Chuyên đề 18: Hình hộp chữ nhật - Bồi dưỡng HSG Toán hình 8

 Chương IV: HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG – HÌNH CHÓP ĐỀU
Chuyên đề 18. HÌNH HỘP CHỮ NHẬT
A. Kiến thức cần nhớ
1. Hình hộp chữ nhật
- Hình 18.1 cho ta hình ảnh của một hình hộp chữ nhật. 
- Hình hộp chữ nhật có 6 mặt, 8 đỉnh và 12 cạnh.
- Hình lập phương có 6 mặt là những hình vuông.
2. Diện tích xung quanh và thể tích của hình hộp chữ nhật
• Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật bằng chu vi đáy nhân với chiều cao.
 Sxq 2(a b).c
• Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích hai đáy.
 Stp 2(ab bc ca)
• Thể tích của hình hộp chữ nhật bằng tích của ba kích thước.
 V abc
• Đặc biệt, đối với hình lập phương thì:
 S 4a2 2 3
 xq Stp 6a V a
3. Tính chất đường chéo của hình hộp chữ nhật
• Bốn đường chéo của hình hộp chữ nhật cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
• Bình phương của mỗi đường chéo bằng tổng các bình phương của ba kích thước.
 d 2 a2 b2 c2
4. Quan hệ vị trí của hai đường thẳng phân biệt trong không gian (h.18.2)
• Cắt nhau: Nếu hai đường thẳng có một điểm chung. 
Ví dụ: AB và BC.
• Song song: Nếu hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và 
không có điểm chung.
Ví dụ: AB và CD.
• Chéo nhau: Nếu hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng 
nào.
Ví dụ: AB và CC Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D . Trên các cạnh AA , DD , BB ,CC lần lượt lấy các điểm 
 2 1
E, F, G, H sao cho AE DF DD ; BG CH CC . Chứng minh rằng mp(ADHG)// mp(EFC B ) .
 3 3
 Giải (h.18.6)
*Tìm cách giải
Để chứng minh mp(ADHG)// //P//mp(EFC B ) ta tìm cách chứng minh hai đường thẳng cắt nhau của 
mp(ADHG) tương ứng song song với hai đường thẳng cắt nhau của mp(EFC B ) .
*Trình bày lời giải
Tứ giác BCHG có BG CH; BG//CH nên là hình bình hành, suy ra 
HG//BC .
Mặt khác BC//B C nên HG//B C .
Tứ giác DHC F có DF //HC và DF HC nên là hình hình hành, suy ra 
DH FC .
Xét mp(ADHG) có HG và DH cắt nhau tại H.
Xét mp(EFC B ) có B C và FC cắt nhau tại C .
Từ đó suy ra mp(ADHG)// mp(EFC B ) .
Ví dụ 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D .
a) Chứng minh rằng tứ giác ADC B là hình chữ nhật.
b) Tính diện tích của hình chữ nhật ADC B biết: AB 12, AC 29, DD 16 .
 Giải (h.18.7)
a) Tứ giác ADD A là hình chữ nhật, suy ra AD P// A D và AD A D .
Tứ giác A B C D là hình chữ nhật, suy ra B C // A D và B C A D .
Do đó AD P// B C và AD B C .
Vậy tứ giác ADC B là hình bình hành.
Ta có: AD  DD và AD  DC nên AD  mp(DCC D ) . Suy ra AD  DC .
Do đó hình bình hành ADC B là hình chữ nhật.
b) Xét DD C vuông tại D có DC DD 2 D C 2 162 122 20 .
Xét ADC vuông tại D có AD AC 2 DC 2 292 202 21.
Vậy diện tích hình chữ nhật ADC B là S DC .AD 20.21 420 (đvdt).
Ví dụ 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D .
a) Chứng minh rằng mp(DCC D )  mp(CBB C ) .
b) Trong số sáu mặt của hình hộp chữ nhật, có bao nhiêu cặp mặt phẳng vuông góc với nhau?
