Chuyên đề 18: Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức - Bồi dưỡng HSG Đại số 8

doc 18 trang thanh nguyễn 24/09/2025 170
Bạn đang xem tài liệu "Chuyên đề 18: Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức - Bồi dưỡng HSG Đại số 8", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

Tóm tắt nội dung tài liệu: Chuyên đề 18: Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức - Bồi dưỡng HSG Đại số 8

Chuyên đề 18: Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức - Bồi dưỡng HSG Đại số 8
 Chuyên đề 18. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC
A. Kiến thức cần nhớ
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình, (tức là tìm giá trị của ẩn làm tất cả các mẫu thức của 
 phương trình khác 0). Viết tắt: ĐKXĐ.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: (Kết luận). Trong các giá trị tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là 
 nghiệm của phương trình đã cho.
 Chú ý. Nếu A(x)= 0 tại x = x1 hoặc x = x2 thì
 A(x)¹ 0 khi x ¹ x1 và x ¹ x2
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải các phương trình:
 1 1 3 1
 a) + = - (1)
 x- 1 x- 2 2x- 6 2x- 4
 25+ 4x 4 6
 b) = - (2)
 25x2 - 1 5x + 1 1- 5x
 Tìm cách giải.
 a) Do 2x- 6 = 2(x- 3);2x- 4 = 2(x- 2) nên ĐKXĐ là x- 1¹ 0; x- 2 ¹ 0 và x- 3 ¹ 0 . Thực hiện các 
 bước giải.
 b) Ta tìm ĐKXĐ tức là tìm giá trị của ẩn làm tất cả các mẫu thức 25x2 - 1;5x + 1;5x- 1 của phương trình 
 khác 0. Mà 25x2 - 1= (5x + 1)(5x- 1) nên ĐKXĐ là 5x + 1¹ 0 và 5x- 1¹ 0 .
 Thực hiện đầy đủ các bước giải phương trình có ẩn ở mẫu.
 Giải
a) ĐKXĐ: x ¹ 1; x ¹ 2 và x ¹ 3.
 Hai giá trị x = 1,5 và x = 5 thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm phương trình (1).
b) ĐKXĐ: x ¹ ± 0,2
(2)Þ 25+ 4x = 4(5x- 1)+ 6(5x + 1)
Û 25+ 4x = 20x- 4+ 30x + 6
Û - 46x = - 23 Û x = 0,5
Giá trị này thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình có nghiệm là x = 0,5.
 2x- 5 x2 - 5x- 41 3x- 8
Ví dụ 2. Giải phương trình + = (1)
 x + 1 x2 - 3x- 4 x- 4
 Giải
 2x- 5 x2 - 5x- 41 3x- 8
Ta có (1)Û + =
 x + 1 (x + 1)(x- 4) x- 4 (x2 - x- 6)(x- 5) 3x(x2 + 2x + 2)
Hay là . = 5 (*)
 x(x2 + 2x + 2) (x2 - x- 6)(x- 4)
Do x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1¹ 0, " x , nên ta có
 3x(x2 - x- 6)(x- 5) 3x(x + 2)(x- 3)(x- 5)
(*)Û = 5 = 5
 x(x2 - x- 6)(x- 4) x(x + 2)(x- 3)(x- 4)
ĐKXĐ: x ¹ 0; x ¹ - 2; x ¹ 3; x ¹ 4
Từ ĐKXĐ và phương trình trên suy ra 3(x- 5)- 5(x- 4)= 0
Û 3x- 15- 5x + 20 = 0 Û 2x = 5 Û x = 2,5 thỏa mãn ĐKXĐ.
