Chuyên đề 19: Giải toán bằng cách lập phương trình - Bồi dưỡng HSG Đại số 8

 Chuyên đề 19. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
A. Kiến thức cần nhớ
Bước 1: Lập phương trình:
 Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;
 Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
 Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, 
 nghiệm nào không, rồi kết luận.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Quãng đường AD gồm ba đoạn AB; BC và CD. Lúc 7 giờ sáng một người đi ô tô từ A với vận tốc 
 60km/h đến B lúc 7giờ 30phút, sau đó đi tiếp trên đoạn đường BC vận tốc 50km/h. Cùng lúc 7 giờ sáng 
 một người đi xe máy đi từ C với vận tốc 35km/h để đến D. Biết thời gian người đi xe máy đến D nhiều 
 hơn thời gian người đi ô tô từ B đến c là 1 giờ 24 phút và quãng đường BC ngắn hơn quãng đường CD là 
 40km. Tính quãng đường AD.
* Tìm cách giải: Đây là bài toán chuyển động đều. Có ba đại lượng: Quảng đường (s), vận tốc (v) và thời 
 gian (t). Quan hệ giữa các đại lượng như sau: s = v.t;v = s :t;t = s : v .
 Đoạn đường AD gồm ba đoạn. Đoạn AB đã biết độ dài (do biết vận tốc đi 60km/h và thời gian đi là 0,5 
 giờ) nên chỉ cần tính đoạn BD. Do đó ta chọn ẩn sổ x (km) là độ dài đoạn BD.
 Do quãng đường BC ngắn hơn quãng đường CD là 40km mà tổng hai đoạn đường là x km nên độ dài 
 x + 40 x- 40
 đoạn CD là km và BC là km.
 2 x
 Ta phải tìm thời gian đi của xe máy trên đoạn đường CD và thời gian ô tô đi trên đoạn đường BC để lập 
 phương trình.
 Giải
 Thời gian xe đi hết quãng đường AB là 7 giờ 30 phút - 7 giờ = 30 phút = 0,5 h. Ta có quãng đường AB 
 dài là 60. 0,5 = 30(km).
 Gọi quãng đường BD là x(km); x > 40. Do đoạn CD dài hơn BC là 40km; tổng hai đoạn đường là x (km) 
 nên: 1
 x- 40 x + 40
 Đoạn đường BC dài (km); đoạn đường CD dài (km) 
 x 2
 x- 40
 Thời gian ô tô đi trên đoạn BC là :50 (h).
 x
 x + 40
 Thời gian ô tô đi trên đoạn CD là :35 (h).
 2 éx = 20
 ê
 Û 7x2 - 14x- 4x + 80 = 0 Û (x- 2)(7x- 4)= 0 Û ê 4
 êx =
 ëê 7
 Trong hai giá trị trên x = 20 thỏa mãn điều kiện đầu bài.
 Vậy vận tốc riêng của ca nô là 20km/h.
Ví dụ 3. Hai xưởng sản xuất cùng làm một sản phẩm, số sản phẩm xưởng thứ nhất làm trong 5 ngày nhiều 
 hơn số sản phẩm xưởng thứ hai làm trong 6 ngày là 140 sản phẩm. Biết rằng năng suất lao động của 
 xưởng thứ nhất hơn xưởng thứ hai là 65 sản phẩm/ngày. Tính năng suất lao động của mỗi xưởng.
 Tìm cách giải: Bài toán thuộc loại toán Năng suất lao động. Có ba đại lượng:
 Khối lượng công việc: (K)
 Thời gian hoàn thành công việc (t)
 Năng suất lao động: (lượng công việc hoàn thành trong một đơn vị thời gian) (N).
 Quan hệ giữa các dại lượng như sau:
 K = Nt; t = K : N và N = K: t.
 Trong bài năng suất lao động mỗi xưởng là số sản phẩm mỗi xưởng làm trong một ngày, ta chọn ẩn X từ 
 một trong hai năng suất lao động này. Khối lượng công việc của mỗi xưởng chính là số sản phẩm xưởng 
 thứ nhất làm trong 5 ngày, xưởng thứ hai làm trong 6 ngày. Lập phương trình từ việc so sánh hai khối 
 lượng công việc.
 Giải
 Gọi năng suất lao động của xưởng thứ nhất là x (sản phẩm /ngày); ( x Î ¥ ; x > 65) thì năng suất lao động 
 của xưởng thứ hai là (x- 65) (sản phẩm/ngày). Trong năm ngày xưởng thứ nhất làm được 5x (sản phẩm), 
 trong sáu ngày xưởng thứ hai làm được 6(x- 65) (sản phẩm).
