Chuyên đề 17: Định lý Menelaus, định lý Ce-va, định lý Van-oben - Bồi dưỡng HSG Toán hình 8

 Chương 3
Chuyên đề 17. ĐỊNH LÝ MENELAUS, ĐỊNH LÝ CE-VA, ĐỊNH LÝ VAN-OBEN
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định lý Menelaus
Menelaus sinh ra khoảng năm 70 và mất khoảng năm 130, những gì được biết về cuộc đời ông rất ít, 
thông qua một số tác phẩm khoa học của những người sau. Chỉ biết chung chung rằng ông có một thời là 
sinh viên trường đại học Alexandrie cổ đại, rồi làm cán bộ giảng dạy cũng ở đó và về sau thành nhà thiên 
văn học ở La Mã. Trong hình học ông có một định lý nổi tiếng mang tên ông: định lý Menelaus.
- Định lý: Cho tam giác ABC và ba điểm A ,B ,C (không trùng với các đỉnh của tam giác) lần lượt trên 
các đường thẳng BC,CA và AB sao cho cả ba điểm A ,B ,C đều nằm trên phần kéo dài của ba cạnh, 
hoặc một trong ba điểm nằm trên phần kéo dài một cạnh và hai điểm còn lại nằm trên hai cạnh của tam 
 A B B C C A
giác. Điều kiện cần và đủ để A ,B ,C thẳng hàng là: . . 1.
 A C B A C B
 Giải
Trường hợp 1. Nếu trong ba điểm A ,B ,C có đúng hai điểm thuộc cạnh của tam giác ABC , chẳng hạn 
là điểm B và C .
 • Nếu A ,B ,C thẳng hàng. 
 Qua A kẻ đường thẳng song song với BC
 cắt B C tại M , ta có:
 C A AM B C A C
 ; . Vậy:
 C B A B B A AM
 A B B C C A AM A C A B
 . . . 1.
 A C B A C B A B AM A C
 A B B C C A
 • Ngược lại, nếu . . 1.
 A C B A C B
 Gọi A là giao điểm của B C với BC .
 A B B C C A A B A B
 Theo phần thuận: . . 1. Suy ra: .
 A C B A C B A C A C
 Do B ,C lần lượt thuộc cạnh CA,AB nên A nằm ngoài cạnh BC .
 A B A B
 Vậy và A ,A cùng nằm ngoài đoạn BC .
 A C A C
 Suy ra A  A .
 Vậy ba điểm A ,B ,C thẳng hàng.
Trường hợp 2. Trong ba điểm A ,B ,C không có điểm nào thuộc cạnh của tam giác được chứng minh 
tương tự.
2. Định lý Ce-va. Cách 1. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng CM và BM lần lượt tại P và Q
Áp dụng định lý Ta-lét, ta có: 
 AF AQ
AQ//BC .
 FB BC
 AE AP
AP//BC .
 EC BC
 AF AE AQ AP PQ
 .
 FB EC BC BC
 PQ PM AM AM AF AE
Mặt khác PQ//BC từ đó suy ra .
 BC MB MD MD FB EC
Cách 2. Áp dụng định lý Menelaus cho ABD và ba điểm F ,M ,C thẳng hàng ta có: 
AF BC MD AF CD AM
 . . 1 . 1 .
FB CD AM FB BC MD
Áp dụng định lý Menelaus cho ACD và ba điểm E,M ,B thẳng hàng ta có:
AE BC MD AE BD MA
 . . 1 . 2 
EC BD AM EC BC MD
 AF AE AM CD BD AM
Từ 1 và 2 suy ra: . .
 FB EC MD BC BC MD
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. (Mở rộng Van-Oben) Cho tam giác ABC . Trên tia đối của tia BA lấy điểm K , trên tia đối của 
tia CA lấy điểm N . Gọi E là giao điểm CK và BN ; gọi M là giao điểm của AE và BC . Chứng minh 
 AE AK AN
rằng: .