 3x(x + 2)(x- 3)(x- 5)
 Nhận xét: Từ = 5 suy ra 3(x- 5)- 5(x- 4)= 0
 x(x + 2)(x- 3)(x- 4)
 Ta có thể hiểu như sau: Do x ¹ 0; x ¹ 2; x ¹ 3 ; nên x(x- 2)(x- 3)¹ 0 . Do đó chia cả tử và mẫu cho số 
 3(x- 5)
 khác 0 ta có = 5 và với x ¹ 4 ta được phương trình tương đương 3(x- 5)- 5(x- 4)= 0
 (x- 4)
 Hoặc có thể hiểu như sau:
 3x(x + 2)(x- 3)(x- 5)
 Từ = 5với x ¹ 0; x ¹ - 2; x ¹ 3; x ¹ 4 ta có:
 x(x + 2)(x- 3)(x- 4)
 3x(x + 2)(x- 3)(x- 5)= 5x(x + 2)(x- 3)(x- 4)
 é ù
 Û x(x + 2)(x- 3)ë3(x- 5)- 5(x- 4)û= 0
 Û 3(x- 5)- 5(x- 4)= 0 do x(x + 2)(x- 3)¹ 0
Ví dụ 4. Cho phương trình ẩn x:
 x + 2m x + 5
 - 1= + 1 (với m là hằng số).
 x- 5 2m- x
 a) Giải phương trình với m = 5;
 b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 10;
 c) Giải phương trình với tham số m.
* Tìm cách giải: Đây là phương trình tham số. Khi giải cần lưu ý biện luận theo các giá trị của tham số m.
 Giải
x + 2m x + 5 x + 2m x + 5
 - 1= + 1Û + = 2
 x- 5 2m- x x- 5 x- 2m
 x + 10 x + 5
a) Khi m = 5 ta có: + = 2 (1)
 x- 5 x- 10
Với ĐKXĐ x ¹ 5 và x ¹ 10 thì Ví dụ 5. Giải phương trình:
 1 1 1 1 1 1
 + + + + =
y2 + y y2 + 3y + 2 y2 + 5y + 6 y2 + 7y + 12 y2 + 9y + 20 15
 1
 * Tìm cách giải: Các phân thức vế trái sau khi phân tích mẫu thành nhân tử có dạng . Ta có: 
 a(a + 1)
 1 (a + 1)- a a + 1 a 1 1
 = = - = -
a(a + 1) a(a + 1) a(a + 1) a(a + 1) a a + 1
 Giải
 ĐKXĐ: y ¹ 0; y ¹ - 1; y ¹ - 2; y ¹ - 3; y ¹ - 4; y ¹ - 5 . 
 Biến đổi phương trình về dạng: 
 1 1 1 1 1 1
 + + + + =
 y(y + 1) (y + 1)(y + 2) (y + 2)(y + 3) (y + 3)(y + 4) (y + 4)(y + 5) 30
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 Û - + - + - + - + - =
 y y + 1 y + 1 y + 2 y + 2 y + 3 y + 3 y + 4 y + 4 y + 5 30
 1 1 1
 Û - =
 y y + 5 30
 Þ 30(y + 5)- 30y = y2 + 5y
 Û y2 + 5y - 150 = 0
 éy - 10 = 0 éy = 10
 Û (y - 10)(y + 15)= 0 Û ê Û ê
 ëêy + 15 = 0 ëêy = - 15
 Tập nghiệm là S = {- 15;10}
Ví dụ 6. Giải phương trình (với z là ẩn; m, n là tham số):
 2
m(z + 1) n 1 mz
 - + = .
 z2 - 1 z + 1 z - 1 z - 1
* Tìm cách giải. Phương trình có ẩn ở mẫu chứa tham số, cần lưu ý ĐKXĐ và biện luận theo các tham số m 
 và n.
 Giải
 ĐKXĐ: z ¹ ± 1.
