Chuyên đề 18: Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức - Bồi dưỡng HSG Đại số 8
Bạn đang xem tài liệu "Chuyên đề 18: Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức - Bồi dưỡng HSG Đại số 8", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
Tóm tắt nội dung tài liệu: Chuyên đề 18: Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức - Bồi dưỡng HSG Đại số 8

Chuyên đề 18. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC A. Kiến thức cần nhớ Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình, (tức là tìm giá trị của ẩn làm tất cả các mẫu thức của phương trình khác 0). Viết tắt: ĐKXĐ. Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4: (Kết luận). Trong các giá trị tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho. Chú ý. Nếu A(x)= 0 tại x = x1 hoặc x = x2 thì A(x)¹ 0 khi x ¹ x1 và x ¹ x2 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Giải các phương trình: 1 1 3 1 a) + = - (1) x- 1 x- 2 2x- 6 2x- 4 25+ 4x 4 6 b) = - (2) 25x2 - 1 5x + 1 1- 5x Tìm cách giải. a) Do 2x- 6 = 2(x- 3);2x- 4 = 2(x- 2) nên ĐKXĐ là x- 1¹ 0; x- 2 ¹ 0 và x- 3 ¹ 0 . Thực hiện các bước giải. b) Ta tìm ĐKXĐ tức là tìm giá trị của ẩn làm tất cả các mẫu thức 25x2 - 1;5x + 1;5x- 1 của phương trình khác 0. Mà 25x2 - 1= (5x + 1)(5x- 1) nên ĐKXĐ là 5x + 1¹ 0 và 5x- 1¹ 0 . Thực hiện đầy đủ các bước giải phương trình có ẩn ở mẫu. Giải a) ĐKXĐ: x ¹ 1; x ¹ 2 và x ¹ 3. Hai giá trị x = 1,5 và x = 5 thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm phương trình (1). b) ĐKXĐ: x ¹ ± 0,2 (2)Þ 25+ 4x = 4(5x- 1)+ 6(5x + 1) Û 25+ 4x = 20x- 4+ 30x + 6 Û - 46x = - 23 Û x = 0,5 Giá trị này thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình có nghiệm là x = 0,5. 2x- 5 x2 - 5x- 41 3x- 8 Ví dụ 2. Giải phương trình + = (1) x + 1 x2 - 3x- 4 x- 4 Giải 2x- 5 x2 - 5x- 41 3x- 8 Ta có (1)Û + = x + 1 (x + 1)(x- 4) x- 4 (x2 - x- 6)(x- 5) 3x(x2 + 2x + 2) Hay là . = 5 (*) x(x2 + 2x + 2) (x2 - x- 6)(x- 4) Do x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1¹ 0, " x , nên ta có 3x(x2 - x- 6)(x- 5) 3x(x + 2)(x- 3)(x- 5) (*)Û = 5 = 5 x(x2 - x- 6)(x- 4) x(x + 2)(x- 3)(x- 4) ĐKXĐ: x ¹ 0; x ¹ - 2; x ¹ 3; x ¹ 4 Từ ĐKXĐ và phương trình trên suy ra 3(x- 5)- 5(x- 4)= 0 Û 3x- 15- 5x + 20 = 0 Û 2x = 5 Û x = 2,5 thỏa mãn ĐKXĐ. 3x(x + 2)(x- 3)(x- 5) Nhận xét: Từ = 5 suy ra 3(x- 5)- 5(x- 4)= 0 x(x + 2)(x- 3)(x- 4) Ta có thể hiểu như sau: Do x ¹ 0; x ¹ 2; x ¹ 3 ; nên x(x- 2)(x- 3)¹ 0 . Do đó chia cả tử và mẫu cho số 3(x- 5) khác 0 ta có = 5 và với x ¹ 4 ta được phương trình tương đương 3(x- 5)- 5(x- 4)= 0 (x- 4) Hoặc có thể hiểu như sau: 3x(x + 2)(x- 3)(x- 5) Từ = 5với x ¹ 0; x ¹ - 2; x ¹ 3; x ¹ 4 ta có: x(x + 2)(x- 3)(x- 4) 3x(x + 2)(x- 3)(x- 5)= 5x(x + 2)(x- 3)(x- 4) é ù Û x(x + 2)(x- 