Chuyên đề 19: Hình lăng trụ đứng - Bồi dưỡng HSG Toán hình 8

 Chương 
Chuyên đề 19.
 HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
A. Kiến thức cần nhớ
1. Mô tả hình dạnh lăng trụ đứng
Hình 19.1 cho ta hình ảnh của một hình lăng trụ đứng.
* Các mặt bên là những hình chữ nhật.
* Các cạnh bên song song và bằng nhau.
* Hai đáy là hai đa giác nằm trong hai mặt phẳng song song.
* Các cạnh bên cũng như các mặt bên đều vuông góc với hai mặt phẳng đáy.
2. Diện tích xung quanh – Thể tích của hình lăng trụ đứng.
* Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng chu vi đáy nhân với chiều cao.
 Sxq 2 p.h
 ( p là nửa chu vi đáy; h là chiều cao)
 Stp Sxq 2Sđ ¸y
* Thể tích của hình lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với chiều cao
 V S.h
 ( S là diện tích đáy; h là chiều cao)
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C . Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AA , BB , A C . 
Chứng minh rằng mp AEC // mp DB F 
 Giải (h.19.2)
* Tìm cách giải
Muốn chứng minh mp AEC // mp DB F ta chứng minh hai đường thẳng giao 
nhau của mp AEC tương ứng song song với hai đường thẳng giao nhau của 
mp DB F .
* Trình bày lời giải
Ta có: AD // EB và AD EB nên tứ giác AEB D là hình bình hành. 
Suy ra AE // DB (1)
Xét AC A có DF là đường trung bình nên DF // AC . (2)
Từ (1) và (2) suy ra mp AEC //mp DB F 
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C , đáy ABC là tam giác vuông tại A .
a) Chứng minh rằng mp ABB A  mp ACC A . Ví dụ 4. Một hình lăng trụ đều (tức là lăng trụ có đáy là đa giác đều) có tất cả 18 cạnh, mỗi cạnh dài 
4 3cm . Tính thể tích của hình lăng trụ đó.
 Giải
* Tìm cách giải
Để tìm được thể tích lăng trụ đứng khi đã biết chiều cao, ta cần tính diện tích đáy.
Đáy là một đa giác đều, đã biết độ dài mỗi cạnh nên cần biết số cạnh đáy là xong.
* Trình bày lời giải
Gọi số cạnh của một đáy là n . Khi đó số cạnh bên là n .
Suy ra tổng số cạnh của hình lăng trụ đứng là n n n 3n .
Theo đề bài ta có: 3n 18 n 6.
Vậy hình lăng trụ đứng đã cho là hình lăng trụ lục giác đều.
Có thể coi diện tích đáy là tổng diện tích của 6 tam giác đều, mỗi cạnh bằng 
4 3cm . (h.19.5)
 2
 4 3 . 3
Do đó diện tích đáy là: S .6 72 3 cm2 
 4
Thể tích hình lăng trụ là: V S.h 72 3.4 3 864 cm3 .
C. Bài tập vận dụng
* Chứng minh song song, vuông góc. Tính chiều cao.
19.1. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C . Gọi E và G lần lượt là trọng tâm của tam giác ABB và 
ACC . Trong mặt bên ABB A vẽ EM // BB M AB . Trong mặt bên ACC A vẽ 
GN // CC N AC .
Chứng minh rằng mp MNGE // mp BCC B .
19.2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.AB C có cạnh đáy AB AC 10cm và BC 12cm . Gọi M là trung 
điểm của B C .
a) Chứng minh rằng B C  mp AA M .
b) Cho biết AM 17cm , tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ.
19.3. Một hình lăng trụ đều có tổng số mặt, số đỉnh và số cạnh là 26. Biết thể tích của hình lăng trụ là 
540cm3 , diện tích xung quanh là 360cm2 . Tính chiều cao của hình lăng trụ đó.
19.4. Hình hộp đứng ABCD.A B C D có đáy là hình thoi ABCD cạnh a , góc nhọn 30 . Cho biết diện 
tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng hai lần diện tích xung quanh của nó. Tính chiều cao của hình 
lăng trụ.
* Tinh diện tích, tính thể tích.
19.5. Hình lăng trụ đứng ABC.A B C có AB 5cm, AC 12cm và chiều cao AA 10cm . Biết diện tích 
xung quanh của hình lăng trụ là 300cm2 , tính thể tích của nó. Hướng dẫn giải
19.1. (h.19.6)
Gọi F là giao điểm của AB và BA .
Gọi H là giao điểm của AC và CA .
Vì E là trong tâm của ABB nên 
 2 1
BE BF BA .
 3 3
Vì G là trọng tâm của ACC nên
 2 1
CG CH CA .
 3 3
Ta có: EM // BB EM // AA ;
GN // CC GN // AA .