 2
 m(z + 1) n 1- mz
 Khi ấy phương trình (PT) trở thành - + = 0
 z2 - 1 z + 1 z - 1 Đáp số: x = 27 .
 b) ĐKXĐ: x ¹ 2; x ¹ 3; x ¹ 4 . Biến đổi thành 2x2 - 17x + 30 = 0
 Đáp số: x = 2,5; x = 6 .
 c) ĐKXĐ: x ¹ 1; x ¹ - 2 . Lưu ý: x2 + x- 2 = (x- 1)(x + 2). Đáp số x = - 0,8 .
 d) ĐKXĐ: x ¹ 1; x ¹ 4 . Lưu ý: x2 - 5x + 4 = (x- 1)(x- 4) 
 Đáp số: x = 2; x = - 5 .
18.2. Giải các phương trình:
 3+ x 3x- 1 35
 a) 3+ = - ;
 3- x x + 3 x2 - 9
 x- 3 2x2 - 21 5
 b) + =
 2- x x3 - 8 x2 + 2x + 4
 x2 - 3x 25 5- 2x 2x2 + 61
 c) + = +
 x2 + 3x 2x2 + 3x- 9 2x- 3 (2x- 3)(x + 3)
 Hướng dẫn giải – đáp số
 a) ĐKXĐ: x ¹ 3; x ¹ - 3 . Lưu ý: x2 - 9 = (x- 3)(x + 3)
 Biến đổi thành - x2 + 4x- 4 = 0 . Đáp số: x = 2 .
 2
 b) Ta có x3 - 8 = (x- 2)(x2 + 2x + 4) mà x2 + 2x + 4 = (x + 1) + 3> 0
 " x nên ĐKXĐ: x ¹ 2 . Biến đổi thành - (x3 - 3x2 + 3x- 1)= 0 .Đáp số: x = 1
 c) ĐKXĐ: x ¹ 1,5; x ¹ - 3 . Lưu ý: 2x2 + 3x- 9 = (2x- 3)(x + 3)
 Biến đổi thành x2 - 4x- 21= 0 Û (x + 3)(x- 7)= 0 Û x = - 3 hoặc x = 7 .
 Nghiệm là x = 7 (loại x = - 3 vì không thỏa mãn ĐKXĐ).
18.3. Giải các phương trình:
 3
 y + 1 y 2(y + 5)
 a) + =
 (y + 1)2 + 1 (y - 1)2 + 1 y4 + 4
 y(y + 2) y(y - 2) 36- y2
 b) - = ;
 y2 + 2(y + 2) y2 - 2(y - 2) y4 + 4y2 + 16
 é 1 1 ù 3 2y - 2
 c) y2 ê - ú= +
 ê ú 4 2 2
 ëêy(y - 1)+ 1 y(y + 1)+ 1ûú (y + y + 1)y y - y + 1
 Hướng dẫn giải – đáp số
 Các phân thức ở các phương trình trong bài xuất hiện đa thức bạc bốn ở mẫu số, việc phân tích các mẫu æ 1ö æ 1öæ 1 1 ö
 b) 3ç1+ ÷= 2zç1+ ÷ç1- + ÷;
 èç zø÷ èç zø÷èç z z2 ø÷
 10
 c) z2 - 6z + 13 =
 z2 - 6z + 10
 2
 æz2 + 2z + 4ö 8- z3
 ç ÷
 d) ç ÷ + 7 = 2
 èç z - 2 ø÷ (z - 2)
 Hướng dẫn giải – đáp số
 a) ĐKXĐ: z ¹ 0 .
Biến đổi thành 2z3 - 3z2 - 4 = 0 Û (x- 2)(2z2 + z + 2)= 0
 éæ 1ö2 15ù
Û z = 2 do 2z2 + z + 2 = 2 êçz + ÷ + ú> 0, " z
 êèç ø÷ ú
 ëê 4 16ûú
 z = 2 thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình.
 b) ĐKXĐ: z ¹ 0 . Ta có: 2z3 - 3z2 - 3z + 2 = 0
 1
 Û (z + 1)(z - 2)(2z - 1)= 0 Û z = - 1; z = 2 hoặc z =
 2
 Cả ba giá trị này đều thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình..