3)ë3(x- 5)- 5(x- 4)û= 0 Û 3(x- 5)- 5(x- 4)= 0 do x(x + 2)(x- 3)¹ 0 Ví dụ 4. Cho phương trình ẩn x: x + 2m x + 5 - 1= + 1 (với m là hằng số). x- 5 2m- x a) Giải phương trình với m = 5; b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 10; c) Giải phương trình với tham số m. * Tìm cách giải: Đây là phương trình tham số. Khi giải cần lưu ý biện luận theo các giá trị của tham số m. Giải x + 2m x + 5 x + 2m x + 5 - 1= + 1Û + = 2 x- 5 2m- x x- 5 x- 2m x + 10 x + 5 a) Khi m = 5 ta có: + = 2 (1) x- 5 x- 10 Với ĐKXĐ x ¹ 5 và x ¹ 10 thì Ví dụ 5. Giải phương trình: 1 1 1 1 1 1 + + + + = y2 + y y2 + 3y + 2 y2 + 5y + 6 y2 + 7y + 12 y2 + 9y + 20 15 1 * Tìm cách giải: Các phân thức vế trái sau khi phân tích mẫu thành nhân tử có dạng . Ta có: a(a + 1) 1 (a + 1)- a a + 1 a 1 1 = = - = - a(a + 1) a(a + 1) a(a + 1) a(a + 1) a a + 1 Giải ĐKXĐ: y ¹ 0; y ¹ - 1; y ¹ - 2; y ¹ - 3; y ¹ - 4; y ¹ - 5 . Biến đổi phương trình về dạng: 1 1 1 1 1 1 + + + + = y(y + 1) (y + 1)(y + 2) (y + 2)(y + 3) (y + 3)(y + 4) (y + 4)(y + 5) 30 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Û - + - + - + - + - = y y + 1 y + 1 y + 2 y + 2 y + 3 y + 3 y + 4 y + 4 y + 5 30 1 1 1 Û - = y y + 5 30 Þ 30(y + 5)- 30y = y2 + 5y Û y2 + 5y - 150 = 0 éy - 10 = 0 éy = 10 Û (y - 10)(y + 15)= 0 Û ê Û ê ëêy + 15 = 0 ëêy = - 15 Tập nghiệm là S = {- 15;10} Ví dụ 6. Giải phương trình (với z là ẩn; m, n là tham số): 2 m(z + 1) n 1 mz - + = . z2 - 1 z + 1 z - 1 z - 1 * Tìm cách giải. Phương trình có ẩn ở mẫu chứa tham số, cần lưu ý ĐKXĐ và biện luận theo các tham số m và n. Giải ĐKXĐ: z ¹ ± 1. 2 m(z + 1) n 1- mz Khi ấy phương trình (PT) trở thành - + = 0 z2 - 1 z + 1 z - 1 Đáp số: x = 27 . b) ĐKXĐ: x ¹ 2; x ¹ 3; x ¹ 4 . Biến đổi thành 2x2 - 17x + 30 = 0 Đáp số: x = 2,5; x = 6 . c) ĐKXĐ: x ¹ 1; x ¹ - 2 . Lưu ý: x2 + x- 2 = (x- 1)(x + 2). Đáp số x = - 0,8 . d) ĐKXĐ: x ¹ 1; x ¹ 4 . Lưu ý: x2 - 5x + 4 = (x- 1)(x- 4) Đáp số: x = 2; x = - 5 . 18.2. Giải các phương trình: 3+ x 3x- 1 35 a) 3+ = - ; 3- x x + 3 x2 - 9 x- 3 2x2 - 21 5 b) + = 2- x x3 - 8 x2 + 2x + 4 x2 - 3x 25 5- 2x 2x2 + 61 c) + = + x2 + 3x 2x2 + 3x- 9 2x- 3 (2x- 3)(x + 3) Hướng dẫn giải – đáp số a) ĐKXĐ: x ¹ 3; x ¹ - 3 . Lưu ý: x2 - 9 = (x- 3)(x + 3) Biến đổi thành - x2 + 4x- 4 = 0 . Đáp số: x = 2 . 2 b) Ta có x3 - 8 = (x- 2)(x2 + 2x + 4) mà x2 + 2x + 4 = (x + 1) + 3> 0 " x nên ĐKXĐ: x ¹ 2 . Biến đổi thành - (x3 - 3x2 + 3x- 1)= 0 .Đáp số: x = 1 c) ĐKXĐ: x ¹ 1,5; x ¹ - 3 . Lưu ý: 2x2 + 3x- 9 = (2x- 3)(x + 3) Biến đổi thành x2 - 4x- 21= 0 Û (x + 3)(x- 7)= 0 Û x = - 3 hoặc x = 7 . Nghiệm là x = 7 (loại x = - 3 vì không thỏa mãn ĐKXĐ). 