 BM BE 1
Xét BAA có EM // AA nên . (1)
 BA BA 3
 CN CG 1
Xét CAA có GN // AA nên . (2)
 CA CA 3
 BM CN 1 
Từ (1) và (2) suy ra . Do đó MN // BC
 BA CA 3 
Mặt khác, ME // BB nên mp MNGE // mp BCC B .
19.2. (h.19.7)
a) Các mặt ABB A và ACC A là những hình chữ nhật có cùng kích thước 
nên đường chéo của chúng phải bằng nhau: AB AC .
Xét AB C cân tại A , có AM là đường trung tuyến nên AM  B C . (1)
Xét A B C cân tại A , có A M là đường trung tuyến nên A M  B C . (2)
Từ (1) và (2) suy ra: B C  mp AA M .
b) Xét A B M vuông tại M , ta có: A M 102 62 8 cm .
Xét AA M vuông tại A , ta có: AA 172 82 15 cm .
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là: 
 2
Sxq 2 p.h 10 10 12 .15 480 cm .
 1 1
Diện tích đáy của hình lăng trụ là : S B C .A M .12.8 48 cm2 .
 2 2
 2
Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là: Stp 480 48.2 576 cm .
19.3. Gọi số cạnh của một đáy là n . Khi đó tổng số cạnh của hình lăng trụ là 3n ; tổng số đỉnh là 2n và 
tổng số mặt là n 2 . Theo đề bài, ta có: 2
Sxq 2860 240.2 2380 cm .
Độ dài cạnh đáy là:
AB OA2 OB2 82 152 17 cm .
Chu vi đáy là: 17.4 68 cm .
Chiều cao của hình lăng trụ là:
 S 2380
h xq 35 cm .
 2 p 68
Thể tích của hình lăng trụ là: V S.h 240.35 8400 cm3 .
Vậy thể tích của cốc là 54cm3
19.7. (h.19.11)
Gọi h là chiều cao của hình lăng trụ.
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng ABCE.A B C E là:
S1 AB BC CE EA .h 3a CE .h.
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng CDE.C D E là:
S2 CD DE EC .h 2a CE .h
 2 2
Vì S1 S2 4a nên 3a CE 2a CE .h 4a
Hay a.h 4a2 h 4a2 : a 4a.
Vậy diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng đã cho là:
 2
Sxq 2 p.h 5a.4a 20a (đvdt).
19.8. (h.19.12)
a) Xét hình thang ABCD vuông tại A và D . Vẽ BH  CD (h.19.13)
Tứ giác ABHD là hình vuông và HBC vuông cân tại H .
Suy ra DH AB AD BH CH a;CD 2a; BC a 2.
Xét DAC vuông tại D có: AC 2 AD2 DC 2 a2 2a 2 5a2.
Suy ra A C 2 5a2..
Trong hình lăng trụ đứng, cạnh bên vuông góc với đáy nên 2
 1 a 1 2
V2 .b a b (đvdt).
 2 2 8
 1 1 1
Ta có: V V a2b ab2 ab a b 0 (vì a b ). Suy ra: V V .
 2 1 8 8 8 2 1
Vậy nếu căng tám bạt theo chiều rộng thì thể tích không khí bên trong lều sẽ lớn hơn.
19.10. (h.19.15)
Ta đặt AC 2m; BD 2n.
 1
Diện tích đáy ABCD là: S .2m.2n 2mn.
 2
 V 1280
Mặt khác: S 64 cm2 
 h 20
Vậy 2m.n 64 cm2 .
Diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng là:
Sxq 4.AB.20 80AB.
Vậy Sxq nhỏ nhất khi AB nhỏ nhất.
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Ta có AC  BD tại O .
Xét AOB vuông tại O , ta có: AB2 OA2 OB2 m2 n2.
Mặt khác m2 n2 2mn . Do đó AB2 64 AB 8 cm .
Vậy giá trị nhỏ nhất của AB là 8cm khi m n tức là khi ABCD là hình vuông.
Giá trị nhỏ nhất của diện tích xung quanh là 4.8.20 640 cm2 .
19.11. (h.19.16)
a) Chi vi đáy của đèn là: 18 6 108 cm .
 2
Diện tích xung quanh của đèn là: Sxq 2 p.h 108 40 4320 cm .
Vậy diện tích giấy bóng kính để làm mặt xung quanh của đèn là 4320 cm2 .
b) Diện tích đáy đèn là:
 a2 3 182 3
S .6 .6 486 3 cm2 .
 4 4
Thể tích của đèn lồng là:
V S.h 486 3.40 19440 3 cm3 33671 cm3 .
c) Gọi a và b lần lượt là độ dài cạnh đáy đèn lồng trước và sau khi giảm thể 
tích. Gọi S1 và S2 là các diện tích đáy tương ứng. Khi đó:
V1 S1.h;V2 S2.h.