 EM KB NC
 Giải
* Tìm cách giải. Với cách suy luận như định lý Van-Oben, chúng ta cũng có thể chứng minh bằng hai cách.
* Trình bày lời giải
Cách 1. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC 
cắt đường thẳng BN và BK lần lượt tại P và Q .
Áp dụng định lý Ta-lét, ta có: 
 AK AQ
AQ//BC .
 KB BC
 AN AP
AP//BC .
 NC BC
 AK AN AQ AP PQ
 .
 KB NC BC BC
Mặt khác PQ//BC
 PQ PE AE AE AK AN
 từ đó suy ra: .
 BC BE ME EM KB NC 2
 HM BM .EM
 .
 HN DN.CN
 Giải
Áp dụng định lý Menelaus cho B,H ,D thẳng hàng đối với AMN , ta có:
HM DN AB
 . . 1 1 
HN DA BM
Áp dụng định lý Menelaus cho C,H ,E thẳng hàng đối với AMN , ta có:
HM CN AE
 . . 1 2 
HN CA EM
Từ 1 , 2 nhân vế ta có: 
HM 2 DN CN AB AE
 . . . . 1 3 
HN 2 DA CA BM EM
Mặt khác AEC : ADB g.g 
 AB AD
 AB.AE AC.AD .
 AC AE
 2
 HM 2 DN.CN HM BM .EM
Thay vào 3 suy ra: 2 . 1 hay (điều phải chứng minh).
 HN BM .EM HN DN.CN
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH , trung tuyến BM , phân giác CD cắt nhau 
tại điểm O . Chứng minh rằng BH AC
 Giải
* Tìm cách giải. Để chứng minh BH AC bằng cách ghép vào hai tam giác là không khả thi bởi không 
khai thác được tính đồng quy của giả thiết. Để khai thác được tính đồng quy của giả thiết này, chúng ta 
 BH DA
liên tưởng tới định lý Ce-va. Vận dụng định lý Ce-va, chúng ta suy ra được . 1. Đã xuất hiện 
 HC DB
BH song chưa có AC . Để xuất hiện AC , chúng ta vận dụng tiếp yếu tố giả thiết CD là phân giác. Từ 
đó chúng ta suy ra được: BH .AC HC.BC . Để có BH AC , phần cuối cùng là chứng minh 
HC.BC AC 2 .
* Trình bày lời giải 
Theo định lý Ce-va ta có:
BH MC DA
 . . 1
HC MA DB
 BH DA
mà MA MC nên . 1 1 
 HC DB
 DA AC
Vì CD là phân giác nên 2 
 DB BC
 BH AC
Từ 1 và 2 ta có: . 1 BH .AC HC.BC 3 
 HC BC AN BH CM AI BH CH
 . . 1 . . 1
BN CH MA BH CH AK
 AI
 1 AI AK .
 AK
Xét HKI có HA  IK; AI AK
 HIK cân tại H HA là đường phân giác M· HN .
Cách 2. Xét trường hợp ABC AC AB .
Dựng ABP cân tại A có AH là đường cao. AP cắt HM tại Q . Gọi N là điểm đối xứng với Q qua 
AH . Vì A,Q,P thẳng hàng suy ra A,N ,B thẳng hàng. Khi đó HA là đường phân giác của Q· HN và 
QA N A
 .
QP N B
Áp dụng định lý Menelaus cho ACP với ba điểm thẳng hàng H ,Q,M ta có:
HP MC QA HB MC N A
 . . 1 . . 1, theo định lý đảo của Ce-va thì AH ,BM ,CN đồng quy.
HC MA QP HC MA N B
Theo giả thiết AH ,BM ,CN đồng quy 
 N  N . Vậy HA là đường phân giác M· HN
Xét trường hợp ABC AC AB .
Chứng minh tương tự như trên.
Xét trường hợp ABC AC AB .
Dễ chứng minh, nhường cho bạn đọc.