 Theo bài ra ta có phương trình: x- 6(x- 65)= 140 . (1)
 Giải phương trình: (1) Û 5x- 6x + 390 = 140
 Û x = 250 (thỏa mãn điều kiện).
 Vậy: Năng suất lao động của xưởng thứ nhất là 250 sản phẩm /ngày
 Năng suất lao động của xưởng thứ hai là 250 - 65 = 185 (sản phẩm /ngày).3
Ví dụ 4. Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể cạn trong thời gian 4 giờ 48 phút thì bể đầy. Nếu vòi thử 
 17
nhất chảy một mình trong 3 giờ, rồi vòi thứ hai chảy tiếp một mình trong 4 giờ nữa thì đầy được bể. Hỏi 
 24
nêu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu bể sẽ đầy?
 Tìm cách giải. - Đây là bài toán về công việc đồng thời (làm chung, làm riêng một công việc) - là 
một dạng đặc biệt của toán năng suất lao động. Khối lượng công việc ở đây không được cho dưới dạng số 
lượng cụ thể là bao nhiêu. Bởi vậy ta có thể quy ước công việc cần hoàn thành là 1. Tùy nội dung bài toán cụ 3
 Số thóc thu hoạch năm ngoái của thửa thứ nhất là x (kg)
 4
 Số thóc thu hoạch năm nay của thửa thứ hai là 130% x (kg)
 3
 Số thóc thu hoạch năm nay của thửa thứ nhất 120%. x (kg)
 4
 3
 Theo bài ra ta có phương trình: 120%. x + 130%x = 1320 (1)
 4
 120 3 130
 Giải phương trình: (1)Û . .x + x = 1320
 100 4 100
 Û 9x + 13x = 13200 Û 22x = 13200 Û x = 600
 Giá trị này của x thỏa mãn điều kiện của ẩn. Vậy số thóc thửa thứ hai thu hoạch trong năm nay là 
 130%.600 = 780 (kg) = 7,8 (tạ), số thóc thửa thứ nhất thu hoạch trong năm nay là 1320 - 780 = 540 (kg) = 
 5,4(tạ).
 Chú ý: Ta có thể chọn x là số thóc thu hoạch năm nay của thửa thứ nhất. Khi đó ta có phương trình:
 x.100 3 (1320- x).100
 = .
 120 4 130
 Giải được x = 540 (bạn đọc tự giải).
Ví dụ 6. Một số có bốn chữ số có chữ số hàng đơn vị là 5. Nên chuyển chữ số 5 lên đầu và giữ nguyên ba 
 chữ số còn lại thì được số mới lớn hơn số ban đầu là 3222 đơn vị. Tìm số có 4 chữ số đó.
 Tìm cách giải: Bài toán liên quan đến cấu tạo số.
 Số có 4 chữ số abcd (a,b,c,d Î ¥ ;0 < a £ 9;0 £ b,c,d £ 9)có khai triển 
 abcd = 1000a + 100b+10c + d = 1000a + bcd = abc.10+ d . Chuyển d lên đầu được số 
 dabc = 1000d + abc . Trong bài do các chữ số abc không thay đổi thứ tự sắp xếp nên ta có thể chọn làm 
 ẩn số x. 5
 Giải
Gọi số có ba chữ số trước chữ số hàng đơn vị là x (x Î ¥ ;100 £ x < 1000)
 Số cần tìm là x5 . Chuyển chữ số 5 lên đầu ta được sổ 5x .
 Ta có phương trình 5x- x5 = 3222 . (1)
 Giải phương trình: (1) Û 5000+ x- 10x- 5 = 3222
 Û 9x = 1773 Û x = 197 éx = 20
 éx- 20 = 0 ê
 Û ê Û ê 45
 ëê4x + 45 = 0 êx = -
 ëê 4
 Ta thấy x = 20 thỏa mãn điều kiện của ẩn, vậy:
 Số hàng ghế ban đầu là 20; số ghế mỗi hàng ban đầu là 300: 20 = 15.
Ví dụ 9. Biết 445g đồng có thể tích 50cm 3; 175g kẽm có thể tích 25cm 3. Một hợp kim đồng và kẽm nặng 
 1,4kg có thể tích 181 cm3. Tính khối lượng đồng và kẽm trong hợp kim.
