Chuyên đề 16: Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 (hay ax = -b) - Bồi dưỡng HSG Đại số 8

 Chương III
 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
 Chuyên đề 16. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG
 ax b 0 (hay ax b )
A. Kiến thức cần nhớ
a) Phương trình không chứa mẫu số
 - Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc.
 - Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia.
 - Thu gọn và giải phương trình nhận được.
b) Phương trình chứa mẫu số bằng số
 Trước hết phải quy đồng mẫu số rồi nhân hai vế với mẫu chung để khử mẫu số rồi thực hiện như a)
 Chú ý: Không nhất thiết phải thực hiện theo các bước như trên. Tuỳ theo phương trình mà vận dụng linh 
 hoạt các bước đó.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1:
 x2 2 3(2x 1) (2x 3)(x 2) 5 8x
 a) 6 (1)
 3 4 6 12
 x 5 x 5 2x
 4x 
 b) 3x 2 4 3 2x 1 (2)
 6 4
 Giải
a) (1) 4(x2 2) 9(2x 1) 72 2(2x2 x 6) 5 8x
 4x2 8 18x 9 72 4x2 2x 12 5 8x
 18x 8x 2x 12 5 8 9 72
 28x 56 x 2.
 Nhận xét:
 - Ở câu a) ta có thể bỏ qua bước quy đồng mẫu hai vế mà viết thẳng (1)
 4(x2 2) 9(2x 1) 72 2(2x2 x 6) 5 8x vì thực chất nhân hai vế của phương trình (3) với 12 
 được ngay kết quả này.
 - Sau khi khai triển hai vế có chứa hai hạng tử bằng nhau 4x2 , ta có thể bỏ đi (thực chất khi chuyển vế 
 được hai hạng tử đối nhau nên tổng bằng 0).
 2x 10 x 12x 5 2x
b) (2) 3x 2x 1
 24 12
 72x 2x 10 x 24x 10 4x 48x 24
 24
 72x 2x x 24x 4x 48x 24 91x 24 x .
 91 Giải
 Điều kiện b 3
 Phương trình (1) biến đổi thành (x 2 b)(b 3) (x b)(b 3) x 4b
 xb 3x 2b 6 b2 3b xb 3x b2 3b x 4b
 2xb x 12b 6 (2b 1)x 6(2b 1) .
* Nếu b 0,5 và b 3 thì x 6 ;
* Nếu b 0,5 thì phương trình trở thành 0x 0 . Phương trình nghiệm đúng x .
Ví dụ 5: Giải phương trình:
 4029x 2014 2.2015 4037x 2.2019 3.2018
 2014.2015 2018.2019
* Tìm cách giải: Ở phương trình trên nếu quy đồng mẫu thức hai vế thì mẫu thức chung quá lớn. Ta nhận 
 xét 4029x 2014x 2015x;4037x 2018x 2019x do đó ta biến đổi và giải phương trình như sau:
 Giải
 4029x 2014 2.2015 2014x 2014 2015x 2.2015
 2015.2014 2015.2014
 2014(x 1) 2015(x 2) x 1 x 2
 2014.2015 2015 2014
 4037x 2.2019 3.2018 2019x 2.2019 2018x 3.2018
 2018.2019 2018.2019
 2019(x 2) 2018(x 3) x 2 x 3
 2018.2019 2018 2019
 Phương trình trở thành
 x 1 x 2 x 2 x 3 x 1 x 2 x 2 x 3 
 1 1 1 1 
 2015 2014 2018 2019 2015 2014 2018 2019 
 x 2016 x 2016 x 2016 x 2016
 0
 2015 2014 2018 2019
 1 1 1 1 
 (x 2016) 0
 2015 2014 2018 2019 
 1 1 1 1
 Do 0 .
 2015 2014 2018 2019
 Do đó x 2016 0
 Vậy x 2016
Ví dụ 6: Tìm giá trị của a để:
 a) Phương trình (2x 3)(1 3a) 5(x 6) 25(x 3)(2 x) 5(a 2) 50 . (1) có nghiệm x 3;
 b) Phương trình (x a)(x 5) 4ax 17 (x a)(x 6) 3x (2) có nghiệm gấp năm nghiệm của 
 phương trình:
 3x(x 5) 4(x 4) 3(x 1)(x 3) (3) 1.3 2.4 3.5 8.10 1.2.3.....8 3.4.5.....10 10 5
 . . ..... . 
 2.2 3.3 4.4 9.9 2.3.4.....9 2.3.4....9 18 9
 Do đó phương trình trở thành:
 5
 (18x 45) 2(x 1) 97 10x 25 2x 2 97
 9
 10x 2x 2 97 25 8x 120 x 15
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
b) Xét ... ... 
 1.2 3.4 199.200 1 2 3 4 199 200
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 ... 2 ... 
 1 2 3 4 199 200 2 4 200 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 ... 1 ... ... 
 1 2 3 4 199 200 2 3 100 101 102 199 200
 Vậy phương trình trở thành
 1 1 1 1 1 1 1 1 
 ... .2017x 2016. ... 
 101 102 199 200 101 102 199 200 
 2016
 2017x 2016 x .
 2017
 10 10 10 2 2 2 
c) Ta có: ... 5. ... 
 1.3 3.5 9.11 1.3 3.5 9.11 
 1 1 1 1 1 1 50
 5. 1 ... 5. 1 .
 3 3 5 9 11 11 11
 50
 Khi ấy phương trình trở thành .2,2x [0,8.(7,5 2,5)]: 0,25 12
 11
 10x (6 2x).4 12 10x 24 8x 12
 18x 36
 x 2.