 Giải (h.18.8)
* Tìm cách giải • Quan hệ song song. Quan hệ vuông góc
18.1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D .
a) Chứng minh rằng mp(ACD ) P// Pmp(A C B) .
b) Chứng minh rằng mp(CDB ) và mp(BCD ) cắt nhau. Tìm giao tuyến của chúng.
18.2. Hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình vuông. Chứng minh rằng mp(DBB D )
vuông góc với mp(ACC A ) .
18.3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D .
a) Tìm giao tuyến m của hai mặt phẳng (ACC A ) và (DBB D ) .
b) Chứng minh giao tuyến m  mp(A B C D ) .
c) Chứng minh mp(BDD B )  mp(A B C D ) .
• Các mặt – Các đỉnh của hình hộp chữ nhật
18.4. Người ta ghép 480 hình lập phương nhỏ cạnh 1cm thành một hình hộp chữ nhật kích thước 
8 12 5cm rồi sơn tất cả sáu mặt của hình hộp chữ nhật này. Hỏi:
a) Có bao nhiêu hình lập phương nhỏ cạnh 1cm không được sơn mặt nào?
b) Có bao nhiêu hình lập phương nhỏ cạnh 1cm có ít nhất một mặt được sơn?
18.5. Một hình lập phương cạnh n đơn vị (n ;n 2) ), cả 6 mặt đều được sơn màu xanh. Người ta chia 
hình lập phương này thành n3 hình lập phương cạnh 1 (đơn vị). Cho biết số hình lập phương nhỏ cạnh 1 
(đơn vị) không được sơn mặt nào là 27. Tính:
a) Giá trị của n;
b) Số hình lập phương nhỏ được sơn ba mặt;
c) Số hình lập phương nhỏ được sơn hai mặt;
d) Số hình lập phương nhỏ được sơn đúng một mặt.
18.6. Một chiếc hộp hình lập phương cạnh 6cm được đặt trên mặt bàn. Tính quãng đường ngắn nhất mà 
con kiến phải bò trên mặt hộp từ trung điểm M của C D đến đỉnh A.
18.7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D .
a) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu của nó là hai đỉnh của hình hộp chữ nhật?
b) Chứng tỏ rằng trong các đoạn thẳng nói trên, chỉ có tối đa 7 giá trị khác nhau về độ dài.
18.8. Người ta ghi vào sáu mặt của một hình lập phương các số tự nhiên từ 1 đến 6. Sau đó cứ mỗi lượt, 
ta cộng thêm cùng một số tự nhiên vào hai mặt của hình lập phương đó. Hỏi sau một số lượt, có thể xảy ra 
sáu số bằng nhau ở sáu mặt của hình lập phương được không?
• Tính độ dài – Diện tích – Thể tích
18.9. Một hình hộp chữ nhật có các kích thước bằng 8, 9, 12. Tính độ dài lớn nhất của một đoạn thẳng có 
thể đặt trong hình hộp chữ nhật đó.
18.10. Một hình hộp chữ nhật có tổng ba kích thước bằng 61cm và đường chéo bằng 37cm. Tính diện tích 
toàn phần của hình hộp chữ nhật đó. Hướng dẫn giải
18.1. (h.18.10)
a) Xét hình bình hành ACC A có AC P// A C 
 AC P// mp(BA C ).
Xét hình bình hành ABC D có AD P// BC 
 AD // mp(BA C ) .
Vì AC và AD cắt nhau tại A nên mp(ACD ) P// mp(BA C ) .
b) (h.18.11)
Mặt phẳng (CDB ) cũng là mặt phẳng (CDA B ) .
Mặt phẳng (BCD ) cũng là mặt phẳng (BCD A ) .
Hai mặt phẳng này có hai điểm chung là C và A nên chúng cắt nhau 
theo giao tuyến CA .
18.2. (h.18.12)
Tứ giác ADD A là hình chữ nhật nên DD  D A .
Tứ giác DCC D là hình chữ nhật nên DD  D C .
