 Ta có: 2 2 x y 2 2xy x2 y2 2xy 4xy x y 0 2 1 1 4 Bài 50: CMR : , Với a,b > 0 a b a b HD: a b 4 2 2 Ta có: a b 4ab a b 0 ab a b Bài 51: CMR : a4 b4 ab a2 b2 HD: 2 Ta có: a4 b4 a3b ab3 0 a3 a b b3 a b 0 a b a2 ab b2 0 4 a4 b4 a b Bài 52: CMR : 2 2 HD: Ta có: 8a4 8b4 a4 b4 4a2b2 2a2b2 4a3b 4ab3 7a4 7b4 4a2b2 2a2b2 4a3b 4ab3 0 a4 b4 2a2b2 6a4 6b4 4ab a2 b2 8a2b2 0 2 a2 b2 4ab a2 b2 4a2b2 6 a4 b4 12a2b2 0 2 2 a2 b2 2ab 6 a4 b4 2a2b2 0 a b 4 6 a2 b2 0 Bài 53: Cho a + b + c = 0, CMR : ab bc ca 0 HD: Ta có: a2 b2 c2 2 ab bc ca 0 2 ab bc ca a2 b2 c2 0 Dấu bằng khi a = b = c = 0
File đính kèm:
- chuyen_de_2_bat_dang_thuc_boi_duong_hoc_sinh_gioi_toan_8.docx