Ví dụ 8: Với z là ẩn; m, n, p là các số và m n;n p; p m .
 z mn z np z pm
 Giải phương trình m n p .
 m n n p p m
 Tìm cách giải: Nếu chuyển vế và ghép m; n và p với các phân thức mà mẫu không chứa các số đó 
 và quy đồng từng cặp một sẽ xuất hiện nhân tử chung (z mn mp np) . Từ đó cách giải như sau:
 Giải
 z mn z np z pm
 PT p m n 0
 m n n p p m
 z mn pm pn z np mn mp z pm np nm
 0
 m n n p p m Các phương trình đều chứa các biểu thức về phân số và số thập phân. Trước hết ta rút gọn các biểu thức 
 đó, tuỳ theo các biểu thức ta biến đổi thành phân số hay số thập phân thuận tiện cho việc tính.
 1 1 1 1 15 70 105 126 155 15 64 15
 a) Ta có 2 3 4 5 . . . 2
 3 2 5 6 16 30 16 30 16
 1 1
 Do đó phương trình trở thành 2y (3 8y) 7 . Giải được y 4,5.
 2 2
 8.45 0,46 4,5: 0,25 8,54 0,46 4,5: 0,25 9 18
 b) Biến đổi 3
 8
 2,68 2,68 0,32 3
 25
 y y y 1
 Phương trình thành 3 . 3
 4 2 4 2
 hoặc 3 0,25y (0,5 0,25y)0,5 3 . Giải được x 48 .
 1 1 13 31 7 39 62 28 36 15
 c) 3,25 5 2 3 3 
 6 3 4 6 3 12 12
 1 1 1 1 1 1 1 1 31
 Và 0,5 0,25 
 8 16 32 2 4 8 16 32 32
 15 15 32 31
 Do đó phương trình trở thành y : 4 20 y.
 6 12 31 32
 Giải được y 8 .
16.3. Cho phương trình với z là ẩn, m là một số (tham số)
 (z 2)2 (z 5m 2) (z 3)2 2(z2 m 1) 8(m 5)z 28
 a) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm là z 3 ;
 b) Giải phương trình theo tham số m.
 Hướng dẫn giải – đáp số
 a) Để phương trình có nghiệm là z 3 phải có:
 (3 2)2 (3 5m 2) (3 3)3 2(32 m 1) 8(m 5).3 28
 Giải phương trình tìm được m 4 .
 b) (z 2)2 (z 5m 2) (z 3)2 2(z2 m 1) 8(m 5)z 28
 Khai triển rút gọn, chuyển vế ta được phương trình (41 8m)z 3m 15
 41 3m 15
 Nếu m thì phương trình có nghiệm z .
 8 41 8m
 41 41 41 253
 Nếu m ta có: 0z 3. 15 vô nghiệm vì 3 15 0 .
 8 8 8 8
16.4. Tìm giá trị của m để phương trình 
 2m 3x
 x2 5(x m) x3 6x2 31
 2 4x 350 4x 100 4x 95 4x 110 4x 145
 d) Biến đổi thành: 0
 15 25 35 45 55
 Ở vế trái của phương trình, phân thức thứ nhất nếu ta thêm 10, phân tử thứ hai thêm 4 ; phân thức 
 thứ ba thêm 3 ; phân thức thứ tư thêm 2 ; phân thức thứ năm thêm 1 thì giá trị vế trái không đổi 
 vì 10 4 3 2 1 0 ; ta quy đồng mẫu từng cặp làm xuất hiện 4 phân thức đều có tử là 4x 200 . 
 Từ đó, ta có:
 4x 350 4x 100 4x 95 4x 110 4x 145 
 10 4 3 2 1 0
 15 25 35 45 55 
 1 1 1 1 1 
 (4x 200) 0 . Tìm được x 50 .
 15 25 35 45 55 
 Nhận xét: Ở các bài toán thuộc dạng trên các phương trình sau khi biến đổi ta không quy đồng tất cả 
 các mẫu số, hướng giải là làm xuất hiện các tử thức giống nhau bằng cách thêm, bớt vào mỗi phân 
 thức các số thích hợp thành một cặp, sao cho giá trị các vế của phương trình không thay đổi. Bằng 
 cách quy đồng mẫu từng cặp ta sẽ làm xuất hiện các tử thức giống nhau. Khi đặt thành công tử 
 chung, nhân tử còn lại sẽ là tổng, hiệu các phân số mà tính khác không của nó là điều dễ nhận ra. Từ 
 đó ta tìm được nghiệm của phương trình.
16.6. Giải các phương trìn:
 x m x 2 4m
 a) với m là hằng số (tham số);
 m 2 m 2 4 m2
 x m x n x p 2 2 2
 b) .
 np pm mn m n p
 với m, n, p là các hằng số và m.n.p 0 .
 Hướng dẫn giải – đáp số
 Đây là các phương trình chứa tham số. Cần đặc biệt lưu ý điều kiện xác định của các phương trình và sau 
 khi biến đổi về dạng ax b 0 hoặc ax b,(a 0) , phải biện luận các giá trị của a để xác định nghiệm 
 của phương trình.
 a) ĐKXĐ: m 2 . Biến đổi phương trình thành
 (x m)(m 2) (x 2)(m 2) 4m 2mx (m 2)2
 (m 2)2
 Nếu m 0 và m 2 thì x .
 2m
 Nếu m 0 thì phương trình trở thành 0x 4 , phương trình vô nghiệm.
 b) Do m.n.p 0 nên m 0;n 0; p 0 .
 Nhân hai vế của phương với mnp 0 ta được phương trình tương đương:
 m(x m) n(x n) p(x p) 2mn 2np 2 pm
 x(m n p) (m2 n2 p2 2mn 2mp 2np) 0
 x(m n p) (m n p)2 0 (m n p)[x (m n p)] 0