 2
 c) Do z2 - 6z + 10 = (z - 3) +1>0," z nên ĐKXĐ: " z Î ¡ .
 10
 Đặt z2 - 6z + 10 = t > 0 ta có (t + 3)- = 0 Û t2 +3t - 10 = 0
 t
 Û (t + 5)(t - 2)= 0 Û t = 2(do t > 0)Û z2 - 6z + 10 = 2
 éz = 2
 Û (z - 2)(z - 4)= 0 Û ê
 ëêz = 4
 z = 2; z = 4 đều thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình.
 d) ĐKXĐ: z ¹ 2
 Lưu ý z3 - 8 = (z - 2)(z2 + 2z + 4) 
 z2 + 2z + 4
 Đặt = t 
 z - 2
 ét = - 1
 Biến đổi phương trình thành Û t 2 + 8t + 7 = 0 Û (t + 1)(t + 7)= 0 Û ê
 ëêt = - 7
 z2 + 2z + 4
 Với t = - 1 thì = - 1Û z2 + 3z + 2 = 0 Û (z + 1)(z + 2)= 0 . 
 z - 2 ét = 0
 Hay t 2 + 2t + 3 = 3 Û t 2 + 2t = 0 Û t(t + 2)= 0 Û ê
 ëêt = - 2
 Nghiệm của phương trình là t = - 2 và t = 0 .
 c) ĐKXĐ: t 2 + 3t + 2 = (t + 1)(t + 2)¹ 0 khi t ¹ - 1 và t ¹ - 2 .
 2
 2 æ 1ö 7
 Vì t + t + 2 = çt + ÷ + > 0, " t . Do t = 0 không phải là nghiệm Þ t ¹ 0
 èç 2ø÷ 4
 Chia cả tử và mẫu của hai phân thức ở vế trái cho t ta được phương trình:
 3 2 3 2 2
 - + = 1Û + = 1 với t + = u và u ¹ - 1 và u ¹ - 3
 2 2
 t + + 3 t + + 1 u + 3 u + 1 t
 t t
Giải phương trình với ẩn u ta được u2 - u - 6 = 0 Û (u - 3)(u + 2)= 0
Û u = 3 hoặc u = - 2 thỏa mãn ĐKXĐ.
 2
Với u = 3 ta có t + = 3 Û t 2 - 3t + 2 = 0 Û (t - 1)(t - 2)= 0
 t
Û t = 1 hoặc t = 2
 2
Với u = - 2 ta có 2+ = - 2 Û t 2 + 2t + 2 = 0 vô nghiệm vì 
 t
t 2 + 2t + 2 = (t + 1)2 + 1> 0, " t
Vậy nghiệm của phương trình là t = 1 và t = 2
18.6. Giải các phương trình:
 2 æ3x- 2 ö 2 æ3x- 2 ö
 a) (2x + 9x- 4)ç + 1÷= (x + 11x + 20)ç + 1÷
 èç8- 9x ø÷ èç8- 9x ø÷
 x 2x + 2 5 x + 7
 b) - = -
 2x2 - 5x + 3 2x2 - 9x + 7 2x2 - 5x + 3 2x2 - 9x + 7
 Hướng dẫn giải – đáp số
 a) Hai vế có nhân tử chung. Ta chuyển vế rồi đưa về dạng A(x).B(x)= 0
 8 2 æ3x- 2 ö
ĐKXĐ: x ¹ . Biến đổi phương trình thành (x - 2x- 24)ç + 1÷= 0
 9 èç8x + 9 ø÷
 éx = - 4
 Với x2 - 2x- 24 = 0 Û (x + 4)(x- 6)= 0 Û ê
 ëêx = 6
 3x- 2
 Với + 1= 0 Û 3x- 2+ 8- 9x = 0 Û x = 1
 8- 9x

File đính kèm:

  • docchuyen_de_18_phuong_trinh_chua_an_o_mau_thuc_boi_duong_hsg_d.doc