 Tìm cách giải: Bài toán có nội dung Vật lý. Có ba đại lượng: Khối lượng (m); khối lượng riêng (D) 
 và thể tích (V). Khối lượng riêng là khối lượng của một đơn vị thể tích. Quan hệ giữa ba đại lượng là:
 D = m: V; m = D.V; V = m:D
 Bài toán yêu cầu tìm khối lượng đồng, khối lượng kẽm có trong hợp kim. Khối lượng hợp kim là tổng 
 khối lượng đồng và kẽm. Thể tích hợp kim là tổng thể tích của khối đồng và kẽm. Ta chọn một trong hai 
 khối lượng đồng hoặc kẽm làm ẩn.
 Giải
 Khối lượng riêng của đồng là: 445: 50 = 8,9 (g/cm3);
 Khối lượng riêng của kẽm là: 175: 25 = 7 (g/cm3); 1,4kg = 1400g.
 Gọi khối lượng đồng trong hợp kim là x g (x < 1400) thì khối lượng kẽm trong hợp kim là (1400- x)g
 x 1400- x
 Thể tích của đồng là (cm3); Thể tích của kẽm là (cm3);
 8,9 7
 x 1400- x
 Theo bài ra ta có phương trình: + = 181 (1)
 8,9 7
 Giải phương trình: (1) Û 7x + 12460- 8,9x = 11276,3.
 Û - 1,9x = - 1183,7 Û x = 623
 Giá trị này của x thỏa mãn điều kiện của ẩn.
 Vậy khối lượng đồng là 623 g và kẽm là 1400 - 623 = 777 (g).
Ví dụ 10. Khối 8 một trường THCS có số lớp nhiều hơn 2, tổ chức trồng cây:
 1
 Lớp thứ nhất trồng 5 cây và số cây còn lại.
 5 7
 1
 Lớp thứ hai trồng tiếp 10 cây và số cây còn lại.
 5
 1
 Lớp thứ ba trồng tiếp 15 cây và số cây còn lại.
 5
 Cử trồng như vậy đến lớp cuối cùng thì vừa hết số cây và số cây mỗi lớp trồng được là bằng nhau. Tính éy = 4
 Û (y - 4)(y - 1)= 0 Û ê
 ëêy = 1
 Trong hai giá trị có y = 4 thỏa mãn điều kiện của ẩn. Vậy số lớp 8 tham gia trồng cây là 4 và số cây khối 8 
trồng là 5. 42 = 80 (cây).
C. Bài tập vận đụng
 Dạng toán chuyến động đều
 19.1. Lúc 7 giờ sáng một người đi xe máy khởi hành từ A dể đến B. Lúc 7 giờ 10 phút một ô tô khởi 
hành từ A với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe máy là 10km/h. Trên đường ô tô phải dừng ở giữa đường 14 
phút nhưng vẫn đến B cùng lúc với xe máy. Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng cũng trên quãng đường AB 
một xe taxi đi với vận tốc 60km/h hết 1 giờ 20 phút.
 Hướng dẫn giải – đáp số
 4
 Xe taxi đi 1 giờ 20 phút (bằng giờ) với vận tốc 60km/h. Ta tính được quãng đường AB. Xe ô tô khỏi 
 3
hành sau 10 phút, nghỉ giữa đường 14 phút cùng đến B một lúc với xe máy. Như vậy xe máy đi chậm hơn ô 
 2
tô 10 + 14 = 24 (phút) = giờ. So sánh thời gian của ô tô và xe máy đi ta lập được phương trình. Ta có 
 5
cách giải:
 4
 Quãng đường AB dài là 60. = 80 (km)
 3
 Gọi vận tốc xe máy là x km/h (x > 0), thì vận tốc ô tô là (x + 10) km/h.
 80
 Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là (h); thời gian ô tô đi trên quãng
 x
 80
 đường AB (không tính thời gian nghỉ) là (h).
 x + 10
 80 80 2
 Ta có phương trình: - = Giải phương trình được x = 40.
 x x + 10 5
 Vận tốc xe máy là 40 km/h và ô tô là 50km/h
19.2. Lúc 7 giờ sáng một ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A đến9 B. Ô tô đi 1 giờ 30 phút được 75km. 
Vận tốc xe máy kém vận tốc ô tô là 10 km/h. Ô tô đi đến B nghỉ 6 phút sau đó quay trở lại A và gặp xe máy 
 1
ở địa điểm C cách B một khoảng bằng AB. Tính đoạn đường AB và thời điểm hai xe gặp nhau.
 10
 Hướng dẫn giải – đáp số
 Thời gian xe máy đi trên đoạn đường AC bằng thời gian ô tô đi hết đoạn đường AB cộng với thời gian 
 nghỉ và thời gian đi trên đoạn BC. Từ đó có cách giải sau: Vận tốc xe ô tô là 75: 1,5 = 50 (km/h); Vận tốc