18.3. Giải các phương trình: 3 y + 1 y 2(y + 5) a) + = (y + 1)2 + 1 (y - 1)2 + 1 y4 + 4 y(y + 2) y(y - 2) 36- y2 b) - = ; y2 + 2(y + 2) y2 - 2(y - 2) y4 + 4y2 + 16 é 1 1 ù 3 2y - 2 c) y2 ê - ú= + ê ú 4 2 2 ëêy(y - 1)+ 1 y(y + 1)+ 1ûú (y + y + 1)y y - y + 1 Hướng dẫn giải – đáp số Các phân thức ở các phương trình trong bài xuất hiện đa thức bạc bốn ở mẫu số, việc phân tích các mẫu æ 1ö æ 1öæ 1 1 ö b) 3ç1+ ÷= 2zç1+ ÷ç1- + ÷; èç zø÷ èç zø÷èç z z2 ø÷ 10 c) z2 - 6z + 13 = z2 - 6z + 10 2 æz2 + 2z + 4ö 8- z3 ç ÷ d) ç ÷ + 7 = 2 èç z - 2 ø÷ (z - 2) Hướng dẫn giải – đáp số a) ĐKXĐ: z ¹ 0 . Biến đổi thành 2z3 - 3z2 - 4 = 0 Û (x- 2)(2z2 + z + 2)= 0 éæ 1ö2 15ù Û z = 2 do 2z2 + z + 2 = 2 êçz + ÷ + ú> 0, " z êèç ø÷ ú ëê 4 16ûú z = 2 thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình. b) ĐKXĐ: z ¹ 0 . Ta có: 2z3 - 3z2 - 3z + 2 = 0 1 Û (z + 1)(z - 2)(2z - 1)= 0 Û z = - 1; z = 2 hoặc z = 2 Cả ba giá trị này đều thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình.. 2 c) Do z2 - 6z + 10 = (z - 3) +1>0," z nên ĐKXĐ: " z Î ¡ . 10 Đặt z2 - 6z + 10 = t > 0 ta có (t + 3)- = 0 Û t2 +3t - 10 = 0 t Û (t + 5)(t - 2)= 0 Û t = 2(do t > 0)Û z2 - 6z + 10 = 2 éz = 2 Û (z - 2)(z - 4)= 0 Û ê ëêz = 4 z = 2; z = 4 đều thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình. d) ĐKXĐ: z ¹ 2 Lưu ý z3 - 8 = (z - 2)(z2 + 2z + 4) z2 + 2z + 4 Đặt = t z - 2 ét = - 1 Biến đổi phương trình thành Û t 2 + 8t + 7 = 0 Û (t + 1)(t + 7)= 0 Û ê ëêt = - 7 z2 + 2z + 4 Với t = - 1 thì = - 1Û z2 + 3z + 2 = 0 Û (z + 1)(z + 2)= 0 . z - 2 ét = 0 Hay t 2 + 2t + 3 = 3 Û t 2 + 2t = 0 Û t(t + 2)= 0 Û ê ëêt = - 2 Nghiệm của phương trình là t = - 2 và t = 0 . c) ĐKXĐ: t 2 + 3t + 2 = (t + 1)(t + 2)¹ 0 khi t ¹ - 1 và t ¹ - 2 . 2 2 æ 1ö 7 Vì t + t + 2 = çt + ÷ + > 0, " t . Do t = 0 không phải là nghiệm Þ t ¹ 0 èç 2ø÷ 4 Chia cả tử và mẫu của hai phân thức ở vế trái cho t ta được phương trình: 3 2 3 2 2 - + = 1Û + = 1 với t + = u và u ¹ - 1 và u ¹ - 3 2 2 t + + 3 t + + 1 u + 3 u + 1 t t t Giải phương trình với ẩn u ta được u2 - u - 6 = 0 Û (u - 3)(u + 2)= 0 Û u = 3 hoặc u = - 2 thỏa mãn ĐKXĐ. 2 Với u = 3 ta có t + = 3 Û t 2 - 3t + 2 = 0 Û (t - 1)(t - 2)= 0 t Û t = 1 hoặc t = 2 2 Với u = - 2 ta có 2+ = - 2 Û t 2 + 2t + 2 = 0 vô nghiệm vì t t 2 + 2t + 2 = (t + 1)2 + 1> 0, " t Vậy nghiệm của phương trình là t = 1 và t = 2 18.6. Giải các phương trình: 2 æ3x- 2 ö 2 æ3x- 2 ö a) (2x + 9x- 4)ç + 1÷= (x + 11x + 20)ç + 1÷ èç8- 9x ø÷ èç8- 9x ø÷ x 2x + 2 5 x + 7 b) - = - 2x2 - 5x + 3 2x2 - 9x + 7 2x2 - 5x + 3 2x2 - 9x + 7 Hướng dẫn giải – đáp số a) Hai vế có nhân tử chung. Ta chuyển vế rồi đưa về dạng A(x).B(x)= 0 8 2 æ3x- 2 ö ĐKXĐ: x ¹ . Biến đổi phương trình thành (x - 2x- 24)ç + 1÷= 0 9 èç8x + 9 ø÷ éx = - 4 Với x2 - 2x- 24 = 0 Û (x + 4)(x- 6)= 0 Û ê ëêx = 6 3x- 2 Với + 1= 0 Û 3x- 2+ 8- 9x = 0 Û x = 1 8- 9x
File đính kèm:
chuyen_de_18_phuong_trinh_chua_an_o_mau_thuc_boi_duong_hsg_d.doc