Suy ra DD  mp(A B C D ) . Do đó DD  D B .
Tứ giác DBB D có DD // BB và DD BB nên là hình bình hành. Hình 
bình hành này có DD  D B nên là hình chữ nhật.
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi O là giao điểm của A C và B D .
Ta có OO là đường trung bình của hình chữ nhật DBB D nên OO  DB .
Ta lại có AC  BD (tính chất đường chéo hình vuông) suy ra BD  mp(ACC A ) .
Mặt phẳng (DBB D ) chứa BD nên mp(DBB D )  mp(ACC A ) .
18.3. (h.18.12)
a) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi O là giao điểm của A C và B D .
Ta có: O AC mà AC  mp(ACC A ) nên O mp(ACC A ) .
O BD mà BD  mp(BDD B ) nên O mp(BDD B ) .
Vậy O là điểm chung của hai mặt phẳng (ACC A ) và (BDD B ) .
Chứng minh tương tự, O là điểm chung của hai mặt phẳng (ACC A ) và (BDD B ) .
Hai mặt phẳng (ACC A ) và (BDD B ) có hai điểm chung là O và O nên chúng cắt nhau theo giao tuyến 
m là đường thẳng OO .
b) Trong mặt chéo (DBB D ) có OO là đường trung bình nên OO  B D (tại O ).
Chứng minh tương tự, ta được OO  A C ( tại O ). • Xét trường hợp kiến bò qua cạnh DC để tới đỉnh A: Đoạn đường ngắn nhất mà kiến phải bò từ M đến A 
là:
 2 2
MA2 (6 6) 3 153 12,4(cm)
• Xét trường hợp kiến bò qua cạnh CC để tới đỉnh A: Dễ thấy đoạn đường mà kiến phải bò từ M đến A 
dài hơn nhiều so với hai trường hợp trên.
Kết luận: Vậy đoạn đường ngắn nhất mà kiến phải bò là 10,8cm.
18.7. (h.18.15)
a) Hình hộp chữ nhật có 8 đỉnh. Số đoạn thẳng mà hai đầu của nó là hai 
đỉnh của hình hộp chữ nhật là:
8.7
 28 (đoạn thẳng).
 2
b) 28 đoạn thẳng này chia làm 7 nhóm, mỗi nhóm 4 đoạn thẳng dài bằng 
nhau (chẳng hạn AB CD C D A B ).
Từ đó suy ra trong 28 đoạn thẳng này chỉ có tối đa 7 giá trị khác nhau về độ dài.
18.8. Lúc đầu tổng 6 số ở 6 mặt là 1 2 3 4 5 6 21. Đó là một số lẻ.
Sau mỗi lượt, tổng này tăng thêm một số chẵn nên tổng các số ở 6 mặt luôn là một số lẻ, không chia hết 
cho 6. Do đó không thể xảy ra cả 6 số bằng nhau.
18.9. Áp dụng công thức tính độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật.
d 2 a2 b2 c2 82 92 122 289 .
Suy ra d 289 17 .
Vậy độ dài lớn nhất của một đoạn thẳng có thể đặt trong hình hộp chữ nhật là 17.
18.10. Gọi ba kích thước của hình hộp chữ nhật là a, b, c. Ta có:
 a b c 61 (1)
 2 2 2
 a b c 37 (2)
Từ (1) suy ra (a b c)2 612 a2 b2 c2 2(ab bc ca) 3721.
Do đó 2(ab bc ca) 3721 1369 2352(cm2 ) .
Vậy diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là 2352(cm2 ) .
18.11. Gọi a là độ dài mỗi cạnh của hình lập phương và d là độ dài đường chéo của hình lập phương đó. 
Ta có: d 2 3a2 d a 3(cm) .
Độ dài đường chéo mỗi mặt của hình lập phương đó là a 2 .
Ta có: a 3 a 2 1 a 3 2 1 a 3 2(cm) .
Diện tích toàn phần của hình lập phương là:
 2
S 6a2 6 3 2 59,39(cm2 ) .