Ví dụ 8. Giả sử O là điểm bất kì nằm trong tam giác ABC các tia AO,BO,CO lần lượt cắt BC,AC,AB 
 AO.AP BO.BM CO.CN
tại M ,N ,P . Chứng minh rằng: . . không phụ thuộc vào vị trí điểm O .
 OP OM ON
 Giải
* Tìm cách giải. Nhận thấy phần kết luận của chúng ta là một tích các tỉ số nên chúng ta liên tưởng tới 
 AO.AP AO AP
hai định lý có thể dùng là Menelaus hoặc Ce-va. Nhận thấy nếu muốn có thì hay 
 OP OP OP
không thể xuất hiện được nếu vận dụng định lý trên (bởi cả hai định lý đều không xuất hiện tỉ số trên). 
 AO.AP AO
Song nếu đảo mẫu số, tức là thì tỉ số có thể xuất hiện được nhờ vận dụng định lý Menelaus 
 OM OM
 BO CO
trong tam giác AMC hoặc AMB . Nhận thấy ý tưởng đó khả thi. Tiếp tục biểu diễn các tỉ số ; 
 ON OP
một cách tương tự, chúng ta có một lời giải hay.
* Trình bày lời giải. 
Áp dụng định lý Menelaus trong: AN AM
Sau đó, vì vế phải chỉ xuất hiện , chúng ta nên vận dụng định lý Van-Oben trong tam giác 
 NB MC
ABC đối với AH ,CN và BM đồng quy. Từ đó chúng ta có lời giải hay.
* Trình bày lời giải. 
Áp dụng định lý Van-Oben cho ABH với AE,BG,HN đồng quy tại P , ta có:
AP AN AG
 1 
PE NB GH
Áp dụng định lý Van-Oben cho ACH
với AF,CG,HM đồng quy tại Q , ta có:
AQ AM AG
 2 
QF MC GH
Từ 1 và 2 cộng vế với vế, ta được: 
AP AQ AN AM AG
 2. 3 
PE QF NB MC GH
Áp dụng định lý Van-Oben cho ABC đối với AH ,BM ,CN đồng quy tại G , ta có:
AG AN AM
 4 
GH NB MC
 AP AQ AN AM 
Từ 3 và 4 suy ra: 3. (Điều phải chứng minh).
 PE QF NB MC 
Nhận xét. Từ kết luận của bài toán, chúng ta nhận thấy: 
 AN AM AG
- Áp dụng định lý Van-Oben cho ABC đối với AH ,BM ,CN đồng quy tại G , ta có 
 NB MC GH
do đó chúng ta giải được bài toán: Trên ba cạnh BC,CA,AB của tam giác ABC lần lượt lấy ba điểm 
H ,M ,N sao cho AH ,BM ,CN đồng quy tại G . Gọi P,Q lần lượt là giao điểm của HN và BM ;HM 
 AP AQ AG 
và CN . Tia AP và tia AQ cắt BC lần lượt tại E và F . Chứng minh rằng: 3. .
 PE QF GH 
 AN AM
- Trường hợp H là trung điểm của BC thì MN //BC . Ta có kết quả sau: do đó ta giải được 
 NB MC
bài toán sau: Trên ba cạnh BC,CA,AB của tam giác ABC lần lượt lấy ba điểm H ,M ,N sao cho 
AH ,BM ,CN đồng quy tại G . Gọi P,Q lần lượt là giao điểm của HN và BM ;HM và CN . Tia AP và 
 AP AQ AN 
tia AQ cắt BC lần lượt tại E và F . Chứng minh rằng: 6. .
 PE QF NB 
 AN AM
- Trường hợp G là trung điểm của AH thì 1. Do đó ta giải được bài toán sau: Trên ba cạnh 
 NB MC
BC,CA,AB của tam giác ABC lần lượt lấy ba điểm H ,M ,N sao cho AH ,BM ,CN đồng quy tại G .